« J’ai froid aux pieds sur le carrelage, je préfère le parquet ! »

Bac Amérique du Nord 2026 Sujet 2

Exercice 1 – (11 points) – Durée 1h45 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ2AN1

Sujet et corrigé

EXERCICE 1 – « J’AI FROID AUX PIEDS SUR LE CARRELAGE, JE PRÉFÈRE LE PARQUET ! » (11 points)

Alors que les températures des deux sols sont identiques, on ressent que l’un des deux est plus froid que l’autre !

Cette sensation est liée à l’effusivité des matériaux.

Selon Jean-Claude Krapez, ingénieur de recherche, auteur d’une thèse sur le sujet :

« L’effusivité d’un matériau caractérise la vitesse avec laquelle il peut échanger de l’énergie thermique avec son environnement. Lorsque son effusivité thermique est forte, un matériau absorbe rapidement de l’énergie thermique sans se réchauffer notablement en surface (cas de la pierre, de l’acier, du carrelage), et inversement lorsque son effusivité thermique est faible le matériau se réchauffe très rapidement sur la surface de contact avec une source chaude. Ce qui signifie que ce genre de matériaux n’absorbe pas beaucoup d’énergie thermique et que cette dernière reste en surface, comme c’est le cas pour le bois ».

La température de contact qui sera ressentie par le pied se détermine en utilisant l’effusivité des matériaux en contact.

Pour reproduire cette expérience au laboratoire afin de bien comprendre ce phénomène, on utilise un morceau de carrelage, un morceau de bois de parquet et une poche en silicone. La poche en silicone permet ainsi de simuler un pied nu car elle possède des propriétés mécaniques et thermiques similaires au dessous du pied.

1. Détermination de l’effusivité d’un matériau

Données :

• Effusivité E d’un matériau : E = √(λ × c_v) avec :
• λ : conductivité thermique du matériau (en J·K⁻¹·m⁻¹·s⁻¹) ;
• c_v : capacité thermique volumique du matériau (en J·K⁻¹·m⁻³).
• c_v = C/V avec :
• C : capacité thermique du morceau de matériau utilisé en J·K⁻¹ ;
• V : volume du morceau de matériau en m³.
• Conductivités thermiques des matériaux : λ_bois = 0,14 J·K⁻¹·m⁻¹·s⁻¹ ; λ_carrelage = 1,3 J·K⁻¹·m⁻¹·s⁻¹ ; λ_silicone = 0,80 J·K⁻¹·m⁻¹·s⁻¹.
• Capacité thermique de l’eau en J·K⁻¹ : C_eau = m_eau × c_eau, avec :
• c_eau : capacité thermique massique de l’eau, c_eau = 4,18×10³ J·K⁻¹·kg⁻¹ ;
• m_eau : masse de l’eau en kg.
• T : température en kelvin ;
• θ : température en degré Celsius ;
• Variation de l’énergie interne d’un système incompressible : ΔU = C × ΔT avec :
• C : capacité thermique du système ;
• ΔT : variation de température du système.
• Rappel : √a = a^1/2.

Q1. Montrer que l’effusivité s’exprime en J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2.

On a :

$$E = \sqrt{\lambda \times c_{v}}$$

avec :

• λ en J.K⁻¹.m⁻¹.s⁻¹
• c_v en J.K⁻¹.m⁻³

$$E = \sqrt{\lambda \times c_{v}}$$

$$[E] = \sqrt{J.K^{-1}.m^{-1}.s^{-1} \times J.K^{-1}.m^{-3}}$$

$$[E] = \sqrt{J^{2}.K^{-2}.m^{-4}.s^{-1}}$$

Or $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$$[E] = J^{\frac{2}{2}}.K^{-\frac{2}{2}}.m^{-\frac{4}{2}}.s^{-\frac{1}{2}}$$

$$[E] = J.K^{-1}.m^{-2}.s^{-\frac{1}{2}}$$

Les conductivités thermiques λ des matériaux étant données, on cherche à obtenir les capacités thermiques volumiques des matériaux à partir d’une mesure de C et de V du morceau choisi.

On choisit de déterminer C_carrelage, la capacité thermique du morceau de carrelage, par calorimétrie.

On considère que dans un calorimètre, on néglige tout travail et tout transfert thermique avec l’extérieur.

On place 720 g d’eau à 25,4 °C dans le calorimètre. On y insère le morceau de carrelage à 39,7 °C. On relève la température finale d’équilibre thermique au bout de quelques dizaines de secondes, le temps que les transferts thermiques se fassent. On relève une température finale de 25,9 °C.

