Des supercondensateurs pour recharger un bus électrique

Bac Amérique du nord 2022 Sujet 1

Exercice B – (5 points) – au choix du candidat – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n° 22-PYCJ1AN1

EXERCICE B : DES SUPERCONDENSATEURS POUR RECHARGER UN BUS ELECTRIQUE (5 POINTS)

Mots-clés : modèle du circuit RC série, charge et décharge d’un condensateur

Une entreprise française, spécialisée dans la recherche de solutions de transports électriques, est à l’origine d’une solution innovante qui consiste à remplacer les batteries des bus électriques par des supercondensateurs. Les arrêts de bus sont composés d’une unité, appelée totem, qui contient également des supercondensateurs.

*Image : https://graphibus.fr/portfolio/covering/livree-bus/watt-system/*

Le principe est le suivant : à chaque arrêt, le bus se connecte de manière automatique et rapide au totem. Le transfert d’énergie électrique entre les supercondensateurs du totem et les supercondensateurs embarqués dans le bus s’effectue alors en environ 10 s. Cette phase, appelée « biberonnage », doit être parfaitement sécurisée. En effet, l’intensité du courant électrique peut atteindre plusieurs milliers d’ampères en début de transfert.

A. Étude d’un supercondensateur

Chaque supercondensateur utilisé dans le totem a une tension nominale E. Il s’agit de la tension atteinte lorsque le supercondensateur de capacité C est totalement chargé.

Après avoir chargé complètement un supercondensateur sous sa tension nominale E, on le place dans le circuit schématisé sur la figure ci-dessous. Et à l’instant t = 0, on bascule l’interrupteur K en position fermée.

Schéma du circuit électrique de décharge d’un supercondensateur

On désigne par q(t) la charge électrique portée par l’armature positive du condensateur à l’instant t comme indiqué sur le schéma du circuit.

Données :

valeur initiale de la tension aux bornes du condensateur : u_C(0) = E = 2,7 V ;
valeur de la résistance : R = 100 ± 2 mΩ où ce qui suit le ± est l’incertitude-type.

A.1. Montrer qu’au cours de la décharge l’intensité i(t) s’exprime par :

$i(t)=-C\times×\frac{dUc(t)}{dt}$

Relation entre l’intensité i(t) du courant électrique et la dérivée de la charge q(t) portée par l’armature A du condensateur au cours d’une décharge :

$i(t)=-\frac{dq(t)}{dt}$

Or $q(t)=C \times U_c(t)$

D’ou $i(t)=-\frac{d(C \times U_c(t))}{dt}=-C\times×\frac{dU_c(t)}{dt}$

A.2. En déduire que la tension uC(t) obéit à l’équation différentielle :

$RC\times×\frac{dU_c(t)}{dt} +U_c(t) =0$

D’après la loi d’additivité des tensions ou loi des mailles :

$U_c(t)=U_R(t)$

Or $U_R(t)=R \times i$

D’ou $U_c(t)=R \times i$

Or $i(t)=-C\times×\frac{dU_c(t)}{dt}$

D’ou $U_c(t)=R \times -C\times×\frac{dU_c(t)}{dt}$

$U_c(t)=-R \times C\times×\frac{dU_c(t)}{dt}$

$RC\times×\frac{dU_c(t)}{dt} +U_c(t) =0$

La solution de cette équation différentielle est de la forme : $Uc(t)=A+B\times×e\right)^{-\frac{t}{RC}}$

A.3. En détaillant la démarche, déterminer les valeurs de A et B.

Initialement : $Uc(t=0)=E=2,7V$

D’après la solution de l’équation différentielle : $Uc(t=0)=A+B\times×e\right)^{-\frac{0}{RC}}$

$Uc(t=0)=A+B$

Donc $A+B=E$

Pour un temps très grand t=∞, le condensateur est déchargé : U_C (t=∞)=0 D’après la solution de l’équation différentielle :

$Uc(t)=A+B\times×e\right)^{-\frac{\infty}{RC}}$

$Uc(t)=A+B\times 0$

$Uc(t)=A$

D’ou A=0

Donc

A+B=E

0+B=E

B=E=2,7 V

Un dispositif d’acquisition permet d’enregistrer l’évolution de la tension uC(t) lors de la décharge du supercondensateur. On obtient alors la courbe suivante, qui est reproduite sur le document réponse à rendre avec la copie (page 19/20).

Évolution temporelle de la tension *u_C* pour la décharge d’un supercondensateur

A.4. Déterminer le temps caractéristique τ de la décharge. Faire apparaître la construction graphique réalisée sur la courbe du document réponse à rendre avec la copie (page 19/20).

τ=280 s

A.5. En déduire la valeur de la capacité du supercondensateur utilisé dans cette étude. Commenter l’ordre de grandeur obtenu.

$\tau=RC$

$C=\frac{\tau}{R}$

$C=\frac{280}{100\times 10^{-3}}$

C=2,8 .10³ F

L’ordre de grandeur est de 10³ farad : La valeur de la capacité du supercondensateur étudié est très supérieure aux valeurs usuelles des capacités des condensateurs utilisées au lycée ou en électronique qui sont de 10^-3 farad ou 10^-6 farad

L’incertitude-type sur la lecture graphique de t est estimée à u(τ) = 25 s.

L’incertitude-type u(C) sur la capacité C peut se calculer à partir de la relation :

$u(C)= C \times \sqrt{\left (\frac{u(\tau)}{\tau}\right)^2+\left (\frac{u(R)}{R}\right)^2}$

où u(x) désigne l’incertitude-type sur la grandeur x.

A.6. Calculer u(C) et exprimer le résultat de la mesure avec son incertitude-type. Comparer la valeur expérimentale à la valeur de référence annoncée par le constructeur C_réf = 3000 F.

$u(C)= 2,8\times 10^{3} \times \sqrt{\left (\frac{u(25)}{280}\right)^2+\left (\frac{2}{100}\right)^2}$

$u(C)= 3\times 10^{2}$

C=2,8.10³± 3.10² F

C=(2,8 ±0,3).10³ F

Méthode 1 :

(2,8 -0,3).10³<C<(2,8 +0,3).10³

2500 F<C<3100 F

C_ref=3000 F est compris dans cet intervalle : la mesure est compatible à la valeur de référence.

Méthode 2 : Calculons le z-score : $z= \frac{\lvert C-C_{ref} \rvert }{u(x)}$

$z= \frac{\lvert 2,8\times 10^{3}-3000 \rvert }{3\times 10^{2}}$

z =0,67 Le z-score est inferieur à 2 : la mesure est compatible à la valeur de référence.

B. Étude du totem

Le totem contient une association d’un grand nombre de supercondensateurs. Cette association se comporte comme un unique condensateur, appelé condensateur totem, de capacité notée Ctotem = 20 F. La tension nominale du condensateur totem a pour valeur Etotem = 760 V.

La courbe ci-après représente l’évolution temporelle de la tension uC lors de la décharge du condensateur totem dans une résistance.

Évolution temporelle de la tension uC pour la décharge du condensateur totem

B.1. Déterminer la valeur de l’intensité maximale I_max lors de la phase de décharge. Commenter.

(Question A.1.) $i(t)=-C\times×\frac{dUc(t)}{dt}$

La dérivée est le coefficient directeur de la tangente en un point.

Nous recherchons la valeur de l’intensité maximale I_max : il faut choisir le moment ou la valeur absolue du coefficient directeur est la plus grand. A t=0s la valeur absolue du coefficient directeur est la plus grand.