Datation

Bac Asie 2026 Sujet 2

Exercice 2 – (4 points) – Durée 0h42 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ2JA1

Sujet et corrigé

EXERCICE 2 – DATATION (4 points)

En décembre 1972, le module lunaire de la mission Apollo 17 alunit dans la vallée Taurus-Littrow. L’une des missions des astronautes est de recueillir des échantillons de la croûte lunaire et de dépôts volcaniques. En effet, si les missions précédentes ont fait progresser les connaissances sur la Lune dans différents domaines, il subsiste néanmoins des interrogations sur sa structure interne, l’histoire de son évolution ou l’existence d’une activité volcanique récente.

L’objectif de cet exercice est d’exploiter les données obtenues lors de l’analyse d’un échantillon de roche lunaire rapporté lors de la mission Apollo 17 pour en déterminer l’âge.

Données :

• Écriture conventionnelle de noyaux atomiques :

Noyau	Rubidium 86	Rubidium 87	Strontium 86	Strontium 87
Écriture conventionnelle	8637Rb	8737Rb	8638Sr	8738Sr

• Demi-vie du rubidium 87 : t_1/2 = 4,88 ×10¹⁰ ans

Une analyse des minéraux présents dans l’échantillon de roche lunaire a décelé la présence de noyaux de rubidium 87, de strontium 86 et de strontium 87.

Q1. Choisir, en justifiant, la paire de noyaux atomiques isotopes parmi celles données ci-après : (⁸⁶₃₇Rb ; ⁸⁶₃₈Sr) ou (⁸⁶₃₈Sr ; ⁸⁷₃₈Sr).

Les isotopes sont des noyaux qui ont le même numéro atomique (Z), mais un nombre de masse (A) différent.

⁸⁶₃₇Rb et ⁸⁶₃₈Sr : Ces deux noyaux ont le même nombre de masse (A=86), mais pas le même numéro atomique : ce ne sont donc pas des isotopes.

⁸⁷₃₈Sr et ⁸⁶₃₈Sr : Ces deux noyaux ont le même numéro atomique (Z=38), mais des nombres de masse différents (A=86) et (A=87). Ce sont donc des isotopes.

Le rubidium 87 se désintègre spontanément en strontium 87 qui est un noyau stable.

Q2. Écrire l’équation de la réaction de désintégration du rubidium 87 en strontium 87.

Le rubidium 87 se désintègre spontanément en strontium 87 :

$$_{37}^{87}Rb \rightarrow\ _{38}^{87}Sr +\ _{Z}^{A}X$$

Pour trouver A et Z on utilise les lois de Soddy :

Conservation du nombre de nucléons :

$$87 = 87 + A$$

$$A = 87 – 87$$

$$A = 0$$

Conservation du nombre de charge :

$$37 = 38 + Z$$

$$Z = 37 – 38$$

$$Z = -1$$

Ainsi $_{Z}^{A}X =\ _{-1}^{0}e$

$$_{37}^{87}Rb \rightarrow\ _{38}^{87}Sr +\ _{-1}^{0}e$$

Q3. En déduire le nom de la particule émise et le type de radioactivité mis en jeu.

La particule émise $_{-1}^{0}e$ est un électron.

Le type de radioactivité mis en jeu est une désintégration β⁻.

Le nombre N(⁸⁷₃₇Rb) de noyaux de rubidium 87 contenu dans un minéral de roche suit la loi de décroissance radioactive :

N(⁸⁷₃₇Rb) = N₀(⁸⁷₃₇Rb) × exp(−λ·t) (relation 1)

où λ est la constante radioactive du rubidium 87 et N₀(⁸⁷₃₇Rb) est le nombre de noyaux de rubidium 87 initialement présent dans le minéral.

