Bac Métropole septembre 2026 Sujet 2
Exercice 2 – (5,5 points) – Durée 0h58 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ2ME3
Sujet et corrigé
Exercice 2 – Observer l’ISS (5,5 points)
Le vendredi 23 avril 2021, le spationaute Thomas Pesquet a décollé du Centre Spatial Kennedy, situé aux États-Unis, en direction de la Station Spatiale Internationale (ISS) pour une durée d’environ 200 jours.
L’ISS est une station spatiale qui tourne autour de la Terre, sur orbite terrestre basse.
Les objectifs de cet exercice sont l’étude du mouvement de l’ISS autour de la Terre et l’observation de la station à l’aide d’une lunette astronomique.
Données et hypothèses :
- constante de gravitation universelle : G = 6,67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² ;
- l’étude est conduite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen ;
- dans tout l’exercice les angles sont considérés très inférieurs à 1 radian ;
- approximation des petits angles en radian : pour θ << 1 rad, on peut écrire tan(θ) = θ ;
- le pouvoir séparateur ε de l’œil correspond au plus petit angle permettant de distinguer deux points très proches : ε = 2,9×10⁻⁴ rad ;
- masse de la Terre : MT = 5,97×10²⁴ kg ;
- rayon de la Terre : RT = 6 371 km ;
- la Terre est assimilée à une sphère de centre O ;
- le centre de masse de l’ISS est noté S ;
- la masse de l’ISS est notée m ;
- seule l’interaction entre la Terre et l’ISS est prise en compte ;
- le mouvement de l’ISS est considéré circulaire dans le référentiel géocentrique : l’ISS décrit un cercle de centre O et de rayon RS = 6 771 km, ce qui correspond à une altitude de 400 km ;
- l’ISS mesure 108 m de long et 74 m de large ;
- caractéristiques de la lunette astronomique commerciale utilisée :
| Objectif | Oculaire (OcA) | Oculaire (OcB) | |
| Distance focale (mm) | 400 | 50 | 20 |
D’après www.stelvision.com
1. Le mouvement de l’ISS
Q1. Schématiser, la Terre et l’ISS, sans souci d’échelle, en précisant le sens de rotation de l’ISS. Placer sur ce schéma le repère de Frenet (S ; $\overrightarrow{u_{T}},\overrightarrow{u_{N}}$).
Q2. Écrire, dans ce repère, l’expression vectorielle de la force de gravitation $\overrightarrow{F}$ à laquelle est soumise l’ISS de la part de la Terre. Représenter cette force sans souci d’échelle sur le schéma de la question Q1.
$$\overrightarrow{F} = \frac{G \times M_{T} \times m}{d_{TS}^{2}} \times \overrightarrow{u_{N}}$$
$$\overrightarrow{F} = \frac{G \times M_{T} \times m}{R_{S}^{2}} \times \overrightarrow{u_{N}}$$
Q3. Montrer que le vecteur accélération du centre de masse de l’ISS s’écrit : $\overrightarrow{a_{S}} = \frac{G \cdot M_{T}}{R_{S}^{2}} \cdot \overrightarrow{u_{N}}$. En déduire la nature du mouvement de l’ISS.
Système {ISS}
Référentiel géocentrique supposé galiléen
D’après la deuxième loi de newton :
$$\Sigma\overrightarrow{F_{ext}} = m\overrightarrow{a}$$
$$\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$$
$$m \times \overrightarrow{a} = \frac{G \times M_{T} \times m}{R_{S}^{2}} \times \overrightarrow{u_{N}}$$
$$\overrightarrow{a_{S}} = \frac{G \times M_{T}}{R_{S}^{2}} \times \overrightarrow{u_{N}}$$
Pour un mouvement circulaire, dans le repère de Frenet, le vecteur accélération est de la forme :
$$\overrightarrow{a_{S}} = \frac{v_{S}^{2}}{R_{S}} \times \overrightarrow{u_{N}} + \frac{dv_{S}}{dt} \times \overrightarrow{u_{T}}$$
Par identification de la composante selon $\overrightarrow{u_{T}}$ :
$$\frac{dv_{S}}{dt} = 0$$
La valeur de la vitesse est constante : le mouvement de l’ISS est circulaire et uniforme.
Q4. Établir l’expression de la vitesse vS du centre de masse de l’ISS en fonction de G, MT et RS. Calculer sa valeur.
D’après la question Q3, par identification de la composante selon $\overrightarrow{u_{N}}$ :
$$\frac{v_{S}^{2}}{R_{S}} = \frac{G \times M_{T}}{R_{S}^{2}}$$
$$v_{S}^{2} = \frac{G \times M_{T}}{R_{S}}$$
$$v_{S} = \sqrt{\frac{G \times M_{T}}{R_{S}}}$$
$$v_{S} = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{- 11} \times 5,97 \times 10^{24}}{6771 \times 10^{3}}}$$
$$v_{S} = 7,67 \times 10^{3}\ m.s^{- 1}$$
Q5. Montrer que la période T de révolution de l’ISS autour de la Terre et le rayon RS du cercle décrit par l’ISS sont reliés par la troisième loi de Kepler :
$$\frac{T^{2}}{R_{S}^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{G \cdot M_{T}}$$
Pour un mouvement circulaire uniforme, la période de révolution est :
$$T = \frac{2\pi R_{S}}{v_{S}}$$
$$T = \frac{2\pi R_{S}}{\sqrt{\frac{G \times M_{T}}{R_{S}}}}$$
$$T = 2\pi R_{S} \times \sqrt{\frac{R_{S}}{G \times M_{T}}}$$
$$T = 2\pi \times \sqrt{\frac{R_{S}^{3}}{G \times M_{T}}}$$
$$T^{2} = 4\pi^{2} \times \frac{R_{S}^{3}}{G \times M_{T}}$$
$$\frac{T^{2}}{R_{S}^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{G \times M_{T}}$$
Q6. Calculer le nombre de rotations effectuées par l’ISS autour de la Terre durant les 200 jours que dure la mission.
