Etude d’un lave-linge

Bac Métropole 2026 Sujet 1

Exercice 1 – (11 points) – Durée 1h45 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ1ME1

Sujet et corrigé

EXERCICE 1 – ÉTUDE D’UN LAVE-LINGE (11 points)

La maitrise de la durée des différentes étapes du cycle de lavage d’un lave-linge permet de garantir un nettoyage efficace tout en préservant les vêtements. Chaque phase – lavage, rinçage, essorage – est ainsi optimisée, en fonction du type de linge, en termes de consommation d’eau, d’énergie consommée et de durabilité de la machine.

L’objectif de cet exercice est d’étudier les premières phases du fonctionnement d’un lave-linge, le remplissage de la cuve et le chauffage de l’eau, lors de tests effectués en l’absence de linge.

1. Remplissage de la cuve

Le lave-linge peut être assimilé à un tambour tournant dans une cuve de forme cubique et de côté a. Pour réguler le niveau d’eau dans la cuve d’un lave-linge, un pressostat mesure la pression de l’air dans une chambre de compression cylindrique reliée au bas de la cuve : lorsque le niveau d’eau monte dans la cuve, une partie de cette eau entre dans la chambre de compression et l’air enfermé à l’intérieur est comprimé. Quand la pression atteint une valeur seuil, le pressostat envoie un signal et interrompt le remplissage.

Dans cette partie, on s’intéresse à un test de la machine : le pressostat est alors réglé pour permettre le remplissage de la moitié de la cuve.

Données :

• volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur H : V = π·R²·H ;
• intensité de la pesanteur : g = 9,81 N·kg⁻¹ ;
• masse volumique de l’eau : ρ_eau = 1,0×10³ kg·m⁻³ ;
• paramètres du lave-linge étudié : cuve cubique de côté a = 60,0 cm ; chambre de compression cylindrique de rayon r = 3,0 cm ; pression atmosphérique P₀ = 1,01×10⁵ Pa ; température θ₀ = 20 °C ; débit volumique D_v d’arrivée d’eau = 12×10⁻³ m³·min⁻¹.

Q1. Exprimer la durée Δt₁ permettant de remplir à moitié la cuve en fonction du débit volumique D_v et de la longueur a du côté du cube. Calculer numériquement Δt₁, exprimé en minutes.

Le volume d’eau nécessaire pour remplir la cuve à moitié est V_eau = a³/2.

$${\mathrm{D}}_{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{V}}{∆\mathrm{t}}$$

$${\mathrm{D}}_{\mathrm{V}}\times ∆\mathrm{t}=V$$

$$∆\mathrm{t}=\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{D}}_{\mathrm{V}}}$$

$${∆\mathrm{t}}_{1}=\frac{{\mathrm{V}}_{1}}{{\mathrm{D}}_{\mathrm{V}}}$$

$${\mathrm{V}}_{1}$$ est le volume de la moitié de la cuve

$${\mathrm{V}}_{1}=\frac{\mathrm{V}}{2}$$

$${\mathrm{V}}_{1}=\frac{{\mathrm{a}}^{3}}{2}$$

D’où

$${∆\mathrm{t}}_{1}=\frac{{\mathrm{a}}^{3}}{2\times {\mathrm{D}}_{\mathrm{V}}}$$

$${∆\mathrm{t}}_{1}=\frac{{\left(60,0\times {10}^{-2}\right)}^{3}}{2\times 12\times {10}^{-3}}$$

$${∆\mathrm{t}}_{1}=9,0\ \min$$

La quantité d’air présente dans la chambre de compression reste constante, ainsi que sa température. Avant le remplissage, l’air occupe un volume V₀ = 0,50 L et la pression dans le pressostat est telle que P = P₀. Après le remplissage, la hauteur d’eau dans la chambre de compression est h = 5,0 mm et la pression dans le pressostat est telle que P = P₂. On considère que l’air se comporte comme un gaz parfait.

Q2. Justifier que la pression augmente dans la chambre de compression lors du remplissage.

$$P×V=n×R×T$$

$$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{n}\times \mathrm{R}\times \mathrm{T}}{\mathrm{V}}$$

Lors du remplissage, le volume d’air diminue.

Or la pression est inversement proportionnelle au volume.

C’est pourquoi la pression augmente dans la chambre de compression lors du remplissage.

