L’astéroïde 2024 PT5

Bac Antilles-Guyane 2026 Sujet 1

Exercice 3 – (6 points) – Durée 1h03 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ1AG1

Sujet et corrigé

EXERCICE 3 – L’ASTÉROÏDE 2024 PT5 (6 points)

L’astéroïde 2024 PT5 a fait l’objet de plusieurs parutions d’articles scientifiques. Deux extraits sont présentés ci-dessous.

« C’est un tout petit bout de Système solaire qui fait beaucoup parler de lui. À compter du 29 septembre, le petit astéroïde 2024 PT5 va se placer en orbite autour de la Terre. Il va rester deux mois sous l’attraction gravitationnelle de notre planète avant de s’en aller. Une deuxième lune temporaire qu’on ne pourra malheureusement pas distinguer à l’œil nu. »

https://www.cite-espace.com/actualites-spatiales/une-seconde-lune-pendant-deux-mois/, le 27 septembre 2024

« Vous vous souvenez certainement de 2024 PT5. Cet astéroïde, découvert en août dernier, est venu orbiter autour de la Terre entre novembre et janvier, au point qu’il a été surnommé la « Seconde Lune ». Ce corps rocheux, de la taille d’un bus, a passé plusieurs mois à proximité de notre planète sans jamais être capturé par sa gravité. »

https://www.cite-espace.com/actualites-spatiales/la-seconde-lune-serait-un-morceau-de-la-lune/, le 29 janvier 2025

L’objectif de cet exercice est d’expliquer pourquoi l’astéroïde 2024 PT5 n’a pas été « capturé par la gravité » de la Terre, puis de justifier l’affirmation selon laquelle on ne pouvait pas le distinguer à l’œil nu.

1. Mouvement autour de la Terre

Dans cette partie, on étudie l’action gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune, puis sur l’astéroïde 2024 PT5.

On s’intéresse au mouvement du centre de masse L de la Lune dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On travaille dans le repère de Frenet (L, $\overrightarrow{u}_{n}$,$\overrightarrow{u}_{t}$)comme indiqué sur la figure 1. Le mouvement du centre de masse L est supposé circulaire uniforme.

Figure 1. Étude du mouvement de la Lune dans le repère de Frenet

Données

• valeurs des masses de quelques astres :
• masse de la Terre : M_T = 5,972×10²⁴ kg,
• masse du Soleil : M_S = 1,989×10³⁰ kg,
• masse de la Lune : M_L = 7,360×10²² kg ;
• valeur moyenne de la distance Terre-Soleil : d_T/S = 1,496×10⁸ km ;
• la force gravitationnelle exercée par un corps A de masse m_A sur un corps B de masse m_B, distant de d_A/B, est donnée par la relation : F_A/B = (G·m_A·m_B) / d_A/B²
• constante universelle de gravitation : G = 6,67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² ;
• définition de l’unité astronomique (au) : 1 au = 1,496×10⁸ km.

La distance du centre de la Terre au centre de la Lune est notée d_T/L.

Q1. Donner l’expression vectorielle de la force $\overrightarrow{F_{T/L}}$ exercée par la Terre sur la Lune.

$$\overrightarrow{F_{T/L}} = G \times \frac{M_{T} \times M_{L}}{d_{T/L}^{2}}\overrightarrow{u}_{n}$$

Q2. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l’expression de la vitesse v_L de la Lune est donnée par la relation : $v = \sqrt{\frac{G \times M_{T}}{d_{T/L}}}$

Système : Lune

Référentiel : Géocentrique supposé galiléen.

D’après la 2^nd loi de Newton :

$$\Sigma\overrightarrow{F_{ext}} = M_{L}\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{F_{T/L}} = M_{L}\overrightarrow{a}$$

$$G \times \frac{M_{T} \times M_{L}}{d_{T/L}^{2}}\overrightarrow{u}_{n} = M_{L}\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{a} = G \times \frac{M_{T}}{d_{T/L}^{2}}\overrightarrow{u}_{n}$$

Pour un mouvement circulaire, dans le repère de Frenet, le vecteur accélération est de la forme :

$$\overrightarrow{a} = \frac{v^{2}}{d_{T/L}}\overrightarrow{u}_{n} + \frac{dv}{dt}\overrightarrow{u}_{t}$$

L’accélération étant unique, par identification :

$$\frac{v^{2}}{d_{T/L}} = G \times \frac{M_{T}}{d_{T/L}^{2}}$$

$$v^{2} = G \times \frac{M_{T}}{d_{T/L}}$$

$$v = \sqrt{G \times \frac{M_{T}}{d_{T/L}}}$$

$$v = \sqrt{\frac{G \times M_{T}}{d_{T/L}}}$$

Q3. Déterminer l’expression de la période de révolution T de la Lune autour de la Terre, en fonction de la distance d_T/L, puis vérifier que l’on peut retrouver l’expression de la troisième loi de Kepler : $\frac{T^{2}}{d_{T/L}^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{G \times M_{T}}$