On considère le système {eau + carrelage} dans le calorimètre.

Q2. Indiquer le sens dans lequel s’opère le transfert thermique entre le corps chaud et le corps froid.

Le transfert thermique s’effectue du corps chaud vers le corps froid.

Le transfert thermique Q s’effectue du morceau de carrelage vers l’eau.

Q3. Rappeler le premier principe de la thermodynamique et en définir tous les termes ainsi que leurs unités. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système dans le calorimètre.

Premier principe de la thermodynamique :

$$\Delta U = Q + W$$

avec :

• ΔU : variation d’énergie interne, en (J)
• W : travail reçu par le système, en (J)
• Q : transfert thermique reçu par le système, en (J)

Dans le calorimètre, on néglige tout travail W=0 et tout transfert thermique avec l’extérieur Q_extérieur=0 :

Ainsi : $\Delta U_{systeme} = 0$

$$\Delta U_{eau} + \Delta U_{carrelage} = 0$$

Q4. Montrer que la variation d’énergie interne de l’eau dans le calorimètre vaut 1,50×10³ J.

$$\Delta U_{eau} = m_{eau} \times c_{eau} \times \Delta T$$

$$\Delta U_{eau} = m_{eau} \times c_{eau} \times (T_{final} – T_{initial})$$

$$\Delta U_{eau} = 720 \times 10^{-3} \times 4,18 \times 10^{3} \times (25,9 – 25,4)$$

$$\Delta U_{eau} = 1,50 \times 10^{3}\ J$$

Q5. En déduire que la capacité thermique du morceau de carrelage vaut C_carrelage = 109 J·K⁻¹.

$$\Delta U_{eau} + \Delta U_{carrelage} = 0$$

$$\Delta U_{carrelage} = -\Delta U_{eau}$$

Or

$$\Delta U_{carrelage} = C_{carrelage} \times \Delta T$$

D’où

$$C_{carrelage} \times \Delta T = -\Delta U_{eau}$$

$$C_{carrelage} = \frac{-\Delta U_{eau}}{\Delta T}$$

$$C_{carrelage} = \frac{-\Delta U_{eau}}{T_{final} – T_{initial}}$$

$$C_{carrelage} = 109\ J.K^{-1}$$

Pour l’étude de la capacité thermique du carrelage, on utilise un morceau de carrelage de volume 5,50.10⁻⁵ m³.

Q6. Calculer la valeur de la capacité thermique volumique du carrelage c_{v carrelage}.

$$c_{v} = \frac{C_{carrelage}}{V}$$

$$c_{v} = \frac{109}{5,50 \times 10^{-5}}$$

$$c_{v} = 1,98 \times 10^{6}\ J.K^{-1}.m^{-3}$$

Q7. Montrer que l’effusivité du carrelage vaut E_carrelage = 1,60.10³ J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2.

$$E = \sqrt{\lambda \times c_{v}}$$

$$E_{carrelage} = \sqrt{\lambda_{carrelage} \times c_{v}}$$

$$E_{carrelage} = \sqrt{1,3 \times 1,98 \times 10^{6}}$$

$$E_{carrelage} = 1,60 \times 10^{3}\ J.K^{-1}.m^{-2}.s^{-\frac{1}{2}}$$

On mesure dans les mêmes conditions d’expérience E_bois = 0,476.10³ J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2

Q8. Justifier la cohérence des valeurs d’effusivité des matériaux par rapport au texte d’introduction.

$$E_{carrelage} = 1,60 \times 10^{3}\ J.K^{-1}.m^{-2}.s^{-\frac{1}{2}}$$

$$E_{bois} = 0,476 \times 10^{3}\ J.K^{-1}.m^{-2}.s^{-\frac{1}{2}}$$

E_carrelage > E_bois Le carrelage a une effusivité plus grande : il absorbe plus rapidement l’énergie thermique du pied. Il donne donc une sensation de froid.

Le bois a une effusivité plus faible : il absorbe moins rapidement l’énergie thermique du pied. Il paraît donc moins froid, même si les deux sols sont à la même température.

Ainsi, les valeurs sont cohérentes avec le texte d’introduction.

2. Mesure et calcul de la température de contact

Données :

• T(K) = θ(°C) + 273 ;
• Effusivités des matériaux : E_silicone = 0,756×10³ J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2 ; E_bois = 0,476×10³ J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2 ; E_carrelage = 1,60×10³ J·K⁻¹·m⁻²·s^−1/2.

