Autour du basket-ball

Bac Métropole 2024 Sujet 2

Exercice 1 – (11 points) –  Durée 1h56 – Calculatrice autorisée

Sujet n°24-PYCJ2ME1

Sujet et corrigé

Exercice 1 – Autour du basket-ball (11 points)

Wikimedia commons

Données :

• masse du ballon : m = 600 g ;
• rayon du ballon : R_b = 12 cm ;
• valeur du champ de pesanteur supposé uniforme : g = 9,8 m·s ⁻² ;
• rayon de l’arceau du panier : R_a = 22,5 cm ;
• hauteur de l’arceau du panier, par rapport au sol : H_a = 3,05 m.

1.  Étude d’une trajectoire idéale

Il est légitime pour un joueur de basket-ball de se demander comment obtenir la trajectoire la plus efficace pour marquer un panier. Un site internet spécialisé dans le basket-ball donne le conseil suivant :

« privilégier un angle de tir entre 47° et 55° par rapport à l’horizontale. On préconise les tirs en cloche de façon à avoir une exploitation maximale de la surface du panier »
(source : BasketSession.com)

Figure 1. Schéma du lancer-franc considéré juste après que le ballon a quitté la main.

Première modélisation

Dans un premier temps, on s’intéresse au mouvement du centre de masse M d’un ballon lorsqu’un joueur réalise un lancer-franc. On réalise l’étude dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on considère qu’une fois lancé, le ballon n’est soumis qu’à son propre poids. On néglige donc toute force de frottement de l’air sur le ballon.

Quand le ballon quitte la main du joueur, son centre de masse M est situé à une hauteur H_m = 2,30 m par rapport au sol et à une distance horizontale L = 4,6 m du centre C de l’arceau du panier (figure 1).

On étudie le mouvement dans le repère cartésien indiqué sur la figure 1 : le plan (Oxy) est un plan vertical contenant la main du basketteur au moment où il lâche le ballon et le centre C de l’arceau. L’instant initial est

l’instant où le ballon quitte la main, avec un vecteur vitesse initial $\overrightarrow{v}_0$ qui forme un angle αavec l’axe horizontal. L’angle α est supposé différent de 90°.

Q1. Montrer que dans le plan (Oxy), les coordonnées du vecteur accélération ̅a→(t) du centre de masse M du ballon peuvent s’écrire :

$$\overrightarrow{a}(t)\begin{pmatrix}a_x(t)=0 \\ a_y(t)=-g\end{pmatrix}$$

Le vecteur accélération du centre d’inertie du solide est égal au vecteur champ de pesanteur.
$\overrightarrow{a}\begin{cases}
a_x(t)=0\\
a_y(t)=-g
\end{cases}$

Q2. Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse v̅→(t) du point M à chaque instant, notées :

$$\overrightarrow{v}(t)\begin{pmatrix}v_x(t) \\ v_y(t)\end{pmatrix}$$

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$
On intègre le système d’équation précédent :
$\overrightarrow{v}\begin{cases}
v_x(t)=C_1\\
v_y(t)=-gt+C_2
\end{cases}$

d’ou
$\overrightarrow{v}\begin{cases}
v_x(t)=v_0\ cos\alpha\\
v_y(t)=-gt+v_0\ sin\ \alpha
\end{cases}$

Q3. Exprimer les coordonnées du vecteur position ̅O̅M̅→(t) au cours du temps, notées :

$$\overrightarrow{OM}(t)\begin{pmatrix}x(t) \\ y(t)\end{pmatrix}$$

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$
On intègre le système d’équation précédent :
$\overrightarrow{OM}\begin{cases}
x(t)=v_0\cos(\alpha)\times t+C_3\\
y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin(\alpha)\times t+C_4
\end{cases}$

Pour trouver les constantes, on utilise $\overrightarrow{OM}_0$
$\overrightarrow{OM}_0\begin{cases}
x_0=0\\
y_0=H_m
\end{cases}$
d’ou
$\overrightarrow{OM}\begin{cases}
x(t)=v_0\cos(\alpha)\times t\\
y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin(\alpha)\times t+H_m
\end{cases}$

Q4. Montrer que l’équation de la trajectoire du centre de masse M du ballon peut s’écrire :

$$y(x)=-\frac{g}{2\cdot v_0^2\cdot \cos^2(\alpha)} \cdot x^2+x\cdot\tan(\alpha)+H_m$$