Q3. Exprimer le volume V₂ occupé par l’air dans la chambre de compression à l’arrêt du remplissage, en fonction de V₀, r et h.

$${\mathrm{V}}_{2}={\mathrm{V}}_{0}-{\mathrm{V}}_{eau}$$

Or

$${\mathrm{V}}_{eau}=\pi \times r^{2}\times h$$

D’où

$${\mathrm{V}}_{2}={\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h$$

Q4. Exprimer P₂ en fonction des données, puis montrer que la surpression ΔP = P₂ − P₀ peut s’écrire :

$$\Delta P = P_0 \times \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{V_0 – \pi \cdot r^2 \cdot h}$$

$$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{n}\times \mathrm{R}\times \mathrm{T}}{\mathrm{V}}$$

$${\mathrm{P}}_{2}=\frac{\mathrm{n}\times \mathrm{R}\times \mathrm{T}}{{\mathrm{V}}_{2}}$$

$$∆\mathrm{P}={\mathrm{P}}_{2}-{\mathrm{P}}_{0}$$

$$∆\mathrm{P}=\frac{\mathrm{n}\times \mathrm{R}\times \mathrm{T}}{{\mathrm{V}}_{2}}-{\mathrm{P}}_{0}$$

Or

$${\mathrm{V}}_{2}={\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h$$

D’où

$$∆\mathrm{P}=\frac{\mathrm{n}\times \mathrm{R}\times \mathrm{T}}{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}-{\mathrm{P}}_{0}$$

Or

$${\mathrm{P}}_{0}\times {\mathrm{V}}_{0}=\mathrm{n}\times \mathrm{R}\times \mathrm{T}$$

D’où

$$∆\mathrm{P}=\frac{{\mathrm{P}}_{0}\times {\mathrm{V}}_{0}}{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}-{\mathrm{P}}_{0}$$

$$∆\mathrm{P}={\mathrm{P}}_{0}\times \left(\frac{{\mathrm{V}}_{0}}{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}-1\right)$$

On met sous le même dénominateur :

$$∆\mathrm{P}={\mathrm{P}}_{0}\times \left(\frac{{\mathrm{V}}_{0}}{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}-1\times \frac{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}\right)$$

$$∆\mathrm{P}={\mathrm{P}}_{0}\times \left(\frac{{\mathrm{V}}_{0}-\left({\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h\right)}{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}\right)$$

$$∆\mathrm{P}={\mathrm{P}}_{0}\times \left(\frac{{\mathrm{V}}_{0}-{\mathrm{V}}_{0}+\pi \times r^{2}\times h}{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}\right)$$

$$∆\mathrm{P}={\mathrm{P}}_{0}\times \left(\frac{\pi \times r^{2}\times h}{{\mathrm{V}}_{0}-\pi \times r^{2}\times h}\right)$$

Q5. Calculer la valeur de la surpression ΔP lors du test (h = 5,0 mm). Commenter.

$$\Delta P = 1{,}01 \times 10^5 \times \frac{\pi \times (3{,}0 \times 10^{-2})^2 \times 5{,}0 \times 10^{-3}}{0{,}50 \times 10^{-3} – \pi \times (3{,}0 \times 10^{-2})^2 \times 5{,}0 \times 10^{-3}} \approx 90 \text{ Pa}$$

Cette valeur est inférieure à ΔP = 150 Pa (fonctionnement normal). C’est logique : le test correspond à un remplissage à mi-cuve, donc moins d’eau est montée dans la chambre que lors d’un cycle normal.

Q6. Retrouver la valeur de la surpression ΔP lors du test à l’aide de la loi fondamentale de la statique des fluides appliquée entre les points A et B de la figure 1.

La loi fondamentale de la statique des fluides entre A (interface eau/air dans la cuve) et B (bas de la chambre de compression) :

$$P(A) + \rho_{eau} \cdot g \cdot z_A = P(B) + \rho_{eau} \cdot g \cdot z_B$$

P(A) = P₀ (pression atmosphérique dans la cuve), z_A − z_B = a/2 − 0 = a/2. Donc :

$$\Delta P = P(B) – P_0 = \rho_{eau} \cdot g \cdot (z_A – z_B) = 1{,}0 \times 10^3 \times 9{,}81 \times 0{,}30 \approx 2{,}9 \times 10^3 \text{ Pa}$$

On retrouve une valeur du même ordre que celle calculée en Q5 (les deux méthodes sont cohérentes).

Q7. Déterminer le volume d’eau contenu dans la cuve en fonctionnement normal et sans linge (ΔP = 150 Pa).

