Bac Métropole 2026 Sujet de secours, Sujet 2
Exercice 3 – (6 points) – Durée 1h03 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ2ME2
Sujet et corrigé
L’attraction qu’exerce la Terre sur les objets peut être utilisée pour obtenir des informations précieuses sur la Terre elle-même. La mission spatiale GRACE (pour Gravity Recovery And Climate Experiment) a pour but d’étudier par satellite les variations temporelles du champ de gravitation afin d’évaluer les grands mouvements de matière dans la Terre, notamment de l’eau. À cette fin, deux satellites jumeaux sont placés en orbite basse avec la même trajectoire quasi-circulaire sur laquelle ils sont séparés par une distance moyenne de 220 km.
L’objectif de l’exercice est de comprendre comment un tel couple de satellites en orbite permet de surveiller la fonte des glaces à la surface du globe terrestre.
Les mouvements des satellites sont étudiés dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.
1. Un satellite autour de la Terre
Données
- constante universelle de gravitation G = 6,674 × 10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² ;
- masse de la Terre MT = 5,972 × 10²⁴ kg ;
- rayon moyen de la Terre RT = 6371 km ;
- masse d’un satellite m = 500 kg ;
- altitude de l’orbite des satellites h = 490 km.
La Terre est considérée sphérique et homogène. Dans cette partie, on considère un seul des deux satellites de la mission GRACE, uniquement soumis à l’attraction gravitationnelle de la Terre et dont la trajectoire est circulaire.
Q1. Représenter sur un schéma :
- la Terre de centre T ;
- le satellite S à un instant quelconque, considéré comme un point matériel ;
- le repère de Frenet (S ; u⃗T, u⃗N) ;
- le sens du mouvement.
Q2. Exprimer, dans le repère de Frenet, la force F⃗ exercée par la Terre de centre T sur le satellite S de masse m, en fonction notamment de l’altitude h du satellite, définie par h = dTS − RT, avec dTS la distance Terre-Satellite.
La force exercée par la Terre sur le satellite S est la force gravitationnelle :
$$\vec{F} = \frac{G \times M_T \times m}{d_{TS}^2} \times \vec{u_N}$$
$$\vec{F} = \frac{G \times M_T \times m}{(R_T + h)^2} \times \vec{u_N}$$
Q3. Représenter sans souci d’échelle, le vecteur force F⃗ sur le schéma de la question Q1.
Q4. Montrer que l’expression du vecteur accélération du satellite dans le référentiel géocentrique est :
$$\vec{a} = G\frac{M_T}{(R_T + h)^2}\vec{u_N}$$
Système : satellite S, de masse m, assimilé à un point matériel.
Référentiel : géocentrique, supposé galiléen.
D’après la deuxième loi de Newton :
$$\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}$$
$$\vec{F} = m\vec{a}$$
$$m \times \vec{a} = \frac{G \times M_T \times m}{(R_T + h)^2} \times \vec{u_N}$$
$$\vec{a} = \frac{G \times M_T}{(R_T + h)^2} \times \vec{u_N}$$
Q5. En déduire l’expression de la valeur de la vitesse v du satellite. Justifier que cette vitesse est constante au cours du mouvement.
Pour un mouvement circulaire, dans le repère de Frenet, le vecteur accélération est de la forme :
$$\vec{a} = \frac{v^2}{R_T + h} \times \vec{u_N} + \frac{dv}{dt} \times \vec{u_T}$$
Par identification :
$$\frac{v^2}{R_T + h} = \frac{G \times M_T}{(R_T + h)^2}$$
$$v^2 = \frac{G \times M_T}{R_T + h}$$
$$v = \sqrt{\frac{G \times M_T}{R_T + h}}$$
L’expression de v ne dépendant que de constantes (G, MT, RT, h), la valeur de la vitesse est donc constante au cours du mouvement.