Pour mesurer la température moyenne de contact entre la poche en silicone chauffée à environ 34 °C (comme pour un pied réel) et un morceau de carrelage (ou un morceau de bois), dont on relève au préalable la température, on intercale un thermomètre entre le carrelage (ou le bois) et la poche en silicone.

On atteint au bout de quelques secondes l’équilibre thermique et on mesure la température de contact. L’incertitude type associée à chaque mesure de température vaut 0,2 °C.

Pour calculer T_calcul.AB la température de contact thermique entre deux matériaux A et B, on utilise la relation :

$$T_{calcul.AB} = \frac{E_{A} \times T_{A} + E_{B} \times T_{B}}{E_{A}+E_{B}}$$

avec E_A et E_B les effusivités des matériaux A et B en contact thermique et T_A et T_B leurs températures respectives initiales en kelvin.

Dans le cas du contact silicone-bois, les températures initiales sont : θ_{i silicone} = 34,1 °C et θ_{i bois} = 19,6 °C, la température de contact mesurée entre le silicone et le bois notée θ_mesure.SB s’établit au bout de quelques secondes à θ_mesure.SB = 28,3 °C.

Q9. Exprimer la valeur de T_mesure.SB en kelvin.

$$T_{mesure.SB}(K) = \theta_{mesure.SB}(°C) + 273$$

$$T_{mesure.SB}(K) = 28,3 + 273$$

$$T_{mesure.SB}(K) = 301,3\ K$$

Q10. Calculer la valeur de la température de contact théorique notée T_calcul.SB entre la poche de silicone et le bois.

$$T_{calcul.SB} = \frac{E_{A} \times T_{A} + E_{B} \times T_{B}}{E_{A}+E_{B}}$$

$$T_{calcul.SB} = \frac{E_{silicone} \times T_{silicone} + E_{bois} \times T_{bois}}{E_{silicone}+E_{bois}}$$

$$T_{calcul.SB} = \frac{0,756 \times 10^{3} \times (34,1+273) + 0,476 \times 10^{3} \times (19,6+273)}{0,756 \times 10^{3} + 0,476 \times 10^{3}}$$

$$T_{calcul.SB} = 301,5\ K$$

Dans le cas du contact silicone-carrelage, on trouve expérimentalement T_mesure.SC = 297,2 K et on calcule T_calcul.SC = 297,4 K.

Q11. Comparer les valeurs des températures de contact mesurées T_mesure.SB et T_mesure.SC avec celles des températures de contact calculées T_calcul.SB et T_calcul.SC et conclure.

L’incertitude type associée à chaque mesure de température vaut 0,2 °C.

$$z = \left|\frac{T_{calcul.SB} – T_{mesure.SB}}{u(T)}\right|$$

$$z = \left|\frac{301,5 – 301,3}{0,2}\right|$$

$$z = 1$$

z < 2 : le résultat de la mesure est compatible avec la valeur mesurée.

$$z = \left|\frac{T_{calcul.SC} – T_{mesure.SC}}{u(T)}\right|$$

$$z = \left|\frac{297,4 – 297,2}{0,2}\right|$$

$$z = 1$$

z < 2 : le résultat de la mesure est compatible avec la valeur mesurée.

Q12. Expliquer les raisons de la sensation décrite dans le titre de l’exercice.

T_mesure.SB = 301,3 K et T_mesure.SC = 297,2 K

La température mesurée au contact avec le carrelage est inférieure à celle mesurée à celle au contact avec le bois : d’où le froid aux pieds sur le carrelage contrairement au parquet.

3. Transfert conducto-convectif

On étudie le refroidissement à l’intérieur du pied.

Pour cela, on immerge la poche de silicone, transpercée jusqu’à son centre par un thermomètre relié à une interface d’acquisition, dans un mélange eau liquide/glace constituant ainsi un thermostat à 0 °C.

Le suivi de la température dure trois heures, les mesures sont faites toutes les 7,2 secondes.

Q13. Préciser quel transfert thermique supplémentaire, lié à la présence d’eau liquide, apparaît dans le thermostat eau liquide/glace par rapport aux matériaux solides utilisés précédemment.

Le transfert thermique supplémentaire lié à la présence d’eau liquide est la convection.

