Autour d’une gamme

Enseignement scientifique première

Durée 1h – 10 points – Thème « Son et musique, porteurs d’information »

Partie 1. Masse et fréquence

On dispose de trois marteaux M₁, M₂ et M₃ de masses respectives m₁ = 0,24 kg, m₂ = 0,48 kg et m₃ = 1,44 kg.

L’expérience consiste à les laisser tomber sur une enclume. Un logiciel d’acquisition enregistre le signal sonore émis.

On désigne respectivement par f₁, f₂ et f₃ les fréquences fondamentales des sons émis par les marteaux M₁, M₂ et M₃ lors de l’expérience.

Document 1 : Spectres des fréquences des sons émis lors de la chute des marteaux

Spectre du son obtenu avec le marteau 1 :

Spectre du son obtenu avec le marteau 2 :

Spectre du son obtenu avec le marteau 3 :

Lire sur le document 1 les fréquences fondamentales f₁, f₂, et f₃ des sons émis lors de l’expérience et noter leurs valeurs sur la copie.

f₁=3,7 khz

f₂=3,7 khz

f₃=3,7 khz

2. Comparer ces fréquences. La masse du marteau influe-t-elle sur la fréquence fondamentale du son émis ?

Ces fréquences sont identiques. On en déduit que La masse du marteau n’influe pas sur la fréquence fondamentale du son émis.

Partie 2. Construction d’une gamme

On souhaite construire une gamme musicale en harmonie avec la note obtenue en tapant sur l’enclume de la partie 1. On admet que cette fréquence vaut environ 3600 Hz.

3. Cette note, jugée trop aigüe, doit être diminuée de plusieurs octaves pour obtenir une fréquence proche de 440 Hz, qui correspond à la fréquence du La3 servant communément de référence. Combien d’octaves séparent la note obtenue en tapant sur l’enclume et le La3 ?

$\frac{3600}{440}\approx 8$

Huit octaves séparent la note obtenue en tapant sur l’enclume et le La3.

4. Dans une gamme de douze notes au tempérament égal (aussi appelée gamme tempérée), la fréquence de chaque note est obtenue en multipliant la fréquence de la note précédente par la racine douzième de deux, notée ¹²√2 ou 2^1/12.

𝐹 ← ⋯
Pour i allant de … à …
Afficher F
𝐹 ← ⋯
Fin Pour

4-a- Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il permette de construire la gamme de douze notes au tempérament égal à partir de la note de fréquence F = f₀.

𝐹 ← f₀
Pour i allant de … à …
Afficher F
𝐹 ← F×¹²√2
Fin Pour

4-b- Donner la valeur de B dans le tableau des fréquences ci-dessous :

Note 0

Note 1

Note 2

Note 3

Note 4

Note 5

Note 6

Note 7

Note 8

Note 9

Note 10

Note 11

Fréquence 𝑓 (Hz)

455 =𝑓₀

482

511

541

573

607

682

723

765

811

859

910

Rapport 𝑓/𝑓₀

2^1/12

2^2/12

2^3/12

2^4/12

2^5/12

2^7/12

2^8/12

2^9/12

2^10/12

2^11/12

$B=2^{\frac{6}{12}}$

4-c- Expliquer pourquoi A² = 682 × 607 puis donner la valeur de A.

D’une part :

$A=607\times 2^{\frac{1}{12}}$

D’autre part :

$682=A\times 2^{\frac{1}{12}}$

$A\times 2^{\frac{1}{12}}=682$

$A=\frac{682}{2^{\frac{1}{12}}}$

D’où :

A²=A×A

$^2=607\times 2^{\frac{1}{12}}\times \frac{682}{2^{\frac{1}{12}}}$

$A^2=607\times 682$

$A=\sqrt{607\times 682}$

A=643

5. On rappelle que la quinte juste introduite pour construire les gammes de Pythagore est exactement 3/2.

Déterminer la note de la gamme qui forme avec la note 0 l’intervalle le plus proche de la quinte juste.

$f=\frac{3}{2}\times f_0}$

$f=\frac{3}{2}\times 455}$

f=682 Hz