Le césium 137 et l’essai Trinity

Bac Antilles-Guyane 2026 Sujet 1

Exercice 2 – (5 points) – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ1AG1

Sujet et corrigé

EXERCICE 2 – LE CÉSIUM 137 ET L’ESSAI TRINITY (5 points)

Trinity est le nom du premier essai nucléaire réalisé le 16 juillet 1945 dans le désert du Nouveau-Mexique aux États-Unis, dans le cadre du projet Manhattan.

Du fait de la température très élevée lors de l’explosion, le sable présent au sol s’est vitrifié, formant un quasi-cristal appelé « trinitite » contenant un élément radioactif : le césium 137.

L’objectif de cet exercice est de déterminer l’activité du césium 137 encore présent dans un morceau de trinitite près de 80 ans après sa formation.

1. Étude de la désintégration des noyaux de césium 137

Données :

• le césium 137 (¹³⁷₅₅Cs) est un noyau émetteur de type β. Il se désintègre en un noyau de baryum 137 (¹³⁷₅₆Ba) ;
• l’activité A(t) d’un échantillon contenant N noyaux radioactifs est le nombre de désintégrations radioactives par seconde dans cet échantillon ;
• si le nombre de noyaux radioactifs de l’échantillon est suffisamment grand, on peut considérer que A(t) = −dN/dt ;
• l’activité d’un échantillon est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs qu’il contient : A(t) = λ·N(t) avec λ constante radioactive du type de noyau considéré.

Q1. Donner la composition d’un noyau de césium 137.

Composition du noyau de césium 137 ¹³⁷₅₅Cs :

• 55 protons
• 137 − 55 = 82 neutrons

Q2. Écrire l’équation de désintégration de type β du césium 137.

D’après les données : le césium 137 (¹³⁷₅₅Cs) est un noyau émetteur de type β. Il se désintègre en un noyau de baryum 137 (¹³⁷₅₆Ba)

$$_{55}^{137}Cs \longrightarrow\ _{56}^{137}Ba +\ _{Z}^{A}X$$

Pour trouver A et Z on utilise les lois de Soddy :

Conservation du nombre de nucléons :

$$137 = 137 + A$$

$$137 + A = 137$$

$$A = 137 – 137$$

$$A = 0$$

Conservation du nombre de charge :

$$55 = 56 + Z$$

$$56 + Z = 55$$

$$Z = 55 – 56$$

$$Z = -1$$

Ainsi $_{Z}^{A}X = \ _{-1}^{0}e$

L’équation de désintégration de type β du césium 137 s’écrit :

$$_{55}^{137}Cs \longrightarrow\ _{56}^{137}Ba +\ _{-1}^{0}e$$

On étudie un échantillon qui contient un grand nombre de noyaux de césium 137. On note, N(t) le nombre de noyaux à la date t et N₀ le nombre de noyaux de césium 137 à la date t = 0 s.

Q3. Établir que l’évolution du nombre N de noyaux de césium 137 au cours du temps est régie par l’équation différentielle : dN/dt = −λ·N

$$A(t) = -\frac{dN(t)}{dt}$$

Or

$$A(t) = \lambda \times N(t)$$

D’où

$$\lambda \times N(t) = -\frac{dN(t)}{dt}$$

$$\frac{dN(t)}{dt} + \lambda \times N(t) = 0$$

$$\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda \times N(t)$$

Q4. Vérifier que N(t) = N₀·e^−λt est solution de l’équation différentielle précédente.

Solution de l’équation différentielle :

$$N(t) = N_{0} \times e^{-\lambda t}$$

Dérivons N(t) :

$$\frac{dN(t)}{dt} = N_{0} \times -\lambda \times e^{-\lambda t}$$

$$\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda \times N_{0} \times e^{-\lambda t}$$

$$\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda \times N(t)$$

On retrouve l’équation différentielle :

$$\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda \times N(t)$$

Ainsi, N(t) = N₀ × e^−λt est solution de l’équation différentielle.

On note t_1/2 le temps de demi-vie du césium 137.