Isolons t :
$x(t)=v_0\cos(\alpha)\times t$
$v_0\cos(\alpha)\times t=x$
$t=\frac{x}{v_0\cos(\alpha)}$

Remplaçons t dans y :
$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin(\alpha)\times t+H_m$
$y(x)=-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos(\alpha)}\right)^2+v_0\sin(\alpha)\times\frac{x}{v_0\cos(\alpha)}+H_m$
$y(x)=-\frac{1}{2}g\times\frac{x^2}{v_0^2\ \cos^2(\alpha)}+\tan(\alpha)\times x+H_m$
$y(x)=-\frac{g}{2\times v_0^2\ \times\cos^2(\alpha)}\times x^2+x\times\tan(\alpha)+H_m$

Un tir est considéré comme parfait lorsque le centre de masse M du ballon passe par le centre C de l’arceau du panier, le ballon ne touchant pas le bord de l’arceau.

Q5. Montrer que pour un angle initial α et pour une distance L donnés, il existe une vitesse initiale v_0c pour laquelle la trajectoire du centre de masse du ballon passe par le centre du panier, dont l’expression est :

$$v_{0c}=\sqrt{\frac{g\cdot L^2}{2\cdot \cos^2(\alpha)\cdot\left(L\cdot\tan(\alpha)+H_m-H_a\right)}}$$

Un tir est considéré comme parfait lorsque le centre de masse M du ballon passe par le centre C de l’arceau du panier, le ballon ne touchant pas le bord de l’arceau :
$x_c=L$ et $y_c=H_a$
$y(x)=-\frac{g}{2\times v_0^2\ \times\cos^2(\alpha)}\times x^2+x\times\tan(\alpha)+H_m$
$y_c=-\frac{g}{2\times v_{0c}^2\ \times\cos^2(\alpha)}\times{x_c}^2+x_c\times\tan(\alpha)+H_m$
$H_a=-\frac{g}{2\times v_{0c}^2\ \times\cos^2(\alpha)}\times L^2+L\times\tan(\alpha)+H_m$
$H_a-L\times\tan(\alpha)-H_m=-\frac{g}{2\times v_{0c}^2\ \times\cos^2(\alpha)}\times L^2$
$\left(H_a-L\times\tan(\alpha)-H_m\right)\times v_{0c}^2=-\frac{g}{2\ \times\cos^2(\alpha)}\times L^2$
$v_{0c}^2=-\frac{g}{\left(H_a-L\times\tan(\alpha)-H_m\right)\times2\ \times\cos^2(\alpha)}\times L^2$
$v_{0c}=\sqrt{-\frac{g}{\left(H_a-L\times\tan(\alpha)-H_m\right)\times2\ \times\cos^2(\alpha)}\times L^2}$
On rentre le signe négatif dans la parenthèse du bas :
$v_{0c}=\sqrt{\frac{g}{\left(-H_a+L\times\tan(\alpha)+H_m\right)\times2\ \times\cos^2(\alpha)}\times L^2}$
$v_{0c}=\sqrt{\frac{g\times L^2}{2\ \times\cos^2(\alpha)\times\left(L\times\tan(\alpha)+H_m-H_a\right)}}$

Q6. Lors d’un lancer-franc, on montre (démonstration non demandée) qu’un tir avec un angle initial de 49,5° permet d’obtenir la vitesse initiale v_0c la plus faible possible. Calculer cette vitesse.

Calculons cette vitesse :
$v_{0c}=\sqrt{\frac{g\times L^2}{2\ \times\cos^2(\alpha)\times\left(L\times\tan(\alpha)+H_m-H_a\right)}}$
$v_{0c}=\sqrt{\frac{9,8\times{4,6}^2}{2\ \times\cos^2(49,5)\times\left(4,6\times\tan(49,5)+2,30-3,05\right)}}$
$v_{0c}=7,3\ m.s^{-1}$

On souhaite comparer cette vitesse à celle qu’un joueur situé à une distance L = 2 m du panier doit communiquer au ballon. On trace sur les figures 2-a et 2-b la vitesse initiale à donner au ballon pour qu’il passe par le centre C de l’arceau du panier en fonction de l’angle initial α, pour la distance L = 2 m.

