Enseignement scientifique première
Durée 1h – 10 points – Thème « La Terre, un astre singulier »
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Il y a eu dans l’histoire de nombreuses constructions de gammes pour ordonner les notes à l’intérieur d’une octave. Cet exercice étudie deux types de gammes à douze notes : la gamme tempérée et la gamme de Pythagore.
L’octave peut être divisée en douze intervalles en formant douze notes de base (Do, Do#, Ré, Mib, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, Sib, Si). La gamme fréquemment utilisée de nos jours est la gamme tempérée, dans laquelle le rapport de fréquences entre deux notes consécutives est constant.
1- Préciser la valeur du rapport des fréquences de deux notes séparées d’une octave.
Le rapport des fréquences de deux notes séparées d’une octave est égal à 2.
2- Expliquer pourquoi la valeur exacte du rapport des fréquences entre deux notes consécutives de la gamme tempérée est 12√2.
Une octave est décomposée en 12 intervalles et la fréquence de deux notes séparées d’une octave est égal à 2 ainsi :
\[\sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}=\left(\sqrt[12]{2}\right)^{12}=2 \]
C’est pourquoi la valeur exacte du rapport des fréquences entre deux notes consécutives de la gamme tempérée est 12√2.
3- La fréquence du La3 est égale à 440 Hz. Calculer la valeur, arrondie au dixième, de la fréquence de la note suivante Si3b dans la gamme tempérée.
\[f(Si_3^b)=f(La_3)\times \sqrt[12]{2}\right \]
\[f(Si_3^b)=400 \times \sqrt[12]{2}\right \]
\[f(Si_3^b)=466,2 Hz \]
La valeur, arrondie au dixième, de la fréquence de la note suivante (Si3b) dans la gamme tempérée est égal à 466,2 Hz.
4- Jusqu’au XVIIe siècle, la gamme la plus utilisée était la gamme de Pythagore, obtenue à partir des quintes successives d’une note initiale. Le tableau ci-dessous donne les fréquences des différentes notes de la gamme de Pythagore en partant de 440 Hz.
| Note | Mi3 | Fa3 | Fa3# | Sol3 | Sol3# | La3 | Si3b | Si3 | Do4 | Do4# | Ré4 | Sol3# |
| Fréquence (Hz) | 330 | 352,4 | 371,3 | 396,4 | 417,7 | 440 | 469,9 | 495 | 528,6 | 556,9 | 594,7 | 626,5 |
4-a- Calculer le rapport des fréquences des notes Si3 et Mi3 et donner le nom d’un tel intervalle.
\[ \frac{f(Si_3)}{f(Mi_3)}= \frac{495}{330}=\frac{3}{2} \]
Cet intervalle est la quinte.
4-b- On considère la fonction Python freq_suivante ci-dessous qui permet de construire la gamme de Pythagore.
def freq_suivante(f):
f = 3/2*f
if f >= 660 :
f = f/2
return(f)
Donner les nombres renvoyés après l’exécution de freq_suivante(330) et de freq_suivante(440).
Préciser les notes correspondantes.
Exécution de freq_suivante(330):
\[f=\frac{3}{2}\times 330=495 \]
f=495<660
Après l’exécution de freq_suivante(330) le nombre renvoyé est 495 Hz.
Note correspondante : Si3
Exécution de freq_suivante(440):
\[f=\frac{3}{2}\times 440=660 \]
f=660 est dans la condition ≤660
f=f/2
f=660/2
f=330
Après l’exécution de freq_suivante(440) le nombre renvoyé est 330 Hz.
Note correspondante : Mi3