Un champion du monde inattendu

Bac Métropole septembre 2026 Sujet 2

Exercice 3 – (5,5 points) – Durée 0h58 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ2ME3

Sujet et corrigé

Exercice 3 – Un champion du monde inattendu (5,5 points)

En 2010, deux chercheurs entomologistes ont filmé et étudié des sauts de puces dans le but d’étudier leurs caractéristiques mécaniques.

L’objectif de cet exercice est d’étudier dans un premier temps l’un des sauts de cette étude, puis dans un second temps de le comparer au saut humain réalisé par l’athlète Arne Tvervaag, détenteur du record du monde officiel du saut en longueur sans élan depuis 1968.

1. Étude du saut de puce le plus long

Dans cette partie, on étudie le centre de masse d’une puce, de masse m, effectuant un saut dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les frottements de l’air sont négligés. Le saut considéré comme le meilleur est celui dont la vitesse initiale est la plus élevée.

Données :

• pour discuter de l’accord du résultat d’une mesure par rapport à une valeur de référence, on utilise le quotient $\frac{\left| x – x_{ref} \right|}{u(x)}$ où x est la valeur mesurée, x_ref la valeur de référence et u(x) l’incertitude-type associée à la valeur mesurée x ;
• intensité de la pesanteur : g = 9,81 m·s⁻² ;
• masse volumique de l’air : ρ_air = 1,20 kg·m⁻³ ;
• expression de la norme de la poussée d’Archimède : F_A = ρ_air·V_puce·g où V_puce représente le volume de la puce ;
• masse de la puce : m = 1,00 mg ;
• volume de la puce : V_puce = 4,19·10⁻⁹ m³ ;

Q1. Montrer que la valeur de la poussée d’Archimède F_A exercée par l’air sur la puce est négligeable devant celle de son poids P.

Calculons la norme de la poussée d’Archimède :

$$F_{A} = \rho_{air} \times V_{puce} \times g$$

$$F_{A} = 1,20 \times 4,19 \times 10^{- 9} \times 9,81$$

$$F_{A} = 4,93 \times 10^{- 8}\ N$$

Calculons la norme du poids :

$$P = m \times g$$

$$P = 1,00 \times 10^{- 6} \times 9,81$$

$$P = 9,81 \times 10^{- 6}\ N$$

Comparons ces deux forces :

$$\frac{F_{A}}{P} = \frac{4,93 \times 10^{- 8}}{9,81 \times 10^{- 6}}$$

$$\frac{F_{A}}{P} = 5,03 \times 10^{- 3}$$

$F_{A} \ll P$ : la poussée d’Archimède est négligeable devant le poids.

La figure 1 ci-dessous est un extrait de la chronophotographie du saut de la puce. On y a ajouté le repère d’espace (Ox ; Oy) dans lequel Oy est la verticale ascendante. Le sol coïncide avec le plan y = 0.

Q2. Reproduire sur la copie les axes (Ox) et (Oy) de la figure 1 et faire apparaître la position initiale de la puce en O, le vecteur vitesse initiale $\overrightarrow{v_{0}}$, l’angle α entre $\overrightarrow{v_{0}}$ et l’axe (Ox) et l’allure de la trajectoire attendue.

Q3. Établir, en utilisant une loi de Newton, les expressions des coordonnées a_x et a_y du vecteur accélération dans le repère (Ox ; Oy).

Système {puce}

Référentiel terrestre supposé galiléen

D’après le sujet, les frottements de l’air sont négligés et d’après la question Q1 la poussée d’Archimède est négligeable : la puce n’est soumise qu’à son poids.

D’après la deuxième loi de newton :

$$\Sigma\overrightarrow{F_{ext}} = m\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{a}$$

$$m\overrightarrow{g} = m\overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{g} = \overrightarrow{a}$$

Or

$$\overrightarrow{g}\left| \begin{matrix} 0 \\ – g \end{matrix} \right.\ \ $$

Le vecteur accélération du centre d’inertie de la puce est égal au vecteur champ de pesanteur.

$$\overrightarrow{a}\ \left| \begin{matrix} a_{x}(t) = 0\ \ \ \\ a_{y}(t) = – g \end{matrix} \right.\ \ $$

Q4. Déduire de la question précédente les équations horaires v_x(t) et v_y(t) de la vitesse puis de la position x(t) et y(t) dans le repère (Ox ; Oy).