Q7. Déterminer graphiquement l’angle initial à choisir pour communiquer au ballon la vitesse initiale minimale lui permettant de passer par le centre C de l’arceau, si le joueur est placé à la distance L = 2 m. Comparer les valeurs de l’angle et de la vitesse ainsi trouvées à celles obtenues pour un lancer-franc. Commenter.

Si le joueur est placé à la distance L = 2,0 m, l’angle initial à choisir pour communiquer au ballon la vitesse initiale minimale v0c = 5,32 m.s-1, est 𝛼 = 55,5°.

Ce tir à la distance L = 2,0 m est plus proche que le précédent (4,6m). C’est pourquoi il faut tirer avec un angle plus grand et avec une vitesse plus faible.

Q8. On distingue sur la figure 2-a deux asymptotes verticales. Expliquer pourquoi lorsque l’angle de tir initial se rapproche de 90°, la courbe de la vitesse en fonction de l’angle initial tend vers une asymptote.

Plus le lancer se fait vers la verticale, plus la vitesse à donner doit être grande.
Lorsque l’angle de tir initial se rapproche de 90°, il n’y a pas de vitesse horizontale, le ballon n’avance pas. C’est pourquoi la courbe de la vitesse en fonction de l’angle initial tend vers une asymptote car même avec une vitesse infinie le ballon n’atteindra jamais l’arceau.

Deuxième modélisation

Jusqu’à présent, la vitesse à communiquer au ballon a été déterminée à partir d’une seule condition : le centre de masse M du ballon doit passer par le centre C de l’arceau. Il apparaît nécessaire de prendre en compte deux conditions supplémentaires :

• condition 1 : un ballon qui ne passe pas par le dessus du panier n’est pas valide ;
• condition 2 : un ballon qui rebondit sur le bord du panier avant d’en atteindre le centre ne donne pas un tir parfait.

On souhaite s’appuyer sur un programme rédigé en langage Python pour déterminer les trajectoires qui vérifient ces deux conditions.

La figure 3 présente un extrait du code qui permet de vérifier que le ballon rentre bien dans l’arceau, dans le bon sens et sans le toucher. Le début du code (non représenté avant la ligne 80) permet de calculer la trajectoire passant par le centre C de l’arceau pour un angle initial donné, selon l’étude réalisée en première partie. Pour une trajectoire donnée, les coordonnées du centre de masse du ballon sont stockées dans les tableaux (aussi appelés listes) x et y. Les valeurs de x sont comprises entre 0 et L.

Figure 3. Partie du code qui permet de vérifier que le ballon passe bien dans l’arceau dans le bon sens et sans le toucher

Q9. Parmi les propositions ci-dessous, choisir et recopier sur la copie le code qu’il convient d’écrire pour compléter la ligne 82, afin qu’elle permette de vérifier la condition « le ballon ne passe pas au-dessus de l’arceau ». Les variables du programme, notées Ha et L, représentent respectivement les paramètres Ha et L.

max(x) > L

max(y) < Ha

min(y) > L

max(x) < Ha

L’arceau est à une hauteur Ha et ne pas passer au-dessus signifie que l’altitude « y » doit être inférieur à Ha.
Ainsi, le code qu’il convient d’écrire pour compléter la ligne 82, afin qu’elle permette de vérifier la condition « le ballon ne passe pas au-dessus de l’arceau » est :
max(y)< Ha

Les fonctions max(x)et min(x)renvoient respectivement la plus grande et la plus petite valeur du tableau x.

Q10. Justifier que les lignes 89 à 92 permettent de tester la condition 2.

Condition 2 : un ballon qui rebondit sur le bord du panier avant d’en atteindre le centre ne donne pas un tir parfait.
d_bord(x,y)est la distance entre le centre de masse du ballon et le bord de l’arceau.
Pour que le tir soit parfait et que le ballon ne touche pas l’arceau, la distance d_bord(x,y)doit être plus grande que le rayon du ballon.
Ainsi, les lignes 89 à 92 permettent de tester la condition 2.

Q11. L’application des deux nouvelles conditions permet de déterminer que l’angle initial minimal pour réaliser un tir parfait au lancer-franc est voisin de 45°. Commenter cette valeur au regard des conseils fournis par le site internet cité en début d’exercice.

