Enseignement scientifique Terminale
Durée 1h – 10 points – Thème « Une histoire du vivant »
Sujet n°ENSSCI3180 et n°ENSSCI3208
Télécharger l’exercice en PDF :
La maladie de Lyme est transmise lors d’une piqûre de tique infectée par une bactérie du genre Borrelia. L’infection est souvent sans symptôme mais peut dans certains cas entrainer une maladie invalidante. La maladie de Lyme n’est pas contagieuse. Aux États-Unis, on assiste à une augmentation importante du nombre de cas. On cherche à en comprendre l’origine.
Partie 1 – Les souris à pattes blanches, réservoir de la maladie de Lyme
Les souris à pattes blanches constituent une espèce réservoir de la maladie de Lyme : elles hébergent la bactérie Borrelia qu’elles transmettent à la tique, un Acarien responsable de l’infection chez l’être humain. Aussi, les chercheurs s’intéressent à la croissance des populations de souris, et ce, dans deux contextes environnementaux : en présence des prédateurs des souris, et en l’absence des prédateurs des souris (voir le document 1 page suivante).
1- Indiquer, avec justification, laquelle des suites du document 1 traduit une croissance linéaire.
Une croissance linéaire est représentée par une droite.
Ainsi, la suite du document 1 qui traduit une croissance linéaire est la suite un.
2- Par lecture graphique, déterminer 𝑢12 et 𝑣12.
Graphiquement, 𝑢12=8 et 𝑣12=24.
3- À l’aide du graphique, montrer que la suite (𝑢𝑛) s’exprime pour tout entier naturel 𝑛 par : 𝑢𝑛 = 2 + 0,5n.
La suite $u_n$ traduit une croissance linéaire, c’est une suite arithmétique du type $u_n=u_0+n \times r$.
Avec $u_0$ son premier terme et $r$ sa raison.
Graphiquement $u_0=2$
Trouvons la raison $r$ :
$u_n=u_0+n \times r$
$u_0+n \times r=u_n$
$n \times r=u_n-u_0$
$r=\dfrac{u_n-u_0}{n}$
On sait (question 2) que $u_{12}=8$.
$r=\dfrac{8-2}{12}$
$r=0,5$
Ainsi $u_n=2+n \times 0,5$
$u_n=2+0,5n$
4- Calculer 𝑢30 et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Calculons $u_{30}$ :
$u_{30}=2+0,5 \times 30$
$u_{30}=17$
$u_{30}$ représente le nombre de souris à pattes blanches pour l’année 2050 (2020 + 30) en présence de prédateurs des souris.
La suite (𝑣𝑛) est une suite géométrique de premier terme 𝑢0 = 2 et de raison 1,23. On peut écrire 𝑣𝑛 = 2 × 1,23𝑛.
5- Démontrer que le taux d’évolution de la population est d’environ 33 %.
$v_n=2 \times 1,23^n$
Le taux d’évolution entre deux termes consécutifs d’une suite est donné par :
$t=\dfrac{v_{n+1}-v_n}{v_n}$
$t=\dfrac{2 \times 1,23^{n+1}-2 \times 1,23^n}{2 \times 1,23^n}$
$t=\dfrac{2 \times 1,23^n \times 1,23^1-2 \times 1,23^n}{2 \times 1,23^n}$
$t=\dfrac{2 \times 1,23^n(1,23-1)}{2 \times 1,23^n}$
$t=(1,23-1)$
$t=0,23$
$t=23\ %$
Ainsi, le taux d’évolution de la population est de 23 %.
Remarque : le taux annoncé par l’énoncé de 33% doit être une erreur de frappe.
6- Déterminer 𝑣30 et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$v_n=2 \times 1,23^n$
$v_{30}=2 \times 1,23^{30}$
$v_{30}=996$
$v_{30}$ représente le nombre de souris à pattes blanches pour l’année 2050 (2020 + 30) en l’absence de prédateurs des souris.
Document 1 – La croissance des populations de souris à pattes blanches
À partir d’études statistiques, des chercheurs ont modélisé la croissance de populations de souris par deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) :
- 𝒖𝒏 représente le nombre de souris à pattes blanches pour l’année (2020 + 𝑛) en présence de prédateurs des souris ;
- 𝒗𝒏 représente le nombre de souris à pattes blanches pour l’année (2020 + 𝑛) en l’absence de prédateurs des souris.
Les représentations graphiques des premiers termes de ces suites sont données ci-après.
Taille de la population de souris, en nombre d’individus
En présence de prédateurs des souris : 𝒖𝒏
En absence de prédateurs des souris : 𝒗𝒏
Source : d’après Vessey, S.H.,& Vessey, K.B. (2007). Integrative Zoology
7- À partir de vos connaissances, indiquer si le modèle mathématique correspondant à la suite (𝑣𝑛) permet de réaliser des prédictions fiables de l’évolution de la population de souris en l’absence de prédateur, sur des temps longs.
Le modèle mathématique de la suite $v_n=2 \times 1,23^n$ représente une croissance exponentielle de la population de souris en l’absence de prédateurs.
Sur le court terme, ce modèle peut être pertinent pour estimer l’évolution de la population. Cependant, sur le long terme, il n’est pas réaliste : dans la nature, les ressources (nourriture, espace, etc.) sont limitées, ce qui freine la croissance.
De plus, une surpopulation entraîne des maladies, des migrations ou l’arrivée de nouveaux prédateurs. Ainsi, ce modèle ne tient pas compte des contraintes et ne permet donc pas de faire des prédictions fiables à long terme.
Partie 2 – Les causes de la croissance des populations de souris à pattes blanches
Document 2 – La fragmentation des habitats et ses effets
La fragmentation des habitats est la division des écosystèmes en parcelles isolées par des infrastructures comme des villes ou encore des terres agricoles. Elle est principalement liée à l’activité humaine et a des conséquences sur le fonctionnement des écosystèmes. Par exemple, aux États-Unis, la fragmentation des forêts y limite la présence de grands carnivores qui régulent normalement les populations d’animaux réservoirs de pathogènes, comme les souris à patte blanche.
Source : d’après Allan, B.F. et al. (2003). Conservation Biology
8- À partir des documents 1 et 2, argumenter le concept « une seule santé » qui établit un lien entre la santé de l’être humain et celle des écosystèmes.
Le concept « Une seule santé » souligne l’interdépendance entre la santé humaine, animale et environnementale. Le document 2 montre que la fragmentation des habitats, causée par l’activité humaine, limite la présence des prédateurs naturels des souris à pattes blanches. Or, comme le montre le document 1, en l’absence de ces prédateurs, la population de souris croît bien plus fortement.
Ces souris sont des réservoirs de pathogènes, ce qui augmente le risque de transmission de maladies à l’être humain. Ainsi, protéger les écosystèmes contribue donc aussi à protéger la santé humaine.