Observation d’un avion en vol

Bac Métropole 2024 Sujet 1

Exercice 2 – (5 points) –  Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n°24-PYCJ1ME1

Exercice 2 – Observation d’un avion en vol (5 points)

Le trafic aérien est source de fascination pour beaucoup de gens. Notre observation se limite souvent à la traînée de l’avion dans le ciel ou, plus récemment, à un suivi en direct (trajectoire, vitesse, altitude) grâce à des applications en ligne.

L’objectif de cet exercice est d’étudier l’observation, avec une lunette astronomique afocale commerciale, de certains détails de la structure d’un avion de type A312 en vol, puis de déterminer la vitesse de cet avion en phase d’atterrissage grâce à un enregistrement du son émis par le moteur.

Données :

• les valeurs du grossissement G de la lunette astronomique utilisée sont comprises entre 16 et 48 ;
• un observateur peut distinguer deux points différents A et B d’un objet si l’angle a sous lequel ces deux points sont vus depuis le point d’observation (voir figure ci-dessous) est supérieur ou égal à 3,0×10^–4 rad ;

• approximation dans le cas des petits angles (a << 1 rad) : tan(a) = a ;
• quelques données concernant un avion A312 :
  • longueur de l’avion : L = 44,5 m ;
  • altitude de vol de croisière de l’avion : h = 10,4 km ;
  • vitesse de vol de croisière de l’avion : vc = 863 km·h^–1 ;
  • hublot de l’avion A312 :

1. Observation d’un avion A312 avec une lunette astronomique

Q1. Donner la définition d’une lunette afocale.

Un système optique est dit afocal s’il donne d’un objet à l’infini une image à l’infini.

Q2. Sur le schéma EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, placer le foyer objet F₂ puis le foyer image F₂^‘ de l’oculaire de la lunette astronomique.

Pour que la lunette soit afocale, les deux foyers $F_1^\prime$ et $F_2$ doivent être confondus.
Comme la lunette est afocale, on place $F_2$ sur $F_1^\prime$.
La distance ${\rm OF}_2^\prime=OF_2$.

L’avion vole à la verticale de l’observateur et se trouve donc à la distance h de celui-ci.

Sur le schéma EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, les extrémités avant et arrière de l’avion observé sont respectivement modélisées par les points A_∞ et B_∞, situés à une très grande distance de l’observateur.

Q3. Construire, sur le schéma EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, la marche des deux rayons lumineux issus de B_∞ qui émergent de la lunette, en faisant apparaître l’image intermédiaire A₁B₁.

Le rayon lumineux issu de B pénétrant dans la lunette par le centre optique O₁ de la lentille L₁ n’est pas dévié.

Position de B₁ image intermédiaire de B : Comme l’objet $A_\infty B_\infty$ est à l’infini, son image $A_1B_1$ est dans le plan focal image de l’objectif L₁.

L’autre rayon lumineux issus de B, sort de L₁ en passant par B₁.

Pour le rayon émergeant de la lentille L₂ :
On trace un rayon issu de B₁ passant par O₂. Ce rayon ne sera pas dévié.
De plus nous savons que l’image d’un objet situé dans le plan focal objet d’une lentille se forme à l’infini. Ainsi les rayons émergeants de la lentille L₂ issue de B₁ seront parallèles à ce rayon tracé.

L’angle α désigne l’angle sous lequel l’avion est observé à l’œil nu. L’angle sous lequel l’avion est observé au travers de l’oculaire de la lunette astronomique est nommé α’.

Q4. Vérifier à l’aide d’un calcul que l’on peut distinguer, à l’œil nu, l’avant de l’avion de sa queue.

Pour des angles très petits, exprimés en radian : $\tan \alpha \approx \alpha$
$\alpha \approx \tan\ \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
$\alpha=\frac{L}{h}$
$\alpha=\frac{44,5}{10,4\times {10}^3}$
$\alpha=4,28\times {10}^{-3}\ rad$

D’après le sujet : « un observateur peut distinguer deux points différents si l’angle $\alpha$ sous lequel ces deux points sont vus depuis le point d’observation est supérieur ou égal à = 3,0 × 10−4 rad »
$\alpha >3,0\times {10}^{-4}\ rad$ : on peut distinguer, à l’œil nu, l’avant de l’avion et sa queue.

Q5. Après avoir placé les angles α et α’ sur le schéma EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, rappeler l’expression du grossissement G d’une lunette astronomique en fonction des angles α et α’.

L’angle $\alpha$ est l’angle sous lequel est vu l’objet sans la lunette.
L’angle $\alpha^\prime$ est l’angle sous lequel est vu l’objet avec la lunette.

