Satellites de communication

Bac Asie 2026 Sujet 1

Exercice 2 – (6 points) – Durée 1h03 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ1JA1

Sujet et corrigé

EXERCICE 2 – SATELLITES DE COMMUNICATION (6 points)

Il y a 70 ans, seule la Lune tournait autour de la Terre. Actuellement, près de 7 500 satellites survolent notre planète à différentes altitudes. Si certains ont été envoyés dans l’espace à des fins scientifiques ou militaires, la majorité est dédiée aux communications et à l’observation de la Terre.

L’objectif de cet exercice est d’étudier le mouvement des satellites autour de la Terre et d’exploiter leurs caractéristiques.

Document – Mission : communiquer

Internet, radio ou encore téléphonie mobile : ces missions sont assurées par des satellites de télécommunication. Certains, positionnés sur une orbite géostationnaire, survolent toujours la même zone. Conséquence : pas besoin de déplacer l’antenne pour capter les signaux. La couverture du signal est alors plus large. Depuis cette orbite, un petit nombre de satellites suffisent à couvrir l’intégralité du globe.

D’autres se situent sur une orbite terrestre basse entre 400 et 1 000 km d’altitude : ce sont les satellites LEO. Le délai de transmission des signaux y est beaucoup plus court, ce qui est très intéressant pour la rapidité d’échange. Mais pour garantir une bonne couverture de la Terre, plusieurs milliers de satellites, fonctionnant « en groupe » sont nécessaires, multipliant les risques d’encombrement, de pannes et de débris spatiaux : leur impact environnemental est donc pointé du doigt.

D’après https://cnes.fr/dossiers/satellites

On étudie le mouvement du centre de masse S d’un satellite par rapport à un référentiel supposé galiléen. Le satellite, de masse m, gravite sur une orbite circulaire géostationnaire située à une altitude h par rapport à la surface de la Terre.

On considère que le satellite n’est soumis qu’à l’unique action de la force d’interaction gravitationnelle $\overrightarrow{F_{OS}}$ exercée par la Terre de centre O, de masse M_T et de rayon R_T. On associe au centre de masse S le repère de Frenet (S, $\overrightarrow{u_{N}}$,$\overrightarrow{u_{T}}$)

Q1. Nommer le référentiel par rapport auquel le mouvement du centre de masse du satellite est étudié.

Référentiel : Géocentrique supposé galiléen.

Q2. Compléter le schéma présent sur l’ANNEXE p. 10 À RENDRE AVEC LA COPIE en représentant sans souci d’échelle la force d’interaction gravitationnelle $\overrightarrow{F_{OS}}$.

Q3. Donner l’expression vectorielle de la force $\overrightarrow{F_{OS}}$ dans le repère de Frenet en fonction de G, constante de gravitation universelle, m, M_T, R_T et h.

$$\overrightarrow{F_{OS}} = G \times \frac{m \times M_{T}}{(R_{T} + h)^{2}}\overrightarrow{u}_{N}$$

Q4. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que le mouvement circulaire de S est uniforme.

Système : Satellite S

Référentiel : géocentrique supposé galiléen.

D’après la 2^nd loi de Newton :

$$\Sigma\overrightarrow{F_{ext}} = m\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{F_{OS}} = m\overrightarrow{a}$$

$$G \times \frac{m \times M_{T}}{(R_{T} + h)^{2}}\overrightarrow{u}_{N} = m\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{a} = G \times \frac{M_{T}}{(R_{T} + h)^{2}}\overrightarrow{u}_{N}$$

Pour un mouvement circulaire, dans le repère de Frenet, le vecteur accélération est de la forme :

$$\overrightarrow{a} = \frac{v^{2}}{R_{T} + h}\overrightarrow{u}_{N} + \frac{dv}{dt}\overrightarrow{u}_{T}$$

L’accélération étant unique, par identification :

dv/dt = 0 donc la vitesse est constante : le mouvement est uniforme

Q5. Définir la période de révolution T du satellite de centre de masse S.