Q6. Montrer que l’expression de la période de révolution T du satellite peut s’écrire :
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{(R_T + h)^3}{G \cdot M_T}}$$
Pour un mouvement circulaire uniforme, la période de révolution est :
$$T = \frac{2\pi(R_T + h)}{v}$$
$$T = \frac{2\pi(R_T + h)}{\sqrt{\frac{G \times M_T}{R_T + h}}}$$
$$T = 2\pi(R_T + h) \times \sqrt{\frac{R_T + h}{G \times M_T}}$$
$$T = 2\pi \times \sqrt{\frac{(R_T + h)^3}{G \times M_T}}$$
Q7. Calculer la période de révolution T du satellite.
$$T = 2\pi \times \sqrt{\frac{(R_T + h)^3}{G \times M_T}}$$
$$T = 2\pi \times \sqrt{\frac{(6371 \times 10^3 + 490 \times 10^3)^3}{6,674 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}}$$
$$T = 5,66 \times 10^3\ s$$
$$T = 1\ h\ 34\ min$$
2. Détection d’un objet massif par un couple de satellites
Données
- valeur de la vitesse de la lumière dans le vide c = 3,00×10⁸ m·s⁻¹ ;
- différents domaines des ondes électromagnétiques :
On considère désormais le passage du satellite près d’un objet massif comme une montagne ou un iceberg. L’objet est modélisé par une masse ponctuelle située en un point M, comme présenté sur la figure de l’ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE.
En première approximation, la perturbation du champ gravitationnel par l’objet est faible : on peut considérer qu’elle ne modifie pas la forme de la trajectoire des satellites qui reste circulaire de même rayon que dans la partie précédente. En revanche, la présence de l’objet induit une variation mesurable de la vitesse des satellites dans le référentiel géocentrique.
Q8. Représenter sans se soucier des échelles sur la figure de l’ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE pour chaque position A, B et C du satellite :
- la force F⃗₁ qu’exerce la Terre T sur le satellite S ;
- la force F⃗₂ qu’exerce l’objet massif M sur le satellite S ;
- la vitesse v⃗ du satellite.
Q9. Justifier que le travail de la force F⃗₁ est nul entre les points A et C.
$$W_{AB}(\vec{F_1}) = \vec{F_1}.\vec{AB} = F_1.AB.\cos(\alpha)$$
La force F⃗₁, exercée par la Terre, est perpendiculaire à la trajectoire circulaire du satellite.
$$\alpha = 90°$$
$$\cos(\alpha) = 0$$
$$W_{AB}(\vec{F_1}) = 0$$
Le travail de cette force est donc nul.
Q10. Justifier que le travail de la force F⃗₂ est positif entre les points A et B puis négatif entre les points B et C.
$$W_{AB}(\vec{F_2}) = \vec{F_2}.\vec{AB} = F_2.AB.\cos(\alpha)$$
Entre A et B, le satellite se rapproche de l’objet massif M : la force F⃗₂ est dans le sens du mouvement,
$$0° \leq \alpha < 90°, \cos(\alpha) > 0$$ alors $$W_{AB}(\vec{F_2}) > 0$$ la force effectue un travail moteur.
Entre B et C, le satellite s’éloigne de M : la force F⃗₂ est dans le sens opposé au sens du mouvement,
$$90° < \alpha \leq 180°, \cos(\alpha) < 0$$ alors $$W_{BC}(\vec{F_2}) < 0$$ la force effectue un travail résistant.
Q11. En déduire que la valeur de la vitesse du satellite augmente jusqu’au point B et diminue ensuite.
D’après le théorème de l’énergie cinétique :
$$\Delta E_C = \sum W_{AB}(\vec{F})$$
$$\Delta E_c = W(\vec{F_1}) + W(\vec{F_2})$$
Or $$W_{AB}(\vec{F_1}) = 0$$
$$\Delta E_c = 0 + W(\vec{F_2}) = W(\vec{F_2})$$
W(F⃗₂) est positif entre A et B, l’énergie cinétique, donc la valeur de la vitesse, augmente entre A et B.
