Bac Amérique du sud 2025 Sujet 2
Exercice 2 – (6 points) – Durée 1h03 – Calculatrice autorisée
Sujet n°25-PYCJ2AS1
Un chalet isolé en montagne est équipé d’un système de production d’électricité constitué de panneaux photovoltaïques couplé à un système de stockage de l’énergie électrique. Le chalet dispose également d’un chauffe-eau thermodynamique qui est un mode de production d’eau chaude propre et économique. Le chauffage du chalet est assuré par une chaudière au bois. Le propriétaire souhaiterait adapter son installation afin d’être en parfaite autonomie électrique sur une durée de trois jours.
L’objectif de cet exercice est d’étudier la production d’eau chaude par le chauffe-eau thermodynamique, l’installation de production d’électricité puis le niveau sonore de l’installation.
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Partie 1. Étude de la production d’eau chaude.
Le chalet est prévu pour accueillir quatre personnes. Il est ainsi équipé d’un chauffe-eau thermodynamique avec un ballon d’une capacité de 200 L d’eau.
L’eau du ballon est chauffée d’une température θ1 = 15 °C à une température θ2 = 55 °C une fois par jour en moyenne.
Données :
- capacité thermique massique de l’eau liquide : 𝑐eau = 4,18 kJ⋅K-1⋅kg-1 ;
- masse volumique de l’eau liquide : ρeau = 1,00 kg⋅L-1 ;
- l’eau liquide est un fluide incompressible ;
- le flux thermique 𝛷 à travers une paroi de résistance thermique 𝑅th séparant deux milieux de températures respectives θ𝐴 et θ𝐵 est donnée par la relation :
$$\Phi = \dfrac{\theta_A – \theta_B}{R_{\text{th}}}$$
- 1 W⋅h=3 600 J.
Q1. Calculer la valeur de la variation d’énergie interne Δ𝑈 du système constitué par l’eau contenue dans le ballon lorsque sa température varie de θ1 = 15 °C à θ2 = 55 °C.
$\Delta U=m_{eau} \times c_{eau} \times (\theta_f-\theta_i)$
$\Delta U=m_{eau} \times c_{eau} \times (\theta_2-\theta_1)$
Or
$\rho_{eau}=\frac{m_{eau}}{V}$
$\frac{m_{eau}}{V}=\rho_{eau}$
$m_{eau}=\rho_{eau} \times V$
D’où
$\Delta U=\rho_{eau} \times V \times c_{eau} \times (\theta_2-\theta_1)$
$\Delta U=1,0 \times 200 \times 4,18{ \times 10}^3 \times (55-15)$
$\Delta U=3,3{ \times 10}^7\ J$
Le chauffe-eau est installé dans un garage où la température est maintenue à la température θair = 18 °C. La résistance thermique du ballon d’eau a pour valeur : 𝑅th = 0,47 °C⋅W-1. On s’intéresse au transfert thermique ayant lieu entre l’eau chaude à la température θ2 = 55 °C et l’air du garage.
Q2. Indiquer le principal mode de transfert thermique à l’origine du flux thermique à travers de la paroi du ballon ainsi que son sens.
Le principal mode de transfert thermique à l’origine du flux thermique à travers de la paroi du ballon est la conduction.
Le transfert thermique se fait du corps chaud vers le corps froid.
L’eau chaude a une température θ2= 55 °C
L’air du garage a une température θair= 18 °C
Ainsi, le transfert thermique se fait de l’eau chaude vers l’air du garage.
Q3. Calculer la valeur du flux thermique 𝛷 à travers la paroi du ballon, entre l’eau chaude portée à la température θ2 = 55 °C et l’air du garage.
$\phi=\frac{\theta_A-\theta_B}{R_{th}}$
$\phi=\frac{\theta_2-\theta_{air}}{R_{th}}$
$\phi=\frac{55-18}{0,47}$
$\phi=79\ W$
Q4. Montrer que la valeur de la quantité d’énergie thermique 𝑄1 échangée entre l’eau liquide contenue dans le ballon et l’air du garage en une journée est égale à 6,8 × 103 kJ.
$\Phi=\frac{Q}{\Delta t}$
$\frac{Q}{\Delta t}=\Phi$
$Q=\Phi \times \Delta t$
$Q_1=79 \times 24 \times 60 \times 60$
$Q_1=6,8{ \times 10}^6\ J$
$Q_1=6,8{ \times 10}^3\ k\ J$ La valeur de la quantité d’énergie thermique 𝑄1 échangée entre l’eau liquide contenue dans le ballon et l’air du garage en une journée est égale à ,8 × 103 kJ.