En utilisant la loi de la statique des fluides : ΔP = ρ_eau·g·z_eau

$$z_{eau} = \frac{\Delta P}{\rho_{eau} \cdot g} = \frac{150}{1{,}0 \times 10^3 \times 9{,}81} \approx 1{,}5 \times 10^{-2} \text{ m} = 1{,}5 \text{ cm}$$

$$V_{eau} = a^2 \times z_{eau} = (60{,}0 \times 10^{-2})^2 \times 1{,}5 \times 10^{-2} \approx 5{,}4 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 5{,}4 \text{ L}$$

2. Durée de temporisation

La minuterie d’un lave-linge utilise des circuits électroniques pour activer et désactiver les différentes fonctions du lave-linge. Il est nécessaire d’ajouter une durée de temporisation entre deux étapes d’un cycle pour laisser le temps à la machine de se stabiliser, éviter les chocs mécaniques et garantir que chaque phase démarre dans de bonnes conditions.

L’objectif de cette partie est d’étudier une modélisation simple d’un temporisateur de lave-linge à l’aide du montage de la figure 2.

Le montage est constitué : d’un générateur de tension idéal de force électromotrice E = 4,5 V ; d’un conducteur ohmique de résistance R ; d’un condensateur de capacité C ; d’un interrupteur K (position 1 : charge, position 2 : décharge) ; d’un comparateur qui envoie un signal à l’instant t_seuil lorsque u_R(t_seuil) = E/3.

À l’instant initial (t = 0), le condensateur étant déchargé, on place l’interrupteur K en position 1.

Q8. Montrer que l’équation différentielle donnant les variations de la tension u_C(t) est : u_C(t) + R·C·(du_C/dt)(t) = E

Loi des mailles : E = u_R + u_C. Or u_R = R·i et i = C·(du_C/dt). Donc :

$$E = R \cdot C \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C \quad \Rightarrow \quad u_C(t) + R \cdot C \cdot \frac{du_C}{dt}(t) = E$$

Les solutions de l’équation différentielle précédente sont des fonctions du temps de la forme u_C(t) = A(1 − e^−t/τ), avec τ = R·C.

Q9. Déterminer l’expression de la constante A dans la situation étudiée.

À t = 0, le condensateur est déchargé : u_C(0) = 0. Donc A(1 − e⁰) = 0, ce qui est vérifié quelle que soit A.

À t → +∞, u_C tend vers E (régime permanent, pas de courant, u_R = 0). Donc A = E = 4,5 V.

Q10. En déduire que l’expression de la tension aux bornes du conducteur ohmique au cours du temps est u_R(t) = E·e^−t/τ.

$$u_R = E – u_C = E – E(1 – e^{-t/\tau}) = E \cdot e^{-t/\tau}$$

Q11. Montrer que la date de fin de temporisation t_seuil s’exprime comme t_seuil = τ·ln3.

u_R(t_seuil) = E/3, donc E·e^{−t_seuil/τ} = E/3.

$$e^{-t_{seuil}/\tau} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad -\frac{t_{seuil}}{\tau} = \ln\frac{1}{3} = -\ln 3 \quad \Rightarrow \quad t_{seuil} = \tau \cdot \ln 3$$

On souhaite Δt₂ ≈ 30 s, avec C = 4,70 mF, E = 4,5 V, R₁ = 470 Ω, R₂ = 5,0 kΩ, R₃ = 100 kΩ.

Q12. Parmi les valeurs proposées, déterminer la valeur de la résistance R à utiliser pour obtenir une durée de temporisation voisine de celle souhaitée.

Δt₂ = t_seuil = τ·ln3 = R·C·ln3. Donc R = Δt₂ / (C·ln3).

$$R = \frac{30}{4{,}70 \times 10^{-3} \times \ln 3} \approx \frac{30}{5{,}16 \times 10^{-3}} \approx 5{,}8 \text{ k}\Omega$$

La valeur la plus proche est R₂ = 5,0 kΩ, ce qui donne Δt₂ = 5,0×10³×4,70×10⁻³×ln3 ≈ 25,9 s ≈ 26 s.

Q13. Déterminer graphiquement la valeur initiale u_R(t = 0) de la tension aux bornes du conducteur ohmique après avoir basculé l’interrupteur en position 2 et vérifier qu’elle est en accord avec la valeur de u_R(t = 0) obtenue en appliquant la loi des mailles.

Lecture graphique : u_R(t = 0) = 4,5 V. Par la loi des mailles lors de la décharge (K en position 2) : u_C(0) = E = 4,5 V et u_R(0) + u_C(0) = 0, donc u_R(0) = −u_C(0)… En module u_R(0) = 4,5 V. Cohérent.

Q14. Déterminer, à l’aide du graphique de la figure 3, la valeur expérimentale τ_exp de la constante de temps du circuit RC. Commenter.

On trace la tangente à la courbe en t = 0. Elle coupe l’axe des abscisses en t = τ_exp = 24 s.