Le grossissement $G$ d’une lunette astronomique est défini par :
$G=\frac{\alpha^\prime}{\alpha}$

Q6. Déterminer si on peut distinguer l’un de l’autre les deux bords verticaux d’un hublot de l’avion, à l’aide de la lunette astronomique étudiée.

Calculons le grossissement minimal pour voir les deux bords verticaux (avec $\alpha^\prime=3,0\times {10}^{-4}\ rad$) :
$G=\frac{\alpha^\prime}{\alpha}$
$G=\frac{3,0\times {10}^{-4}}{2,2\times {10}^{-5}}$
$G=14$

Les valeurs du grossissement de la lunette astronomique utilisée sont comprises entre 16 et 48 : On peut distinguer les deux bords verticaux d’un hublot de l’avion à l’aide de la lunette astronomique utilisée.

2. Détermination de la vitesse d’un avion A312 en phase d’atterrissage

Au voisinage de l’aéroport, un observateur enregistre le son du moteur de l’avion passant au-dessus de lui lors de sa phase d’atterrissage. L’observateur est supposé fixe lors de l’enregistrement du son.

L’analyse du signal sonore enregistré permet de déterminer les fréquences des signaux reçus par l’observateur. Lorsque l’avion s’avance en direction de l’observateur la fréquence mesurée est f_A = 2,2 kHz, et lorsqu’il s’éloigne la fréquence est f_E = 1,5 kHz.

Q7. Donner le nom du phénomène mis en jeu dans cette expérience.

Le phénomène mis en jeu dans cette expérience est l’effet Doppler.

On note f₀ la fréquence du signal émis par la source immobile, c la vitesse du son dans l’air dans les conditions de l’expérience et v la vitesse de l’avion par rapport au sol. On donne c = 345 m·s–1.

Q8. Parmi les propositions A, B, C et D suivantes, choisir et recopier sur la copie la proposition correcte. Expliquer pourquoi les autres propositions sont à écarter.

A	B	C	D
$$f_A=\dfrac{c}{c-v} $$ $$f_E=\dfrac{c}{c+v}$$	$$f_A=f_0\cdot\dfrac{c}{c-v}$$ $$f_E=f_0\cdot\dfrac{c}{c+v}$$	$$f_A=f_0\cdot\dfrac{c}{c+v}$$ $$f_E=f_0\cdot\dfrac{c}{c-v}$$	$$f_A=f_0\cdot\dfrac{c}{c-2v} $$ $$f_E=f_0\cdot\dfrac{c}{c+v}$$

Faisons l’analyse dimensionnelle de la proposition A :
$f_A=\frac{c}{c-v}$
$\left[f_A\right]=\frac{\left[c\right]}{\left[c\right]-\left[v\right]}$
$Hz=\frac{m.s^{-1}}{m.s^{-1}-m.s^{-1}}$
$Hz=\frac{m.s^{-1}}{m.s^{-1}}$
$Hz=\text{sans unité}$ : la relation est fausse.

$c>c-v$
$\frac{c}{c-v}>1$
Ainsi, en multipliant par $\frac{c}{c-v}$, la fréquence augmente

$c<c+v$
$\frac{c}{c+v}<1$

Ainsi, en multipliant par $\frac{c}{c+v}$, la fréquence diminue

Expérimentalement $f_A>f_E$

La proposition C donne $f_A<f_E$
La proposition D n’est pas symétrique du fait du coefficient 2 de la première formule par rapport à la deuxième.

Ainsi, nous choisissons la proposition B.

Q9. Déterminer la vitesse v de l’avion, exprimée en km·h–1, lors de cet atterrissage. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.

$f_A=f_0\times\frac{c}{c-v}$
Or
$f_E=f_0\times\frac{c}{c+v}$
$f_0\times\frac{c}{c+v}=f_E$
$f_0=f_E\times\frac{c+v}{c}$

D’où
$f_A=f_E\times\frac{c+v}{c}\times\frac{c}{c-v}$
$f_A=f_E\times\frac{c+v}{c-v}$
$f_A\times\left(c-v\right)=f_E\times\left(c+v\right)$
$f_A\times c-f_A\times v=f_E\times c+f_E\times v$
$-f_A\times v-f_E\times v=f_E\times c-f_A\times c$
$v\times\left(-f_A-f_E\right)=c\times\left(f_E-f_A\right)$
$v=c\times\frac{\left(f_E-f_A\right)}{\left(-f_A-f_E\right)}$
$v=345\times\frac{\left(1,5\times {10}^3-2,2\times {10}^3\right)}{\left(-2,2\times {10}^3-1,5\times {10}^3\right)}$
$v=65\ m.s^{-1}$

$v=65\times3,6$
$v=235\ km.h^{-1}$

La vitesse trouvée est inférieure à la vitesse de croisière de l’avion, c’est cohérent avec une vitesse atterrissage.

ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE