Enseignement scientifique première partie mathématique
Durée 0h48 – 12 points
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Les deux parties peuvent être traitées séparément.
Une petite entreprise fabrique des objets de décoration. Elle les vend dans deux magasins A et B.
Partie A
Le coût de fabrication annuel des objets de décoration, en euros, peut être modélisé par une fonction 𝐶 définie sur [0 ; 250] par 𝐶(𝑥) = 𝑥2 + 100𝑥 + 50 où 𝑥 représente le nombre d’objets fabriqués pendant l’année.
1- Quel est le coût annuel, en euros, pour la fabrication de 100 objets de décoration ?
Chaque objet de décoration est vendu 300 €. On note 𝐵 la fonction définie sur [0 ; 250] modélisant le bénéfice annuel.
2- Montrer que 𝐵(𝑥) = −𝑥2 + 200𝑥 − 50 où 𝑥 représente le nombre d’objets fabriqués pendant l’année.
3- On admet que la fonction 𝐵 est dérivable sur [0 ; 250].
3-a- Déterminer 𝐵′(𝑥) pour 𝑥 ∈ [0 ; 250].
3-b- Dresser le tableau des variations de la fonction 𝐵 sur [0 ; 250].
3-c- En déduire le nombre d’objets de décoration à fabriquer et à vendre pendant l’année afin que le bénéfice annuel soit maximal et donner le montant de ce bénéfice.
Partie B
En 2020, l’entreprise dépose 50 objets de décoration dans le magasin A et 50 objets de décoration dans le magasin B. Pensant pouvoir améliorer son coût de production, elle s’engage à déposer, tous les ans, 5 objets de plus dans le magasin A et 8% d’objets en plus dans le magasin B.
On représente par 𝑎𝑛 et par 𝑏𝑛 le nombre d’objets déposés respectivement dans les magasins A et B l’année (2020 + 𝑛) où 𝑛 désigne un entier naturel.
4-a- Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑎𝑛+1 en fonction de 𝑎𝑛.
4-b- Quelle est la nature de la suite de terme général 𝑎𝑛 ?
4-c- Selon ce modèle, combien d’objets seront déposés dans le magasin A en 2025 ?
5-a- Quelle est la nature de la suite (𝑏𝑛) ? En préciser les éléments caractéristiques.
5-b- Selon ce modèle, combien d’objets seront déposés dans le magasin B en 2025 ?
6-a- Pour tout entier naturel 𝑛 compris entre 0 et 9, construire dans un même repère les points de coordonnées (𝑛, 𝑎𝑛) et (𝑛, 𝑏𝑛). On prendra 1 cm pour 1 sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 5 sur l’axe des ordonnées en commençant à 50.
6-b- En utilisant la représentation graphique précédente et en expliquant la démarche, donner l’année à partir de laquelle le nombre d’objets déposés dans le magasin B sera supérieur au nombre d’objets déposés dans le magasin A ?