Or

$$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$$

On intègre le système d’équation précédent :

$$\overrightarrow{v}\ \left| \begin{matrix} v_{x}(t) = C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ v_{y}(t) = – gt + C_{2} \end{matrix} \right.\ \ $$

Pour trouver les constantes, on utilise ${\overrightarrow{v}}_{0}$

$${\overrightarrow{v}}_{0}\ \left| \begin{matrix} v_{0x} = v_{0} \times cos\alpha\ \ \ \\ v_{0y} = v_{0} \times sin\alpha\ \ \ \end{matrix} \right.\ \ $$

D’où

$$\overrightarrow{v}\ \left| \begin{matrix} v_{x}(t) = v_{0} \times cos\alpha\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ v_{y}(t) = – gt + v_{0} \times sin\alpha \end{matrix} \right.\ \ $$

Or

$$\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$$

On intègre le système d’équation précédent :

$$\overrightarrow{OG}\left| \begin{matrix} x(t) = v_{0} \times cos(\alpha) \times t + C_{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ y(t) = – \frac{1}{2}gt^{2} + v_{0} \times sin(\alpha) \times t + C_{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\ \ $$

Pour trouver les constantes, on utilise ${\overrightarrow{OG}}_{0}$

$${\overrightarrow{OG}}_{0}\ \left| \begin{matrix} x_{0} = 0\ \\ y_{0} = 0\ \end{matrix} \right.\ \ $$

D’où

$$\overrightarrow{OG}\left| \begin{matrix} x(t) = v_{0} \times cos(\alpha) \times t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ y(t) = – \frac{1}{2}gt^{2} + v_{0} \times sin(\alpha) \times t\ \ \end{matrix} \right.\ \ $$

Q5. Montrer que l’équation de la trajectoire du saut de la puce est :

$$y(x) = – \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{x^{2}}{v_{0}^{2} \cdot \cos^{2}(\alpha)} + \tan(\alpha) \cdot x$$

$$x = v_{0} \times cos(\alpha) \times t$$

$$v_{0} \times cos(\alpha) \times t = x$$

$$t = \frac{x}{v_{0} \times \mathbf{\cos}(\alpha)}$$

$$y(t) = – \frac{1}{2}gt^{2} + v_{0} \times sin(\alpha) \times t$$

$$y(x) = – \frac{1}{2}g\left( \frac{x}{v_{0} \times \mathbf{\cos}(\alpha)} \right)^{2} + v_{0} \times sin(\alpha) \times \frac{x}{v_{0} \times \mathbf{\cos}(\alpha)}$$

$$y(x) = – \frac{1}{2}g\frac{x^{2}}{v_{0}^{2} \times \cos^{2}(\alpha)} + x \times tan(\alpha)$$

La distance au sol parcourue durant le saut, entre le point de départ de la puce et le point où elle retombe sur le sol, est appelée la portée et notée p.

Q6. Déterminer l’expression de la portée p du saut de la puce.

Au point où la puce retombe sur le sol :

$$x = p$$

$$y(p) = 0$$

$$- \frac{1}{2}g\frac{p^{2}}{v_{0}^{2} \times \cos^{2}(\alpha)} + p \times tan(\alpha) = 0$$

$$p \times \left( – \frac{1}{2}g\frac{p}{v_{0}^{2} \times \cos^{2}(\alpha)} + tan(\alpha) \right) = 0$$

$p \neq 0$ (la puce a quitté le point de départ), donc :

$$- \frac{1}{2}g\frac{p}{v_{0}^{2} \times \cos^{2}(\alpha)} + tan(\alpha) = 0$$

$$\frac{1}{2}g\frac{p}{v_{0}^{2} \times \cos^{2}(\alpha)} = tan(\alpha)$$

$$p = \frac{2 \times v_{0}^{2} \times \cos^{2}(\alpha)}{g} \times tan(\alpha)$$

Avec

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

$$p = \frac{2 \times v_{0}^{2} \times \cos^{2}(\alpha)}{g} \times \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

$$p = \frac{2 \times v_{0}^{2} \times sin(\alpha) \times cos(\alpha)}{g}$$

Pour le saut de puce le plus long mesuré dans l’étude, on a pu mesurer v₀ = 1,90 m·s⁻¹ et α = 45 °.