La période de révolution est :

$$T = \frac{Périmètre\ d’un\ cercle}{vitesse} = \frac{2\pi \times d_{T/L}}{v}$$

$$T = \frac{2\pi \times d_{TL}}{\sqrt{\frac{G \times M_{T}}{d_{T/L}}}} = 2\pi \times d_{T/L} \times \sqrt{\frac{d_{T/L}}{G \times M_{T}}}$$

$$T = 2\pi \times d_{T/L} \times \sqrt{\frac{d_{T/L}}{G \times M_{T}}}$$

$$T = 2\pi \times \sqrt{d_{T/L}^{2} \times \frac{d_{T/L}}{G \times M_{T}}}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{d_{T/L}^{3}}{G \times M_{T}}}$$

$$T^{2} = 4\pi^{2} \times \frac{d_{T/L}^{3}}{G \times M_{T}}$$

$$\frac{T^{2}}{d_{T/L}^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{G \times M_{T}}$$

La valeur de la période de révolution de la Lune autour de la Terre est de 27,3 jours.

Q4. Calculer la valeur de la distance Terre-Lune d_T/L.

$$\frac{T^{2}}{d_{T/L}^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{G \times M_{T}}$$

$$\frac{d_{T/L}^{3}}{T^{2}} = \frac{G \times M_{T}}{4\pi^{2}}$$

$$d_{T/L}^{3} = \frac{T^{2} \times G \times M_{T}}{4\pi^{2}}$$

$$d_{T/L} = \sqrt[3]{\frac{T^{2} \times G \times M_{T}}{4\pi^{2}}}$$

$$d_{T/L} = \sqrt[3]{\frac{(27,3 \times 24 \times 60 \times 60)^{2} \times 6,67 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}{4\pi^{2}}}$$

$$d_{T/L} = 3,83 \times 10^{8}\ m$$

$$d_{T/L} = 3,83 \times 10^{5}\ km$$

La sphère de Hill de la Terre désigne la région entourant la Terre, à l’intérieur de laquelle l’influence gravitationnelle de la Terre domine celle du Soleil. Dit autrement, la sphère de Hill correspond à la limite, à partir de laquelle l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet est approximativement égale à celle exercée par le Soleil.

On peut déterminer le rayon de la sphère de Hill de la Terre, exprimé en km, à partir de la relation suivante :

$$r_{Hill} = d_{T/S} \times \sqrt[3]{\frac{M_{T}}{3 \times M_{S}}}$$

avec :

• M_S : masse du Soleil en kg ;
• M_T : masse de la Terre en kg ;
• d_T/S : distance Terre-Soleil en km.

Q5. Calculer la valeur du rayon de la sphère de Hill de la Terre.

$$r_{Hill} = d_{T/S} \times \sqrt[3]{\frac{M_{T}}{3 \times M_{S}}}$$

$$r_{Hill} = 1,496 \times 10^{8} \times \sqrt[3]{\frac{5,972 \times 10^{24}}{3 \times 1,989 \times 10^{30}}}$$

$$r_{Hill} = 1,50 \times 10^{6}\ km$$

Q6. Indiquer si la Lune se situe dans la sphère de Hill de la Terre.

$$d_{T/L} = 3,83 \times 10^{5}\ km$$

$$r_{Hill} = 1,50 \times 10^{6}\ km$$

d_T/L < r_Hill : la Lune est située à l’intérieur de la sphère de Hill de la Terre.

Q7. À l’aide de la figure 2 et des réponses précédentes, donner un argument permettant d’expliquer la phrase de l’article « l’astéroïde est venu orbiter autour de la Terre entre novembre et janvier, sans jamais être capturé par sa gravité ».

D’après la figure 2, la plus petite distance Terre-astéroïde est de :

$$d_{min\ T/A} = 0,004\ au$$

$$d_{min\ T/A} = 0,004 \times 1,496 \times 10^{8}$$

$$d_{min\ T/A} = 5,84 \times 10^{5}\ km$$

Pour une telle distante d_{min T/A} < r_Hill.

Cependant, hormis ce court passage proche de la terre, l’astéroïde est resté à une distance supérieure à

$$d_{T/A} = 0,01\ au$$

$$d_{T/A} = 0,01 \times 1,496 \times 10^{8}$$

$$d_{T/A} = 1,50 \times 10^{5}\ km$$

Pour une telle distante d_T/A = r_Hill.

Ainsi, l’astéroïde a donc pu rester proche de la Terre quelque temps, mais sans être capturé par sa gravité.

2. Observation de l’astéroïde à l’œil nu

La taille de l’astéroïde est estimée à d = 11 m. Le 9 août 2024, il est passé au plus près de la Terre, à une distance d_A/T = 5,67 × 10⁵ km.

Données :

un objet AB est vu sous un angle θ par l’œil (figure 3). Le pouvoir séparateur de l’œil humain, noté ε, est la valeur minimale de l’angle θ sous lequel les deux points A et B peuvent être vus séparément.
L’objet AB peut donc être vu distinctement par l’œil si θ > ε ;

• pouvoir séparateur de l’œil de l’observateur : ε = 3,0×10⁻⁴ rad ;
• pour des angles très petits, exprimés en radian : tan θ ≈ θ.

