Extraction du gaz de schiste par électro-fracturation

Bac La Réunion 2023 Sujet 1

Exercice 3 – (6 points) –  Durée 1h03 – Calculatrice autorisée

Sujet n°23-PYCJ1LR1

Sujet et corrigé

EXERCICE III – EXTRACTION DU GAZ DE SCHISTE PAR ÉLECTRO-FRACTURATION (6 points)

L’électro-fracturation est une méthode actuellement à l’étude pour remplacer la fracturation hydraulique et extraire le gaz de schiste.

Deux électrodes sont introduites dans une cavité de la roche, remplie d’eau. Une forte tension électrique, fournie par des condensateurs, est appliquée aux bornes des deux électrodes, ce qui provoque un arc électrique, accompagnée d’une « onde de pression » qui fracture la roche en s’y propageant.

Source : d’après www.senat.fr/rap/r12-640/r12-64020.html

L’objectif de cet exercice est d’étudier la charge et la décharge des condensateurs en se basant sur les données d’une expérimentation menée à l’université de Pau et des Pays de l’Adour.

Figure 1: Exploitation du gaz de schiste et du gaz conventionnel (source : choisir.com)

Données :

• L’énergie stockée par un condensateur peut être calculée avec la relation  $W=\frac{1}{2}\times C\times u_C^2$

avec   
𝑊 : énergie stockée par le condensateur en joules (J) ;
𝐶 : capacité du condensateur en farads (F) ;
𝑢_𝐶 : tension aux bornes du condensateur en volts (V).

• Le rendement énergétique 𝜂, en %, peut être calculé avec la relation $\eta=\frac{E_{utile}}{E_{consomm\acute{e}e}}$ .

L’installation électrique permettant d’alimenter les électrodes peut être modélisée de façon simplifiée par un schéma électrique contenant (figure 2) :

• un interrupteur deux positions K ;
• une alimentation électrique de tension 𝐸 = 40 kV ;
• une installation permettant d’intégrer de 1 à 6 condensateurs placés en parallèle, chacun de capacité 𝐶 = 200 nF, représentée par un condensateur équivalent de capacité 𝐶_eq ;
• un conducteur ohmique de résistance 𝑅₁ = 160 kΩ ;
• le système {électrodes + eau} qui peut être modélisé par un conducteur ohmique de résistance 𝑅₂ = 100 Ω.

Figure 2 : schéma électrique simplifié de l’installation d’électro-fracturation

PARTIE A : Charge du condensateur équivalent

Dans cette partie, nous allons étudier la charge du condensateur équivalent de capacité 𝐶_eq pour déterminer l’énergie maximale stockée 𝑊_max. Le condensateur équivalent est initialement déchargé et l’on ferme l’interrupteur K en position 1 à l’instant t = 0 s.

A.1 Établir l’expression liant la tension aux bornes du condensateur équivalent 𝑢_𝐶,eq, celle aux bornes du conducteur ohmique 𝑢_𝑅1 , et la tension aux bornes de l’alimentation 𝐸.

D’après la loi d’additivité des tensions ou loi des mailles :
$$U_{C,eq}(t)+U_{R_1}(t)=E$$

A.2 Établir l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension 𝑢_𝐶,eq, aux bornes du condensateur équivalent lors de la charge.

$$U_{C,eq}(t)+U_{R_1}(t)=E$$

or $$U_{R_1}(t)=R_1\times i$$
$$U_{C,eq}(t)+R_1\times i\ =E$$

Or $$i(t)=\frac{dq_{(t)}}{dt}$$
$$U_{C,eq}(t)+R_1\times \frac{dq_{(t)}}{dt}\ =E$$

Or $$q(t)=C_{eq}\times U_{C,eq}(t)$$
$$U_{C,eq}(t)+R_1\times \frac{dC_{eq}\times U_{C,eq}(t)}{dt}\ =E$$
$$U_{C,eq}(t)+R_1C_{eq}\frac{dU_{C,eq}(t)}{dt}=E$$

A.3 Vérifier que la solution de cette équation différentielle s’écrit : $u_{C,\mathrm{eq}}(t)=E\times\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau_{\mathrm{charge}}}}\right)$ et exprimer 𝜏_charge en fonction de 𝑅₁ et 𝐶_eq.

Vérifions que la solution de cette équation différentielle est de la forme :
$$U_{C,eq}(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}\right)$$
-Dérivons $U_C\left(t\right)$ :
$$\frac{dU_{C,eq}(t)}{dt}=\frac{E}{\tau_{charge}}e^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}$$
-Remplaçons $U_C\left(t\right)$ et $\frac{dU_C(t)}{dt}$ dans l’équation :
$$U_{C,eq}(t)+R_1C_{eq}\frac{dU_{C,eq}(t)}{dt}=E$$

$$E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}\right)+R_1C_{eq}\frac{E}{\tau_{charge}}e^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}=E$$
$$E-Ee^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}+R_1C_{eq}\frac{E}{\tau_{charge}}e^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}=E$$
$$-Ee^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}+R_1C_{eq}\frac{E}{\tau_{charge}}e^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}=0$$
$$Ee^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}\left(-1+R_1C_{eq}\frac{1}{\tau_{charge}}\right)=0$$
Un produit de facteur est nul si un des ses facteurs et nul :
$$-1+R_1C_{eq}\frac{1}{\tau_{charge}}=0$$
$$R_1C_{eq}\frac{1}{\tau_{charge}}=1$$
$$R_1C_{eq}=\tau_{charge}$$
$$\tau_{charge}=R_1C_{eq}$$
La solution de la forme $U_{C,eq}\left(t\right)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau_{charge}}}\right)$ vérifie l’équation différentielle avec
$$\tau_{charge}=R_1C_{eq}$$