Q5. Montrer que le temps de demi-vie est lié à la constante radioactive par la relation : t_1/2 = ln2/λ

t_1/2 est la durée au bout de laquelle le nombre de noyau radioactif (ou l’activité) a été divisée par 2.

$$N(t_{1/2}) = \frac{N_{0}}{2}$$

Or

$$N(t_{1/2}) = N_{0} \times e^{-\lambda t_{1/2}}$$

Ainsi

$$N_{0} \times e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{N_{0}}{2}$$

$$e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2}$$

$$\ln\left(e^{-\lambda t_{1/2}}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$$

$$-\lambda t_{1/2} = -\ln(2)$$

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

On utilise le langage de programmation Python pour simuler l’évolution du pourcentage de noyaux de césium 137 présents au sein d’un échantillon. La figure 1 présente un extrait de ce programme.

Figure 1. Extrait du programme Python

Le résultat de la simulation est donné sur la courbe de l’ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE.

Q6. Exploiter la courbe d’évolution du pourcentage de noyaux de césium 137 donnée dans l’ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE pour estimer la valeur de la constante radioactive du césium 137, exprimée en an⁻¹. La construction graphique devra apparaître sur l’ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE.

Graphiquement t_1/2 = 30 ans

Or

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

$$t_{1/2} \times \lambda = \ln 2$$

$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$

$$\lambda = \frac{\ln 2}{30}$$

$$\lambda = 2,3 \times 10^{-2}\ an^{-1}$$

Le terme « pourcentage » utilisé dans la ligne 9 du programme donné en figure 1 désigne la grandeur 100 × N/N₀.

Q7. Recopier sur la copie la ligne 9 du programme et la compléter.

Ligne 9 : pourcentage = 100*np.exp(-0.023*t)

2. Activité de la trinitite

On ne considère dans la suite de cet exercice que la radioactivité de la trinitite due au césium 137. La constante radioactive λ du césium 137 vaut 0,0231 an⁻¹.

Q8. Montrer que l’activité A(t) d’un échantillon de trinitite est donnée par la relation A(t) = A₀·e^−λ·t, où A₀ = λ·N₀ est l’activité de l’échantillon lors de sa formation.

$$A(t) = -\frac{dN(t)}{dt}$$

Or

$$N(t) = N_{0} \times e^{-\lambda t}$$

D’où

$$A(t) = -\frac{dN_{0} \times e^{-\lambda t}}{dt}$$

$$A(t) = -N_{0} \times -\lambda \times e^{-\lambda t}$$

$$A(t) = \lambda \times N_{0} \times e^{-\lambda t}$$

Or

$$A_{0} = \lambda \times N_{0}$$

D’ou

$$A(t) = A_{0} \times e^{-\lambda t}$$

Une étude menée en 2010 a permis de déterminer l’activité du césium 137 contenu dans un gramme de trinitite. Sa valeur est A_étude = 48,3 Bq.

Le Code de la santé publique prévoit que la détention d’une source radioactive contenant du césium 137 est exemptée de déclaration, si l’activité massique (c’est-à-dire l’activité d’un gramme de cette source) ne dépasse pas 10 Bq·g⁻¹.

Q9. À partir des résultats de l’étude menée en 2010, déterminer la valeur de la masse de trinitite à partir de laquelle une demande de détention doit être effectuée en 2026. Commenter cette valeur.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter correctement sa démarche, même non aboutie, car elle sera évaluée.

En 2010, l’activité de la trinitite vaut A₂₀₁₀ = 48,3 Bq.g⁻¹

Entre 2010 et 2026, il s’écoule t = 2026 − 2010 = 16 ans

L’activité de la trinitite en 2026 est donc : A₂₀₂₆ = A₂₀₁₀ × e^−λt

Calculons l’activité de la trinitite en 2026 :

$$A_{2026} = 48,3 \times e^{-2,3 \times 10^{-2} \times 16}$$

$$A_{2026} = 33\ Bq$$

L’activité massique (c’est-à-dire l’activité d’un gramme de cette source) ne doit pas dépasser 10 Bq·g⁻¹

$$10\ Bq$$	$$1\ g$$
$$33\ Bq$$	$$m$$

$$m = \frac{33 \times 1}{10}$$

$$m = 3,3\ g$$

Ainsi, à partir de 3,3 g de trinitite, une demande de détention doit être effectuée en 2026.

Cette masse est très faible. Un petit fragment de trinitite peut donc dépasser le seuil réglementaire.