$$T = 2\pi \times \sqrt{\frac{R_{S}^{3}}{G \times M_{T}}}$$
$$T = 2\pi \times \sqrt{\frac{\left( 6771 \times 10^{3} \right)^{3}}{6,67 \times 10^{- 11} \times 5,97 \times 10^{24}}}$$
$$T = 5,55 \times 10^{3}\ s$$
Durée de la mission :
$$\Delta t = 200 \times 24 \times 3600\ s$$
Nombre de rotations :
$$N = \frac{\Delta t}{T}$$
$$N = \frac{200 \times 24 \times 3600}{5,55 \times 10^{3}}$$
$$N = 3,11 \times 10^{3}\ rotations$$
2. La lunette astronomique
Afin d’observer l’ISS lors d’un de ses passages au-dessus de la France, il est possible d’utiliser une lunette astronomique commerciale. Dans le cadre de cet exercice, la lunette utilisée est équipée d’un objectif et de deux oculaires différents, notés (OcA) et (OcB). On se propose de modéliser cette lunette à l’aide de deux lentilles minces convergentes successives : l’objectif, noté (L1) de centre (O1), et l’oculaire, noté (L2) de centre (O2).
Q7. La lunette astronomique étudiée est afocale. Sur l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, placer les foyers de l’objectif et ceux de l’oculaire dans le cas de l’utilisation de l’oculaire (OcA).
La lunette est afocale : le foyer image de l’objectif F’₁ est confondu avec le foyer objet de l’oculaire F₂.
Q8. Tracer, sur l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, la marche des deux rayons lumineux incidents représentés, à travers la lunette astronomique. Construire notamment l’image intermédiaire A1B1 de l’objet A∞B∞ situé à l’infini. Faire apparaître l’angle θ ’ sous lequel on observe l’image finale à travers la lunette astronomique.
Le rayon passant par le centre optique O₁ de la lentille L₁ n’est pas dévié.
L’objet $A_{\infty}B_{\infty}$ est à l’infini : son image intermédiaire $A_{1}B_{1}$ est dans le plan focal image de l’objectif L₁.
L’autre rayon lumineux issus de B, sort de L₁ en passant par B₁.
On trace un rayon issu de B₁ passant par O₂. Ce rayon ne sera pas dévié.
L’objet intermédiaire $A_{1}B_{1}$ est dans le plan focal objet de l’oculaire L₂ : son image finale est à l’infini. Les rayons émergents issus de B₁ sont parallèles au rayon passant par O₂.
L’angle 𝜃 est l’angle sous lequel est vu l’objet sans la lunette.
L’angle 𝜃’ est l’angle sous lequel est vu l’objet avec la lunette.
Q9. Exprimer le grossissement G de la lunette astronomique en fonction des angles θ et θ ’, θ étant l’angle sous lequel l’objet A∞B∞ est vu à l’œil nu.
$$G = \frac{\theta’}{\theta}$$
On admet que le grossissement s’écrit $G = \frac{f_{1}’}{f_{2}’}$ où $f_{1}’$ et $f_{2}’$ sont les distances focales respectivement de l’objectif et de l’oculaire.
Q10. Calculer les deux valeurs de grossissement possibles pour cette lunette astronomique.
D’après le sujet :
$$G = \frac{f_{1}}{f_{2}}$$
Avec l’oculaire (OcA) :
$$G_{A} = \frac{400}{50}$$
$$G_{A} = 8,0$$
Avec l’oculaire (OcB) :
$$G_{B} = \frac{400}{20}$$
$$G_{B} = 20$$
Dans les conditions de luminosité adéquates, on peut distinguer des éléments de l’ISS avec certaines lunettes astronomiques.
Q11. À l’aide de la figure 1, vérifier que la lunette astronomique commerciale utilisée permet de distinguer deux extrémités de l’ISS. Commenter la faisabilité pratique de cette observation.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.
D’après la figure 1, dans l’approximation des petits angles :
$$\tan(\varepsilon) \approx \varepsilon = \frac{h}{D}$$
L’ISS passe au-dessus de l’observateur à l’altitude de 400 km : D = 400 km.
La longueur de l’ISS est h = 108 m.
Angle sous lequel on voit les deux extrémités de l’ISS à l’œil nu :
$$\theta = \frac{h}{D}$$
$$\theta = \frac{108}{400 \times 10^{3}}$$
$$\theta = 2,7 \times 10^{- 4}\ rad$$
Pouvoir séparateur de l’œil :
$$\varepsilon = 2,9 \times 10^{- 4}\ rad$$
$\theta < \varepsilon$ : à l’œil nu, on ne peut pas distinguer les deux extrémités de l’ISS.
Avec la lunette, l’angle sous lequel on voit l’ISS est :
$$G = \frac{\theta’}{\theta}$$
$$\theta’ = G \times \theta$$
Avec l’oculaire (OcA) :
$$\theta’_{A} = 8,0 \times 2,7 \times 10^{- 4}$$
$$\theta’_{A} = 2,2 \times 10^{- 3}\ rad$$
Avec l’oculaire (OcB) :
$$\theta’_{B} = 20 \times 2,7 \times 10^{- 4}$$
$$\theta’_{B} = 5,4 \times 10^{- 3}\ rad$$
$\theta’ > \varepsilon$ pour les deux oculaires : la lunette permet de distinguer les deux extrémités de l’ISS.