Q8. Montrer que la valeur de l’angle θ est égale à 1,9 × 10⁻⁸ rad lorsque l’observateur cherche à observer à l’œil nu deux points diamétralement opposés de l’astéroïde situé à la distance d_A/T.

Pour des angles très petits, exprimés en radian : tan θ ≈ θ

$$\theta \approx \tan\theta = \frac{oppos\acute{e}}{adjacent}$$

$$\theta = \frac{d}{d_{T/A}}$$

$$\theta = \frac{11}{5,67 \times 10^{5} \times 10^{3}}$$

$$\theta = 1,9 \times 10^{-8}\ rad$$

Q9. En ne tenant compte que du pouvoir séparateur de l’œil, commenter la phrase de l’article : « Une deuxième lune temporaire qu’on ne pourra malheureusement pas distinguer à l’œil nu ».

Le pouvoir séparateur de l’œil de l’observateur : ε = 3,0 × 10⁻⁴ rad

θ < ε : un observateur ne pourra pas distinguer l’astéroïde. D’où la phrase de l’article : « Une deuxième lune temporaire qu’on ne pourra malheureusement pas distinguer à l’œil nu ».

3. Observation de l’astéroïde avec une lunette astronomique

Pour mieux discerner des objets distants, l’une des méthodes possibles est d’utiliser une lunette astronomique.

Le grossissement de la lunette, noté G, correspond au rapport entre l’angle θ’ sous lequel est vu l’objet à travers la lunette et l’angle θ : G = θ’/θ.

On rappelle que θ = 1,9 ×10⁻⁸ rad.

Le critère pour pouvoir distinguer deux points d’un objet éloigné au travers de la lunette devient alors θ’ > ε, avec ε le pouvoir séparateur de l’œil.

Dans cette partie, on s’appuie sur le schéma de l’ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE.

On note F₁, F’₁, F₂, et F’₂, respectivement les foyers objet et image des lentilles L₁ et L₂ ainsi que f’₁, et f’₂, les distances focales de ces lentilles.

La « Grande Lunette » de Meudon est encore aujourd’hui la plus grande lunette astronomique d’Europe. Elle est constituée de deux lentilles minces convergentes :

• une lentille L₁ de distance focale f’₁ = 16 m ;
• une lentille L₂ de distance focale f’₂ = 4 cm.

Q10. Sur le schéma de l’ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE, tracer la marche des deux rayons lumineux issus du point B, situé à l’infini, au travers de la lunette. Faire apparaitre l’image intermédiaire A₁B₁.

Le rayon lumineux issu de B pénétrant dans la lunette par le centre optique O₁ de la lentille L₁ n’est pas dévié.

Position de B₁ image intermédiaire de B : Comme l’objet A_∞B_∞ est à l’infini, son image A₁B₁ est dans le plan focal image de l’objectif L₁.

L’autre rayon lumineux issus de B, sort de L₁ en passant par B₁.

Pour le rayon émergeant de la lentille L₂ :

On trace un rayon issu de B₁ passant par O₂. Ce rayon ne sera pas dévié.

De plus nous savons que l’image d’un objet situé dans le plan focal objet d’une lentille se forme à l’infini. Ainsi les rayons émergeants de la lentille L₂ issue de B₁ seront parallèles à ce rayon tracé.

Q11. Montrer que le grossissement de la lunette astronomique s’exprime par la relation : G = f’₁/f’₂

L’angle θ est l’angle sous lequel est vu l’objet sans la lunette.

L’angle θ’ est l’angle sous lequel est vu l’objet avec la lunette.

$$\tan(\theta) \approx \theta = \frac{A_{1}B_{1}}{f_{1}’}$$

$$\tan(\theta’) \approx \theta’ = \frac{A_{1}B_{1}}{f_{2}’}$$

$$G = \frac{\theta’}{\theta} = \frac{\frac{A_{1}B_{1}}{f_{2}’}}{\frac{A_{1}B_{1}}{f_{1}’}} = \frac{A_{1}B_{1}}{f_{2}’} \times \frac{f_{1}’}{A_{1}B_{1}} = \frac{f_{1}’}{f_{2}’}$$

Q12. Déterminer si la « Grande Lunette » de Meudon permet de distinguer deux points diamétralement opposés de l’astéroïde 2024 PT5.

$$G = \frac{\theta’}{\theta} = \frac{f_{1}’}{f_{2}’}$$

$$\theta’ = \frac{f_{1}’}{f_{2}’} \times \theta$$

$$\theta’ = \frac{16}{4 \times 10^{-2}} \times 1,9 \times 10^{-8}$$

$$\theta’ = 7,6 \times 10^{-6}\ rad$$

Le pouvoir séparateur de l’œil de l’observateur : ε = 3,0 × 10⁻⁴ rad

θ’ < ε : la « Grande Lunette » de Meudon ne permet pas de distinguer deux points diamétralement opposés de l’astéroïde 2024 PT5.