A.4 Déterminer la capacité 𝐶_eq du condensateur équivalent. On détaillera le raisonnement et fera apparaître clairement une partie de la démarche sur la courbe 1 de l’annexe à rendre avec la copie (page 10/10).

$\tau$ peut être déterminée graphiquement par deux méthodes :
$$U_{C,eq}\left(\tau_{charge}\right)=E\left(1-e^{-\frac{\tau_{charge}}{\tau_{charge}}}\right)=E\left(1-e^{-1}\right)=0,63E$$
On trace la tangente à la courbe à t=0 et on regarde l’abscisse du point d’intersection entre cette tangente et l’asymptote $U_C=E$ pour la charge.

$$\tau_{charge}=R_1C_{eq}$$
$$R_1C_{eq}=\tau_{charge}$$
$$C_{eq}=\frac{\tau_{charge}}{R_1}$$
$$C_{eq}=\frac{0,095}{160\times {10}^3}$$
$$C_{eq}=5,94\times {10}^{-7}F$$ 

A.5 En déduire le nombre de condensateurs de capacité 𝐶 = 200 nF utilisés lors de l’expérimentation.

$$C_{eq}=N\times C$$
$$N\times C=C_{eq}$$
$$N=\frac{C_{eq}}{C}$$
$$N=\frac{5,94\times {10}^{-7}}{200\times {10}^{-9}}$$
$$N=2,97$$
Or N est un nombre entier : N=3.
3 condensateurs de capacité C = 200 nF sont utilisés lors de l’expérimentation.

A.6 Déterminer l’énergie maximale 𝑊_max stockée dans le condensateur équivalent chargé.

$$W=\frac{1}{2}\times C\times u_C^2$$
$$W_{max}=\frac{1}{2}\times C_{eq}\times E^2$$
$$W_{max}=\frac{1}{2}\times 5,94\times {10}^{-7}\times \left(40\times {10}^3\right)^2$$
$$W_{max}=4,8\times {10}^2\ J$$

PARTIE B : Décharge du condensateur équivalent

Avant l’apparition d’un arc électrique entre les deux électrodes, le condensateur équivalent est initialement chargé avec une tension 𝐸 = 40 kV, puis il subit une pré-décharge pendant une durée ∆𝑡 = 12 µ𝑠. On considérera pour la suite de l’exercice que 𝐶_eq = 600 nF.

Durant cette pré-décharge, la tension aux bornes du condensateur équivalent évolue selon l’expression $u_{C,\mathrm{eq}}(t)=E\times \mathrm{e}^{-\frac{t}{R_2,C_{\mathrm{eq}}}}$

À 𝑡 = 0 s, on ferme l’interrupteur K en position 2.

B.1 Déterminer la valeur de la tension 𝑢_𝐶,eq(𝑡 = Δ𝑡) aux bornes du condensateur équivalent à la fin de la pré-décharge.

$$U_{C,eq}\left(t\right)=E\times e^{-\frac{t}{R_2C_{eq}}}$$
$$U_{C,eq}t=\Delta t=E\times e^{-\Delta tR_2C_{eq}}$$
$$U_{C,eq}t=\Delta t=40\times 10^3\times e^{-\frac{12\times 10^{-6}}{100\times 600\times 10^{-9}}}$$
$$U_{C,eq}t=\Delta t=3,3\times 10^4\ V$$
$$U_{C,eq}t=\Delta t=33\ kV$$

B.2 En déduire la valeur de l’énergie restante 𝑊_arc dans le condensateur équivalent et disponible pour la création de l’arc électrique.

$$W=\frac{1}{2}\times C\times u_C^2$$
$$W_{arc}=\frac{1}{2}\times C_{eq}\times {U_{C,eq}}^2$$
$$W_{arc}=\frac{1}{2}\times 600\times {10}^{-9}\times \left(3,3\times {10}^4\right)^2$$
$$W_{arc}=3,3\times {10}^2J$$

B.3 Calculer le rendement énergétique 𝜂 de l’installation étudiée permettant la création de l’arc électrique. Commenter.

$$\eta=\frac{E_{utile}}{E_{consommée}}$$
$$\eta=\frac{W_{arc}}{W_{max}}$$
$$\eta=\frac{3,3\times {10}^2}{4,8\times {10}^2}$$
$$\eta=0,69$$
$$\eta=69\ %$$

Le rendement énergétique η de l’installation étudiée permettant la création de l’arc
électrique est de 69%.
31% de l’énergie emmagasinée est perdue.

ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE (même non complétée)

EXERCICE III : Charge du condensateur équivalent