Q7. Calculer la valeur numérique de la portée de ce saut et commenter le résultat.

$$p = \frac{2 \times v_{0}^{2} \times sin(\alpha) \times cos(\alpha)}{g}$$

$$p = \frac{2 \times 1,90^{2} \times sin(45) \times cos(45)}{9,81}$$

$$p = 0,368\ m$$

$$p = 36,8\ cm$$

Calculons le diamètre de la puce:

$$V_{puce} = \frac{4}{3} \times \pi \times (r)^{3}$$

$$V_{puce} = \frac{4}{3} \times \pi \times \left( \frac{d}{2} \right)^{3}$$

$$\frac{4}{3} \times \pi \times \left( \frac{d}{2} \right)^{3} = V_{puce}$$

$$\left( \frac{d}{2} \right)^{3} = \frac{3 \times V_{puce}}{4\pi}$$

$$\frac{d}{2} = \left( \frac{3 \times V_{puce}}{4\pi} \right)^{\frac{1}{3}}$$

$$d = 2 \times \left( \frac{3 \times V_{puce}}{4\pi} \right)^{\frac{1}{3}}$$

$$d = 2 \times \left( \frac{3 \times 4,19 \times 10^{- 9}}{4\pi} \right)^{\frac{1}{3}}$$

$$d = 2,00 \times 10^{- 3}\ m$$

Calculons le rapport :

$$\frac{p}{d} = \frac{0,368}{2,00 \times 10^{- 3}}$$

$$\frac{p}{d} = 184$$

La portée du saut est 184 fois plus grande que la taille de la puce : c’est un saut très long par rapport à la taille de la puce.

On souhaite déterminer l’incertitude-type sur la portée du saut de puce le plus long, calculée à la question précédente, sachant que la vitesse initiale v₀ est connue avec une incertitude-type u(v₀) et que l’angle initial α est connu avec une incertitude-type u(α). On réalise pour cela une simulation numérique d’un processus aléatoire, écrite en langage de programmation Python, et donné en figure 2.

Q8. Recopier sur la copie les lignes 6 et 9 du programme et les compléter avec les valeurs des paramètres expérimentaux correspondant au saut le plus long.

Ligne 6 : v0 = 1.90 # valeur de la vitesse initiale en m/s

Ligne 9 : alpha = 45 * np.pi / 180 # en radian

Q9. Écrire sur la copie un commentaire possible à la ligne 14 expliquant la ligne 15.

Ligne 14 : # calcul de la portée x du saut (en m), d’après l’expression établie à la question Q6 : x = 2 v0² sin(alpha) cos(alpha) / g

On donne ci-dessous le résultat affiché par le programme :

Q10. À partir des résultats de la simulation, écrire la valeur de l’incertitude-type sur la portée avec deux chiffres significatifs. Écrire alors la valeur de la portée calculée avec un nombre adapté de chiffres significatifs.

D’après les résultats de la simulation :

$$u(p) = 0,08356\ m$$

Avec deux chiffres significatifs :

$$u(p) = 0,084\ m$$

La portée est écrite avec le même nombre de décimales que son incertitude-type :

$$p = 0,368\ m$$

La portée moyenne calculée pour l’ensemble des sauts réalisés dans l’étude vaut 17,9 cm. Cette portée est prise comme portée de référence.

Q11. Discuter de l’accord du résultat de la portée du saut de puce le plus long avec la portée de référence.

$$p_{ref} = 17,9\ cm = 0,179\ m$$

$$z = \left| \frac{x – x_{ref}}{u(x)} \right|$$

$$z = \left| \frac{p – p_{ref}}{u(p)} \right|$$

$$z = \left| \frac{0,368 – 0,179}{0,084} \right|$$

$$z = 2,3$$

$z > 2$ : la portée du saut le plus long n’est pas en accord avec la portée de référence.

Ce résultat est cohérent : le saut étudié est le saut le plus long, sa portée est donc plus grande que la portée moyenne de l’ensemble des sauts.