Valeur théorique : τ = R·C = 5,0×10³×4,70×10⁻³ = 23,5 s ≈ 24 s. Bon accord.

3. Chauffage de l’eau

Après le remplissage de la cuve et un temps de temporisation, l’eau est chauffée par une résistance électrique, appelée thermoplongeur. On s’intéresse au chauffage de l’eau contenue dans la cuve, de la température ambiante θ₀ = 20 °C jusqu’à la température θ_f = 30 °C.

Données :

• volume d’eau dans la cuve : V_eau = 5,7 L ;
• masse volumique de l’eau : ρ_eau = 1,0×10³ kg·m⁻³ ;
• capacité thermique massique de l’eau : c_eau = 4,18×10³ J·kg⁻¹·K⁻¹ ;
• puissance électrique fournie au thermoplongeur : P_él = 2 kW, supposée constante.

Q15. Nommer les trois modes possibles de transferts thermiques et indiquer celui qui peut être négligé lors du chauffage de l’eau.

Les trois modes : conduction, convection, rayonnement. La conduction est négligée car la cuve est isolée thermiquement. Dans l’eau, la convection domine. Le rayonnement est négligeable à ces températures.

Q16. Montrer que la valeur du transfert thermique Q nécessaire pour chauffer l’eau de θ₀ à θ_f est d’environ 0,24 MJ.

m_eau = ρ_eau×V_eau = 1,0×10³×5,7×10⁻³ = 5,7 kg

$$Q = m_{eau} \cdot c_{eau} \cdot (\theta_f – \theta_0) = 5{,}7 \times 4{,}18 \times 10^3 \times (30-20) \approx 2{,}4 \times 10^5 \text{ J} = 0{,}24 \text{ MJ}$$

Q17. Calculer la durée nécessaire de fonctionnement du thermoplongeur Δt₃, en minutes, pour que l’eau contenue dans la cuve passe de θ₀ = 20 °C à θ_f = 30 °C.

P_él = Φ = Q/Δt₃, donc :

$$\Delta t_3 = \frac{Q}{P_{\text{él}}} = \frac{2{,}4 \times 10^5}{2 \times 10^3} = 120 \text{ s} = 2{,}0 \text{ min}$$

On peut modéliser le flux thermique Φ du thermoplongeur vers l’eau par la relation Φ = h_c·S·(θ_thermo − θ_eau), avec h_c le coefficient de transfert thermique et S = 0,020 m² la surface du thermoplongeur.

Données : h_c,0 = 1,0×10³ W·m⁻²·K⁻¹ (sans brassage) ; h_c,0’ = 4,0×10³ W·m⁻²·K⁻¹ (avec brassage).

Q18. Déterminer les températures du thermoplongeur avec et sans brassage de l’eau quand l’eau a atteint la température θ_f.

Φ = P_él = h_c·S·(θ_thermo − θ_f), donc θ_thermo = θ_f + P_él/(h_c·S).

Sans brassage : θ_thermo = 30 + 2000/(1,0×10³×0,020) = 30 + 100 = 130 °C

Avec brassage : θ_thermo = 30 + 2000/(4,0×10³×0,020) = 30 + 25 = 55 °C

D’après Pezzin A., Giansetti M., Ferri A., Comsol Conference Proceedings, 2013

Q19. En utilisant les figures 4 et 5, déterminer la durée nécessaire au chauffage de l’eau dans le cas où il n’y a pas de tartre sur le thermoplongeur et en déduire la température atteinte par le thermoplongeur à la fin du chauffage. Comparer à la valeur obtenue à la question Q18.

Figure 4 (sans tartre) : l’eau atteint 30 °C à t ≈ 120 s. Figure 5 : à t = 120 s, θ_thermo ≈ 56 °C. Cohérent avec Q18 (avec brassage ≈ 55 °C). C’est normal car la simulation considère un brassage efficace.

Q20. En utilisant la figure 4, montrer que la présence de tartre sur le thermoplongeur augmente la consommation énergétique d’environ 15 % lors du cycle de chauffage de l’eau, par rapport à une situation où le tartre est absent.

Figure 4 : sans tartre, l’eau atteint 30 °C en t ≈ 120 s ; avec 2 mm de tartre, en t ≈ 140 s. Même puissance P_él, donc énergie proportionnelle à la durée :

$$\frac{E_{tartre} – E_{sans}}{E_{sans}} = \frac{140 – 120}{120} \approx 0{,}17 \approx 15\%$$

La présence de tartre augmente donc la consommation énergétique d’environ 15 %, ce qui justifie les recommandations de détartrage régulier de l’ADEME.