Q5. En appliquant le premier principe de la thermodynamique à l’eau contenue dans le ballon, exprimer l’énergie thermique 𝑄2 nécessaire pour chauffer chaque jour l’eau du ballon de θ1 à θ2 en fonction de ∆𝑈 et 𝑄1.
$\Delta U=Q+W$
Or $W=0$
Donc $\Delta U=Q$
Or $Q=Q_1+Q_2$
Donc
$\Delta U=Q_1+Q_2$
$Q_1+Q_2=\Delta U$
$Q_2=\Delta U-Q_1$
Q6. Montrer que la valeur de l’énergie thermique 𝑄2 est voisine de 11 kW⋅h.
$Q_2=\Delta U-Q_1$
Remarque : l’énergie Q1 échangée entre l’eau liquide contenue dans le ballon et l’air du garage est perdue par l’eau, elle est donc comptée négativement.
$Q_2=3,3{ \times 10}^7-\left(-6,8{ \times 10}^6\right)$
$Q_2=4,0{ \times 10}^7\ J$
Or $1 W⋅h=3 600 J$.
$Q_2=\frac{4,0{ \times 10}^7}{3600}$
$Q_2=1,1{ \times 10}^4\ W\bullet h$
$Q_2=11\ kW\bullet h$
Ainsi, la valeur de l’énergie thermique 𝑄2 est de 11 kW⋅h.
Le chauffe-eau thermodynamique permet de chauffer l’eau du ballon grâce à une pompe à chaleur (notée PAC) air-eau. La PAC air-eau prélève l’énergie de l’air ambiant pour chauffer un fluide caloporteur. Ce fluide en mouvement cède une quantité d’énergie par transfert ther mique à l’eau du ballon à chauffer. On supposera que ce transfert thermique se fait sans perte.
Pour fonctionner, la PAC consomme de l’énergie électrique pour mettre en circulation le fluide caloporteur.
Une PAC est caractérisée par son coefficient de performance, ou COP, qui est défini comme le quotient entre la valeur absolue de l’énergie utile, c’est-à-dire la valeur du transfert thermique cédé à la source à chauffer, et l’énergie électrique consommée nécessaire à son fonctionnement. La PAC utilisée dans le chauffe-eau thermodynamique installé dans le chalet a un COP égal à 3,2.
Q7. Calculer la valeur de l’énergie électrique 𝐸𝑃𝐴𝐶 consommée par la PAC pour chauffer quotidiennement l’eau du ballon.
Une PAC est caractérisée par son coefficient de performance, ou COP, qui est défini comme le quotient entre la valeur absolue de l’énergie utile, c’est-à-dire la valeur du transfert thermique cédé à la source à chauffer, et l’énergie électrique consommée nécessaire à son fonctionnement.
$\mathrm{COP}=\frac{Q_{\mathrm{utile}}}{E_{\mathrm{PAC}}}$
$\mathrm{COP}=\frac{Q_2}{E_{\mathrm{PAC}}}$
$\mathrm{COP\times}E_{\mathrm{PAC}}=Q_2$
$E_{\mathrm{PAC}}=\frac{Q_2}{\mathrm{COP}}$
$E_{\mathrm{PAC}}=\frac{11}{\mathrm{3,2}}$
$E_{\mathrm{PAC}}=3,4\ kW\cdot h$
Le propriétaire du chalet a installé 10 panneaux photovoltaïques sur le toit de son habitation. La consommation électrique quotidienne du chalet est estimée à 8 kW⋅h en plus de l’énergie électrique consommée quotidiennement par la PAC.
Données :
- puissance électrique moyenne fournie par un panneau : 𝑃elec = 300 W ;
- ensoleillement moyen quotidien : 5 heures par jour.
Q8. Pour une journée d’ensoleillement moyen, calculer, en kW·h, l’énergie électrique produite par l’installation des panneaux photovoltaïques et vérifier que l’installation est suffisante pour couvrir la consommation électrique quotidienne totale du chalet en supposant que cette consommation a lieu pendant la durée d’ensoleillement.
Calculons l’énergie produite par les panneaux photovoltaïques.