W(F⃗₂) est négatif entre B et C, l’énergie cinétique, donc la valeur de la vitesse, diminue entre B et C.
Ainsi, la vitesse du satellite augmente jusqu’au point B, puis diminue ensuite.
Les deux satellites jumeaux de la mission GRACE se suivent. Pour mesurer leur distance relative, chaque satellite envoie à son jumeau une onde électromagnétique de longueur d’onde de l’ordre de 10⁻² m.
Q12. Déterminer à quel domaine appartient l’onde utilisée par les satellites de GRACE.
$$f = \frac{c}{\lambda}$$
$$f = \frac{3,00 \times 10^8}{10^{-2}}$$
$$f = 3,00 \times 10^{10}\ Hz$$
Cette fréquence est comprise entre 3×10⁹ Hz et 3×10¹¹ Hz : l’onde utilisée par les satellites de GRACE appartient donc au domaine des micro-ondes.
La figure 1 présente 3 couples de graphes qui proposent une représentation de l’évolution de la vitesse de chaque satellite et leur distance relative au cours du temps lors du passage au-dessus de l’objet massif.
Q13. Choisir, en justifiant, parmi les propositions (1), (2) et (3), celle qui décrit de façon correcte l’évolution des vitesses des satellites et de leur distance relative dans cette modélisation.
Les deux satellites suivant la même trajectoire avec un décalage fixe, celui qui est en tête (satellite 1) passe à proximité de l’objet massif M avant le second (satellite 2) : les courbes de vitesse des deux satellites doivent donc présenter le même profil (une même « bosse » de vitesse), décalées dans le temps — ce qui élimine la proposition (3), où les deux vitesses varient simultanément sans décalage.
Lorsque la vitesse du satellite 1 est supérieure à celle du satellite 2, le satellite 1 s’éloigne plus vite : la distance entre les deux satellites augmente.
Lorsque la vitesse du satellite 2 est à son tour plus grande que le satellite 1 (qui est revenu à sa vitesse normale), il rattrape son retard : la distance diminue et revient à sa valeur initiale.
La distance entre les satellites doit donc présenter une augmentation puis un retour à la valeur initiale : c’est la proposition (2) qui décrit correctement l’évolution des vitesses et de la distance relative.
La mesure de la distance entre les deux satellites de la mission GRACE peut ainsi être exploitée pour mettre en évidence la modification locale de la distribution des masses à la surface de la Terre, par exemple du fait de la fonte des glaces continentales de l’Antarctique.
Q14. Préciser, en justifiant, si cette méthode de mesure nécessite que les deux satellites aient la même masse.
L’accélération d’un satellite due à une attraction gravitationnelle ne dépend pas de la masse du satellite :
$$\vec{a} = \frac{G \times M}{d^2} \times \vec{u_N}$$ est indépendante de m.
Les deux satellites, quelle que soit leur masse, subissent donc la même perturbation de vitesse au passage au-dessus de l’objet massif.
Cette méthode de mesure ne nécessite donc pas que les deux satellites aient la même masse.
Q15. Indiquer l’effet de la fonte progressive des glaces sur la masse de l’Antarctique. En déduire comment varie, sur plusieurs années, la distance maximale séparant les deux satellites lors de leurs passages au-dessus de ce continent.
La fonte progressive des glaces entraîne une diminution de la masse de l’Antarctique.
La perturbation de vitesse subie par les satellites lors de leur passage au-dessus de l’Antarctique étant proportionnelle à la masse de l’objet survolé (force F₂ proportionnelle à M), une diminution de cette masse entraîne une perturbation de vitesse plus faible, et donc une variation de distance entre les deux satellites plus faible.
Sur plusieurs années, la distance maximale séparant les deux satellites lors de leurs passages au-dessus de l’Antarctique doit donc diminuer progressivement.