Q4. Donner une définition du temps de demi-vie t_1/2 d’un isotope radioactif.

t_1/2 est la durée au bout de laquelle le nombre de noyau radioactif (ou l’activité) a été divisée par 2.

$$N(t_{1/2}) = \frac{N_{0}}{2}$$

Q5. Montrer, à partir de la relation 1, que le temps de demi-vie t_1/2 et la constante radioactive λ sont liés par la relation : λ = ln(2)/t_1/2.

$$N(_{37}^{87}Rb\ \grave{a}\ t = t_{1/2}) = \frac{N_{0}(_{37}^{87}Rb)}{2}$$

Or

$$N(_{37}^{87}Rb\ \grave{a}\ t = t_{1/2}) = N_{0}(_{37}^{87}Rb) \times e^{-\lambda t_{1/2}}$$

Ainsi

$$N_{0}(_{37}^{87}Rb) \times e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{N_{0}(_{37}^{87}Rb)}{2}$$

$$e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2}$$

$$\ln\left(e^{-\lambda t_{1/2}}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$$

$$-\lambda t_{1/2} = -\ln(2)$$

$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$

Dans le minéral isolé étudié, la teneur en rubidium 87 diminue au cours du temps et celle en strontium 87 augmente. Le strontium 86, qui n’est pas radioactif, reste stable et est utilisé comme isotope de référence. L’analyse de huit échantillons de la roche lunaire rapportée de la mission Apollo 17 a permis d’obtenir huit valeurs de rapports isotopiques. La figure 1 ci-après représente l’évolution du rapport y = N(⁸⁷₃₈Sr)/N(⁸⁶₃₈Sr) en fonction du rapport x = N(⁸⁷₃₇Rb)/N(⁸⁶₃₈Sr) pour ces huit échantillons.

La datation par la méthode rubidium – strontium repose sur l’exploitation de deux relations :

• l’équation de modélisation de l’évolution présentée sur la figure 1 :

y = 0,0650 × x + 0,6990

• la relation théorique entre les rapports isotopiques :

$$\frac{N(_{38}^{87}Sr)}{N(_{38}^{86}Sr)} = (\exp(\lambda \cdot t_{R}) – 1) \times \frac{N(_{37}^{87}Rb)}{N(_{38}^{86}Sr)} + \frac{N_{0}(_{38}^{87}Sr)}{N_{0}(_{38}^{86}Sr)}$$

où t_R est l’âge de la roche contenant les minéraux étudiés et λ est la constante radioactive du rubidium 87.

Q6. Déterminer l’âge t_R de la roche prélevée sur la Lune en exploitant l’ensemble des données ci-dessus. Commenter.

Pour répondre à cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.

La relation théorique entre les rapports isotopiques :

$$\frac{N(_{38}^{87}Sr)}{N(_{38}^{86}Sr)} = (\exp(\lambda \times t_{R}) – 1) \times \frac{N(_{37}^{87}Rb)}{N(_{38}^{86}Sr)} + \frac{N_{0}(_{38}^{87}Sr)}{N_{0}(_{38}^{86}Sr)}$$

L’équation de modélisation de l’évolution présentée sur la figure 1 :

$$y = 0,0650 \times x + 0,6990$$

En comparant avec l’équation de la droite :

$$\exp(\lambda \times t_{R}) – 1 = 0,0650$$

$$\exp(\lambda \times t_{R}) = 1,0650$$

$$\ln(\exp(\lambda \times t_{R})) = \ln(1,0650)$$

$$\lambda \times t_{R} = \ln(1,0650)$$

$$t_{R} = \frac{\ln(1,0650)}{\lambda}$$

Or

$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$

$$t_{R} = \frac{\ln(1,0650)}{\frac{\ln 2}{t_{1/2}}}$$

$$t_{R} = \frac{\ln(1,0650)}{\ln 2} \times t_{1/2}$$

$$t_{R} = \frac{\ln(1,0650)}{\ln 2} \times 4,88 \times 10^{10}$$

$$t_{R} = 4,43 \times 10^{9}\ ans$$

Le temps est de 4,43 milliards d’années, ce qui est cohérent avec l’âge de formation de la croûte lunaire et des roches rapportées par les missions Apollo.

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