$E_{\mathrm{PV}}=P\times ∆t$
Or
$P=N\times P_{\mathrm{elec}}$
$E_{\mathrm{PV}}=N\times P_{\mathrm{elec}}\times ∆t$
$E_{\mathrm{PV}}=10\times 300\times 5$
$E_{\mathrm{PV}}=1,5{\times 10}^4\ W\cdot h$
$E_{\mathrm{PV}}=15\ kW\cdot h$
D’après l’énoncé : « La consommation électrique quotidienne du chalet est estimée à $8\ kW⋅h$ en plus de l’énergie électrique consommée quotidiennement par la PAC. »
Calculons l’énergie totale nécessaire
$E_{\mathrm{nec}}=E_{\mathrm{chalet}}+E_{\mathrm{PAC}}$
$E_{\mathrm{nec}}=8+3,4$
$E_{\mathrm{nec}}=11,4\ kW\cdot h$
$E_{\mathrm{PV}}>E_{\mathrm{nec}}$ : en supposant que cette consommation a lieu pendant la durée d’ensoleillement, l’installation est suffisante pour couvrir la consommation électrique quotidienne totale du chalet.
Partie 2. Étude sonore du chauffe-eau thermodynamique
Le principal inconvénient du chauffe-eau thermodynamique est le bruit qu’il génère. Dans le garage, à une distance de 𝑑1 = 0,10 m du ballon, le sonomètre indique 𝐿1 = 70 dB. Le propriétaire souhaite vérifier que les vacanciers hébergés dans une chambre située derrière le mur, à une distance
𝑑2 = 5,00 m du chauffe-eau, ne seront pas dérangés par son fonctionnement. On considère que dans une chambre à coucher le niveau d’intensité sonore conseillé ne doit pas dépasser 30 dB. Pour cela, il réalise l’isolation phonique de son garage apportant une atténuation de 25 dB.
Données :
- intensité sonore de référence : 𝐼0 = 1,0 × 10−12 W⋅m-2 ;
- modèle de l’atténuation géométrique pour une source ponctuelle :
l’intensité sonore 𝐼 à une distance 𝑑 de la source est reliée à la puissance sonore 𝑃 de cette source par la relation :
$$I = \dfrac{P}{4 \cdot \pi \cdot d^2}$$
Q9. Indiquer le type d’atténuation sonore mis en œuvre par l’isolation phonique du garage.
L’atténuation sonore mis en œuvre par l’isolation phonique du garage est une atténuation par absorption.
Q10. Indiquer si les vacanciers situés à la distance 𝑑2 = 5,00 m du chauffe-eau seront gênés par son fonctionnement.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.
Exprimons la puissance sonore P :
$I=\frac{P}{4 \times \pi \times d^2}$
$I_1=\frac{P}{4 \times \pi \times d_1^2}$
$\frac{P}{4 \times \pi \times d_1^2}=I_1$
$P=4 \times \pi \times d_1^2 \times I_1$
$P=4 \times \pi \times d_1^2 \times I_0 \times {10}^\frac{L_1}{10}$
Exprimons l’intensité sonore I2 au niveau des vacanciers :
$I=\frac{P}{4 \times \pi \times d^2}$
$I_2=\frac{P}{4 \times \pi \times d_2^2}$
Or
$P=4 \times \pi \times d_1^2 \times I_0 \times {10}^\frac{L_1}{10}$
Ainsi,
$I_2=\frac{4 \times \pi \times d_1^2 \times I_0 \times {10}^\frac{L_1}{10}}{4 \times \pi \times d_2^2}$
$I_2=\frac{d_1^2 \times I_0 \times {10}^\frac{L_1}{10}}{d_2^2}$
Calculons le niveau d’intensité sonore au niveau des vacanciers :
$L=10\ log\left(\frac{I}{I_0}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{I_2}{I_0}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{\frac{d_1^2 \times I_0 \times {10}^\frac{L_1}{10}}{d_2^2}}{I_0}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{d_1^2 \times I_0 \times {10}^\frac{L_1}{10}}{I_0 \times d_2^2}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{d_1^2 \times {10}^\frac{L_1}{10}}{d_2^2}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{{0,1}^2 \times {10}^\frac{70}{10}}{{5,0}^2}\right)$
$L_2=36\ dB$
Or le propriétaire réalise l’isolation phonique de son garage apportant une atténuation de $25\ dB$.
${L\prime}_2=L_2-A$
${L\prime}_2=36\ -25$
${L\prime}_2=11\ dB$
D’après l’énoncé : « on considère que dans une chambre à coucher le niveau d’intensité sonore conseillé ne doit pas dépasser $30\ dB$. »
${L\prime}_2<30\ dB$ : les vacanciers situés à la distance 𝑑2 = 5,00 m du chauffe-eau ne seront pas gênés par son fonctionnement.