2. Record du monde de saut en longueur

Pour sauter, les puces stockent puis libèrent de l’énergie élastique comme pourrait le faire un ressort comprimé brusquement relâché. Cela leur permet de développer une puissance plus importante que par la simple contraction des muscles.

On souhaite comparer la puissance par kilogramme de muscle développée par la puce étudiée dans la partie 1 avec celle développée par Arne Tvervaag lors de son record du monde de saut en longueur sans élan de 3,71 m établi en 1968.

Données :

• Pour la puce ayant réalisé le saut le plus long :
  – masse de la puce : m₁ = 1,00×10⁻⁶ kg ;
  – la masse de muscles sollicitée lors du saut de la puce est d’environ 11 % de sa masse totale ;
  – vitesse initiale en début de saut, après l’impulsion : v₀ = 1,90 m·s⁻¹ ;
  – durée estimée de l’impulsion : 1,2×10⁻³ s.
• Pour Arne Tvervaag :
  – masse estimée : m₂ = 70 kg ;
  – la masse de muscles sollicitée lors du saut de Arne Tvervaag est d’environ 40 % de sa masse totale ;
  – vitesse initiale en début de saut, après l’impulsion : v₂ = 6,0 m·s⁻¹ ;
  – durée estimée de l’impulsion : 0,40 s.

Q12. Après avoir calculé les énergies cinétiques en début de saut de la puce et d’Arne Tvervaag, déterminer la puissance par kilogramme de muscle développée durant l’impulsion précédant le saut par la puce et par le sauteur humain. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.

Énergie cinétique de la puce en début de saut :

$$E_{c1} = \frac{1}{2} \times m_{1} \times v_{0}^{2}$$

$$E_{c1} = \frac{1}{2} \times 1,00 \times 10^{- 6} \times 1,90^{2}$$

$$E_{c1} = 1,81 \times 10^{- 6}\ J$$

Énergie cinétique d’Arne Tvervaag en début de saut :

$$E_{c2} = \frac{1}{2} \times m_{2} \times v_{2}^{2}$$

$$E_{c2} = \frac{1}{2} \times 70 \times 6,0^{2}$$

$$E_{c2} = 1,26 \times 10^{3}\ J$$

L’énergie cinétique acquise est fournie pendant la durée de l’impulsion.

La puissance moyenne développée est :

$$P = \frac{E_{c}}{\Delta t}$$

Masse de muscles sollicitée pour la puce : $m_{muscles,1} = 0,11 \times m_{1}$

Puissance par kilogramme de muscle pour la puce :

$$\frac{P_{1}}{m_{muscles,1}} = \frac{E_{c1}}{\Delta t_{1} \times 0,11 \times m_{1}}$$

$$\frac{P_{1}}{m_{muscles,1}} = \frac{1,81 \times 10^{- 6}}{1,2 \times 10^{- 3} \times 0,11 \times 1,00 \times 10^{- 6}}$$

$$\frac{P_{1}}{m_{muscles,1}} = 1,37 \times 10^{4}\ W.kg^{- 1}$$

Masse de muscles sollicitée pour Arne Tvervaag: $m_{muscles,2} = 0,11 \times m_{1}$

Puissance par kilogramme de muscle pour Arne Tvervaag :

$$\frac{P_{2}}{m_{muscles,2}} = \frac{E_{c2}}{\Delta t_{2} \times 0,40 \times m_{2}}$$

$$\frac{P_{2}}{m_{muscles,2}} = \frac{1,26 \times 10^{3}}{0,40 \times 0,40 \times 70}$$

$$\frac{P_{2}}{m_{muscles,2}} = 1,13 \times 10^{2}\ W.kg^{- 1}$$

Comparons les deux valeurs :

$$\frac{P_{1}/m_{muscles,1}}{P_{2}/m_{muscles,2}} = \frac{1,37 \times 10^{4}}{1,13 \times 10^{2}}$$

$$\frac{P_{1}/m_{muscles,1}}{P_{2}/m_{muscles,2}} = 1,2 \times 10^{2}$$

La puissance par kilogramme de muscle développée par la puce est 1,2×10² fois plus grande que celle développée par le sauteur humain.

Les muscles de la puce seuls ne peuvent pas développer une telle puissance : cela s’explique par le stockage puis la libération brusque d’énergie élastique, comme un ressort comprimé brusquement relâché.