La période de révolution T d’un satellite est la durée nécessaire pour effectuer un tour complet autour de la Terre

À partir des données des rayons r des orbites et des périodes de révolution T de différents satellites terrestres, un programme informatique a permis de tracer puis de modéliser l’évolution du carré des périodes en fonction du cube des rayons r. La figure 1 ci-après fournit le graphe obtenu après exécution du programme. La modélisation par une droite indique un coefficient directeur k = 9,85 × 10⁻¹⁴ s²·m⁻³.

Données :

• Constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10⁻¹¹ m²·kg⁻¹·s⁻²
• Rayon de la Terre : R_T = 6,38 × 10³ km
• Période de rotation de la Terre autour de l’axe des pôles : T_T = 23 h 56 min 4 s
• Célérité d’une onde électromagnétique dans le vide : c = 3,00 × 10⁸ m·s⁻¹

Q6. Montrer que la valeur de l’altitude h du satellite géostationnaire de centre de masse S est environ h ≈ 36 000 km.

La figure 1 est une droite passant par l’origine.

T² et r³ sont proportionnels :

$$T^{2} = k \times r^{3}$$

La modélisation par une droite indique un coefficient directeur k = 9,85 × 10⁻¹⁴ s².m⁻³.

Ainsi :

$$T^{2} = 9,85 \times 10^{-14} \times r^{3}$$

Pour un satellite géostationnaire, la période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre :

$$T = T_{T} = 23\ h\ 56\ min\ 4\ s$$

$$T = 23 \times 3600 + 56 \times 60 + 4 = 86164\ s$$

$$T^{2} = 9,85 \times 10^{-14} \times r^{3}$$

$$r^{3} = \frac{T^{2}}{9,85 \times 10^{-14}}$$

$$r = \sqrt[3]{\frac{T^{2}}{9,85 \times 10^{-14}}}$$

$$r = \sqrt[3]{\frac{86164^{2}}{9,85 \times 10^{-14}}}$$

$$r = 4,2 \times 10^{7}\ m$$

Or

$$r = R_{T} + h$$

$$h = r – R_{T}$$

$$h = 4,2 \times 10^{7} – 6,38 \times 10^{3} \times 10^{3}$$

$$h = 3,6 \times 10^{7}\ m$$

$$h = 3,6 \times 10^{4}\ km$$

$$h = 36\ 000\ km$$

Q7. Comparer la valeur de la durée de transmission Δt₁ d’un signal électromagnétique émis depuis la surface de la Terre vers un satellite géostationnaire à celle, notée Δt₂, vers un satellite LEO, en orbite à 1000 km d’altitude.

$$c = \frac{d}{\Delta t}$$

$$\Delta t = \frac{d}{c}$$

Pour le satellite géostationnaire :

$$\Delta t_{1} = \frac{36000 \times 10^{3}}{3,00 \times 10^{8}}$$

$$\Delta t_{1} = 0,12\ s$$

Pour le satellite LEO à 1000 km d’altitude :

$$\Delta t_{2} = \frac{1000 \times 10^{3}}{3,00 \times 10^{8}}$$

$$\Delta t_{2} = 3,3 \times 10^{-3}\ s$$

Comparons les deux valeurs :

$$\frac{\Delta t_{1}}{\Delta t_{2}} = \frac{0,12}{3,3 \times 10^{-3}} = 36$$

Ainsi, la durée de transmission vers un satellite géostationnaire est environ 36 fois plus grande que vers un satellite LEO à 1000 km d’altitude.

Q8. En utilisant les calculs et les informations issues du document, donner les avantages et les inconvénients des satellites géostationnaire et LEO pour la transmission de données par le réseau internet.

Les satellites géostationnaires ont l’avantage de couvrir une très grande zone. De plus, comme ils restent au-dessus de la même zone, l’antenne n’a pas besoin d’être déplacée. En revanche, ils sont très éloignés de la Terre, donc la durée de transmission est grande (0,12 s).

Les satellites LEO ont l’avantage d’être beaucoup plus proches de la Terre. Le délai de transmission est donc beaucoup plus faible (3,3×10⁻³ s), ce qui est mieux pour internet. Cependant, leur couverture est plus limitée : il faut donc plusieurs milliers de satellites, ce qui augmente les risques d’encombrement, de pannes et de débris spatiaux.