Capacité thermique massique du cuivre

Centres étrangers 2022 Sujet 2

Exercice C – (5 points) – au choix du candidat – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n° 22-PYCJ2G11

Mots-clés: flux thermique, capacité thermique, loi phénoménologique de Newton

La capacité thermique massique d’un métal, notée 𝑐, est une grandeur caractéristique de ce métal. Son unité est : J·kg^-1·K^-1 (ou J·kg^-1·°C^-1).

Pour une masse m donnée de métal, cette grandeur est reliée à la capacité thermique 𝐶 par la relation 𝐶 = 𝑚 𝑐 .

Plusieurs méthodes expérimentales permettent de déterminer la valeur de la capacité thermique massique. L’une d’elle repose sur l’analyse des échanges thermiques entre un échantillon de métal chauffé préalablement dans une étuve et un volume d’eau à température ambiante.

Dans cet exercice, on s’intéresse tout d’abord à la durée de chauffage de l’échantillon dans l’étuve avant d’examiner la méthode mise en œuvre afin de retrouver la valeur de la capacité thermique massique du métal le constituant.

On rappelle que l’expression de la variation d’énergie interne d’un système incompressible de masse 𝑚 entre deux états i et f se met sous la forme :

𝛥𝑈_𝑖→𝑓 = 𝑚 𝑐 𝛥𝜃

avec 𝑐 la capacité thermique massique du système étudié et 𝛥𝜃 = (𝜃_𝑓 − 𝜃_𝑖) la variation de température du système entre ces deux états.

Temps de mise à température de l’échantillon de cuivre

À la date t = 0, on place un échantillon de cuivre, initialement à la température ambiante 𝜃_𝑎, dans une étuve à l’intérieur de laquelle l’air est à la température 𝜃_𝑡ℎ = 100 °𝐶.

On veut estimer la durée nécessaire pour être sûr que la température de l’échantillon de cuivre est bien de 100 °C à moins de 1 degré près.

Pour cela, on étudie l’évolution temporelle de la température 𝜃(𝑡) du système « échantillon de cuivre », de masse m.

Temps de mise à température de l’échantillon de cuivre À la date t = 0, on place un échantillon de cuivre, initialement à la température ambiante 𝜃𝑎, dans une étuve à l’intérieur de laquelle l’air est à la température 𝜃𝑡ℎ=100 °𝐶. On veut estimer la durée nécessaire pour être sûr que la température de l’échantillon de cuivre est bien de 100 °C à moins de 1 degré près. Pour cela, on étudie l’évolution temporelle de la température 𝜃(𝑡) du système « échantillon de cuivre », de masse m.

Hypothèses

La température 𝜃(𝑡) est la même en tout point de l’échantillon de cuivre.
L’air à l’intérieur de l’étuve joue le rôle d’un thermostat. Sa température 𝜃_𝑡ℎ reste constante au cours du temps.
Le transfert thermique entre le système et l’air à l’intérieur de l’étuve obéit à la loi phénoménologique de Newton qui exprime une relation de proportionnalité entre le flux thermique Φ et l’écart de température (𝜃_𝑡ℎ − 𝜃(𝑡)).

Φ = ℎ 𝑆 (𝜃_𝑡ℎ − 𝜃(𝑡))

Données :

𝜃_𝑎 = 20,5 °C 𝜃_th = 100,0 °C
Masse de l’échantillon de cuivre m = 44,8 g.
Capacité thermique massique du cuivre, valeur tabulée : 𝑐 = 385 J·kg^-1·K^-1.
Surface S d’échange entre le système et l’air S = 22 cm²
Coefficient d’échange convectif de l’air : ℎ = 10 W ⋅ m⁻² ⋅ K⁻¹
$\lim_{x \to +\infty}e^{-x}=0$

1. Prévoir le sens du transfert thermique Q qui a lieu entre le système et le thermostat.

2. Ecrire le premier principe pour le système et en déduire une relation entre le transfert thermique Q, la masse du système m, la capacité thermique massique du cuivre c et la variation de température ∆𝜃 du système soumis au transfert thermique.

3. Donner la relation liant le transfert thermique 𝑄 et le flux thermique Φ pendant la durée très courte Δ𝑡. On suppose que Φ est constant pendant la durée Δ𝑡.

4. En déduire une relation entre ℎ, S, 𝜃th, 𝜃(𝑡), m, 𝑐, ∆𝜃 et ∆𝑡 .

5. Déduire de ce qui précède l’équation différentielle donnant l’évolution de la température 𝜃(𝑡) du système en fonction du temps. La mettre sous la forme :

$\frac{d \theta (t)}{dt}+\frac{1}{\tau } \times \theta (t)=\frac{ \theta_{th}}{\tau }$

τ étant un temps caractéristique $\tau = \frac{mc}{hS}$

La solution de l’équation différentielle précédente est de la forme :

$\theta (t)=A \times e^{- \frac{t}{\tau}}+B$

où 𝐴 et 𝐵 sont deux constantes.

6. Déterminer l’expression des constantes 𝐴 et 𝐵 en fonction de 𝜃_𝑎 et 𝜃_th. Détailler le raisonnement.

7. Montrer que l’application numérique conduit à l’expression suivante, avec t en s :

$\theta (t)=100-79.5 \times e^{- \frac{t}{784 }}$ (°C)

8. Déterminer la date 𝑡₁ à partir de laquelle la température du système sera supérieure à 99 °C.

Principe de la détermination de la capacité thermique massique

On a placé une masse m_e d’eau dans un calorimètre. La température d’équilibre de l’eau est 𝜃_𝑒 = 20,5 °C. On plonge l’échantillon de cuivre à la température 𝜃_𝑡ℎ dans l’eau du calorimètre. La température finale de l’ensemble se stabilise à la valeur 𝜃_𝑓.

Hypothèses

La paroi du calorimètre étant une enceinte calorifugée, il n’y a pas de transfert thermique entre l’intérieur et l’extérieur du calorimètre.
On considère de plus, pour simplifier, que le calorimètre ne participe pas aux échanges thermiques et que, par conséquent, les échanges thermiques au sein du calorimètre n’ont lieu qu’entre l’eau et l’échantillon de cuivre.

Données :

Masse de l’eau dans le calorimètre m_e = 100 g.
Masse de l’échantillon de cuivre : m = 44,8 g.
Capacité thermique massique de l’eau c_eau = 4180 J·kg^-1·K^-1
Température initiale de l’eau 𝜃_𝑒 = 20,5 °C.
𝜃_𝑓 = 23,1°C.

9. Sachant que, dans le calorimètre, l’ensemble {échantillon de cuivre, eau} est isolé, montrer que :

$c = \frac{m_e c_{eau} (\theta_f-\theta_e)}{m(\theta_{th}-\theta_f)}$

10. Faire l’application numérique. Proposer une explication à un éventuel écart avec la valeur tabulée.