Le flux thermique entre la poche de silicone et le thermostat, dans le cas d’un transfert conducto-convectif, est donné par la loi de Newton, il s’écrit :

φ = h_eau-silicone × S × (θ_T − θ), avec

• h_eau-silicone : coefficient de transfert conducto-convectif entre l’eau et le silicone ; plus le coefficient de transfert conducto-convectif est grand plus le flux sera important ;
• S : surface de contact entre poche en silicone et le thermostat ;
• θ : température du silicone dans la poche et θ_T la température du thermostat.

Q14. Donner l’expression du transfert thermique Q en fonction du flux thermique φ pendant une durée très petite Δt.

$$\phi = \frac{Q}{\Delta t}$$

Q15. Montrer, par application du premier principe de la thermodynamique appliqué au silicone, que les variations de la température du silicone à l’intérieur de la poche peuvent être décrites par l’équation différentielle suivante :
dθ/dt + (1/τ)×θ = (1/τ)×θ_T
avec τ le temps caractéristique de transfert tel que : τ = C_silicone / (h_eau-silicone × S)

Premier principe de la thermodynamique :

$$\Delta U = Q + W$$

Or W = 0

Donc ΔU = Q

Or ΔU = C × Δθ

$$Q = \Delta U$$

$$Q = C \times \Delta \theta$$

$$\Phi = \frac{Q}{\Delta t}$$

Or

$$\phi = h.S(\theta_{T} – \theta_{(t)})$$

et

$$Q = C \times \Delta \theta$$

$$h.S(\theta_{T} – \theta_{(t)}) = \frac{C \times \Delta \theta}{\Delta t}$$

$$h.S \times \theta_{T} – h.S\theta_{(t)} = C \times \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$

Quand Δt → 0, Δθ/Δt → dθ/dt

$$h.S \times \theta_{T} – h.S\theta_{(t)} = C \times \frac{d\theta_{(t)}}{dt}$$

$$C \times \frac{d\theta_{(t)}}{dt} = h.S \times \theta_{T} – h.S \times \theta_{(t)}$$

$$\frac{d\theta_{(t)}}{dt} = \frac{h.S}{C} \times \theta_{th} – \frac{h.S}{C} \times \theta_{T}$$

$$\frac{d\theta_{(t)}}{dt} + \frac{h.S}{C} \times \theta_{(t)} = \frac{h.S}{C} \times \theta_{T}$$

On obtient une équation différentielle de la forme :

$$\frac{d\theta_{(t)}}{dt} + \frac{1}{\tau} \times \theta_{(t)} = \frac{1}{\tau} \times \theta_{T}$$

Avec, par identification :

$$\frac{1}{\tau} = \frac{h.S}{C}$$

$$\tau = \frac{C}{h.S}$$

La solution donnant l’évolution de la température en fonction du temps a pour forme :

θ(t) = (θ(0) − θ_T)e^−t/τ + θ_T

Q16. Comparer les deux courbes obtenues en annexe à rendre avec la copie et commenter.

Les deux courbes sont très proches et ont la même forme.

La courbe modélisée suit correctement les points expérimentaux.

Ainsi, le modèle proposé décrit bien le refroidissement de la poche en silicone dans le mélange eau-glace.

Q17. Déterminer la valeur du temps caractéristique τ par construction graphique à réaliser sur l’annexe à rendre avec la copie.

Graphiquement, le temps τ caractéristique est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine et de l’asymptote T_final.

$$\tau = 1 \times 10^{3}\ s$$

Q18. Calculer la valeur de h_eau-silicone sachant que la poche utilisée a une capacité thermique C_silicone = 179 J·K⁻¹ et une surface totale immergée S = 0,0172 m².

$$\tau = \frac{C_{silicone}}{h_{eau-silicone}.S}$$

$$\tau \times h_{eau-silicone} = \frac{C_{silicone}}{S}$$

$$h_{eau-silicone} = \frac{C_{silicone}}{\tau \times S}$$

$$h_{eau-silicone} = \frac{179}{1 \times 10^{3} \times 0,0172}$$

$$h_{eau-silicone} = 10,4\ J.s^{-1}.K^{-1}.m^{-2}$$

Le coefficient conducto-convectif entre l’air et le silicone vaut h_air-silicone = 3,51 J·s⁻¹·K⁻¹·m⁻².

Q19. Comparer les valeurs des deux coefficients conducto-convectifs et indiquer le fluide dans lequel le pied se refroidit le plus vite.

h_eau-silicone > h_air-silicone : le fluide dans lequel le pied se refroidit le plus vite est l’eau.