Un site internet spécialisé dans le basket-ball donne le conseil suivant : « privilégier un angle de tir entre 47° et 55° par rapport à l’horizontale. On préconise les tirs en cloche de façon à avoir une exploitation maximale de la surface du panier »
D’après la question : « l’angle initial minimal pour réaliser un tir parfait au lancer-franc est voisin de 45° ».
Cette valeur est en accord au regard des conseils fournis par le site internet cité en début d’exercice.

2.   Étude du dribble et du rebond du ballon

Au basket-ball, il est interdit de se déplacer en portant la balle sur plus de trois pas. Il faut donc la faire rebondir sur le sol (c’est le dribble). Il est donc important d’étudier les caractéristiques de ce rebond.

À cette fin, on réalise le protocole suivant :

• un ballon est lâché, sans vitesse initiale, d’une hauteur voisine d’un mètre ;
• il tombe, rebondit sur le sol dur et remonte ;
• le pointage du centre de masse M du ballon est réalisé à l’aide d’une chronophotographie. Ces données permettent d’obtenir les représentations graphiques de l’évolution des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique du ballon au cours du temps (figure 4).

Figure 4. Évolution des énergies au cours du temps

Q12. Parmi les courbes 1, 2 et 3 de la figure 4, identifier celles qui représentent l’évolution de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle de pesanteur et de l’énergie mécanique. Justifier chacune de ces identifications.

Lors de la chute d’une balle, son énergie potentielle de pesanteur $Epp=mgz$ diminue car son altitude z diminue.
Ainsi, la courbe \Delta (courbe 2) est celle de l’énergie potentielle de pesanteur.

Lors de la chute d’une balle, sa vitesse augmente, son énergie cinétique $Ec=\frac{1}{2}mv^2$ augmente. De plus, le ballon est lâché, sans vitesse initiale, l’énergie cinétique initiale est donc nulle.
Ainsi, la courbe x (courbe 3) est celle de l’énergie cinétique.

L’énergie mécanique Em est la somme de l’énergie cinétique et potentielle de pesanteur. La courbe la représentant est donc supérieure aux deux autres courbes.
Ainsi, la courbe • (courbe 1) est celle de l’énergie mécanique.

Q13. Montrer que l’énergie perdue par le ballon lors du rebond est voisine de 2,5 J.

Q14. Indiquer, en justifiant, s’il est raisonnable dans cette étude de négliger les frottements en dehors du moment où le ballon rebondit.

En dehors du moment où le ballon rebondit, l’énergie mécanique est quasiment constante.
Ainsi, il est raisonnable dans cette étude de négliger les frottements en dehors du moment où le ballon rebondit.

Q15. Lorsqu’on dribble, on ne lâche pas le ballon mais on le pousse vers le bas assez fort pour qu’il remonte suffisamment haut pour continuer à dribbler. Déterminer la vitesse initiale minimale à communiquer à un ballon lancé d’une hauteur d’un mètre pour qu’il remonte au moins à cette même hauteur.
On admet que la perte énergétique lors du rebond est la même qu’à la question Q13.

Pour que le ballon remonte au moins à cette même hauteur, il faut lui donner une énergie cinétique qui compense l’énergie perdue par le rebond.
$Ec={\rm Em}{perdue}$
$\frac{1}{2}\times m\times v_i^2={\rm Em}{perdue}$
$v_i^2=\frac{2\times{\rm Em}{perdue}}{m}$
$v_i=\sqrt{\frac{2\times{\rm Em}{perdue}}{m}}$
$v_i=\sqrt{\frac{2\times2,6}{600\times{10}^{-3}}}$
$v_i=2,9\ m.s^{-1}$

3.   Entendre l’arbitre lors d’un match

Le basket-ball est un sport dans lequel le public peut se manifester bruyamment à n’importe quel moment. Pour autant, l’arbitre, qui signale les fautes grâce à un sifflet, doit pouvoir être entendu par tous les joueurs.

On admet que l’on peut distinguer un son très bref et aigu du bruit ambiant si son niveau sonore est supérieur d’au moins 3 dB à celui du bruit ambiant.

On rappelle que :

• le niveau d’intensité sonore noté Lson s’exprime en dB et est lié à l’intensité sonore I au point considéré par :

$$L_{son}=10\cdot\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

où I₀ = 1 × 10⁻¹² W·m⁻² est conventionnellement la plus faible intensité sonore détectable par l’oreille humaine et où log désigne le logarithme décimal ;

• si une source sonore ponctuelle de puissance sonore P est placée dans un milieu sans obstacle et non absorbant, alors l’intensité sonore à une distance d de la source s’exprime par :

$$I=\frac{P}{4\cdot\pi\cdot d^2}$$

• les sons trop forts constituent un danger pour l’appareil auditif. Lorsque le niveau d’intensité sonore est trop important, il faut porter des protections auditives, comme des bouchons d’oreilles. La figure 5 donne quelques ordres de grandeur de niveaux d’intensité sonore et indique, notamment, le seuil de danger au- delà duquel le son peut entraîner des lésions dans l’oreille.

Figure 5. Échelle des niveaux d’intensité sonore perçus par l’oreille (source mur-silenzo.com)

Q16. On suppose que l’arbitre siffle au moment où est commise une faute. À cet instant, il est à une distance d1 = 20 m du joueur le plus éloigné sur le terrain et à une distance d2 = 1,0 m d’un joueur remplaçant assis sur un banc au bord du terrain. À l’aide d’un calcul, déterminer si le joueur remplaçant doit porter des protections auditives, sachant que le bruit ambiant est de l’ordre de 80 dB.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

D’après la question, le bruit ambiant est de l’ordre de 80 dB.
Or, d’après l’énoncé, On admet que l’on peut distinguer un son très bref et aigu du bruit ambiant si son niveau sonore est supérieur d’au moins 3 dB à celui du bruit ambiant.
Le joueur le plus éloigné sur le terrain doit percevoir le son du sifflet.
Ainsi, le niveau d’intensité sonore pour le joueur le plus éloigné sur le terrain est $L_1=80+3=83\ dB$.

Exprimons l’intensité sonore $I_1$ correspondante :
$L=10\ log\left(\frac{I}{I_0}\right)$
$10\ log\left(\frac{I}{I_0}\right)=L$
$log\left(\frac{I}{I_0}\right)=\frac{L}{10}$
$\frac{I}{I_0}={10}^\frac{L}{10}$
$I=I_0\times{10}^\frac{L}{10}$
$I_1=I_0\times{10}^\frac{L_1}{10}$

Exprimons la puissance sonore P :
$I=\frac{P}{4\times\pi\times d^2}$
$I_1=\frac{P}{4\times\pi\times d_1^2}$

$\frac{P}{4\times\pi\times d_1^2}=I_1$
$P=4\times\pi\times d_1^2\times I_1$

$P=4\times\pi\times d_1^2\times I_0\times{10}^\frac{L_1}{10}$
Exprimons l’intensité sonore $I_2$ au niveau du joueur remplaçant assis sur un banc au bord du terrain :
$I=\frac{P}{4\times\pi\times d^2}$
$I_2=\frac{P}{4\times\pi\times d_2^2}$
Or
$P=4\times\pi\times d_1^2\times I_0\times{10}^\frac{L_1}{10}$

Ainsi,
$I_2=\frac{4\times\pi\times d_1^2\times I_0\times{10}^\frac{L_1}{10}}{4\times\pi\times d_2^2}$
$I_2=\frac{d_1^2\times I_0\times{10}^\frac{L_1}{10}}{d_2^2}$

Calculons le niveau d’intensité sonore au niveau du joueur remplaçant assis sur un banc au bord du terrain :
$L=10\ log\left(\frac{I}{I_0}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{I_2}{I_0}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{\frac{d_1^2\times I_0\times{10}^\frac{L_1}{10}}{d_2^2}}{I_0}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{d_1^2\times I_0\times{10}^\frac{L_1}{10}}{I_0\times d_2^2}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{d_1^2\times{10}^\frac{L_1}{10}}{d_2^2}\right)$
$L_2=10\ log\left(\frac{{20}^2\times{10}^\frac{83}{10}}{{1,0}^2}\right)$
$L_2=109\ dB$

D’après la figure 5, le seuil de danger est de 90 dB.

Le niveau d’intensité sonore au niveau du joueur remplaçant assis sur un banc au bord du terrain est supérieur au seuil de danger.

Ainsi, le joueur remplaçant doit porter des protections auditives.