Enseignement scientifique première partie mathématique
Durée 0h48 – 12 points
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Les trois parties de l’exercice sont indépendantes.
L’entreprise TradiPeint fabrique et commercialise des peintures.
Partie A : Les cadres et les actionnaires dans l’entreprise TradiPeint
Parmi les personnes travaillant dans l’entreprise TradiPeint, certaines occupent un emploi de cadre, certaines sont actionnaires de cette entreprise.
Le tableau ci-dessous donne la répartition des 280 personnes travaillant dans l’entreprise TradiPeint parmi les cadres et les actionnaires.
| Cadres | Non cadres | Total | |
| Actionnaires | 48 | 72 | 120 |
| Non actionnaires | 15 | 145 | 160 |
| Total | 63 | 217 | 280 |
1- Les fréquences demandées seront exprimées en pourcentage et arrondies à 0,1 % si besoin.
1-a- Calculer la fréquence des cadres parmi les personnes travaillant dans l’entreprise TradiPeint.
1-b- Calculer la fréquence des actionnaires de l’entreprise TradiPeint parmi les cadres de cette entreprise.
2- On choisit au hasard une personne parmi les 280 qui travaillent dans l’entreprise TradiPeint. On note :
- A l’événement : « la personne choisie est actionnaire de l’entreprise TradiPeint » ;
- C l’événement : « la personne choisie occupe un emploi de cadre dans l’entreprise TradiPeint ».
Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.
2-a- Calculer la probabilité 𝑝 de l’événement : « la personne choisie est actionnaire de l’entreprise TradiPeint et occupe un emploi de cadre dans cette entreprise ».
2-b- Calculer PA(C).
Partie B : La prime de fin d’année
Tous les salariés de l’entreprise TradiPeint reçoivent en fin d’année une prime.
En 2010, cette prime s’élevait à 500 euros et depuis, elle a été augmentée de 5 % chaque année.
3- Calculer le montant de la prime perçue par un salarié en 2011 puis en 2012.
4- On choisit de modéliser le montant de la prime perçue par un salarié par une suite (𝑢𝑛) où 𝑢𝑛 désigne le montant de la prime perçue par un salarié au cours de l’année 2010 + 𝑛, avec 𝑛 entier naturel. Ainsi 𝑢0 = 500.
4-a- Montrer que la suite (𝑢𝑛) est une suite géométrique. Préciser sa raison.
4-b- Calculer le montant de la prime perçue par un salarié en 2022.
Partie C : L’étude d’un bénéfice
Des études ont été réalisées au sein des différents secteurs de l’entreprise TradiPeint avant le lancement d’une nouvelle gamme de peintures nommée « Green Renovation ».
La capacité maximale de production de cette gamme de peintures s’élève à 40 000 litres par mois.
On choisit de modéliser le résultat mensuel, exprimé en centaines d’euros, pour la fabrication et la vente de 𝑥 milliers de litres de peinture de la gamme « Green Renovation » par la fonction 𝐵 définie sur l’intervalle [0 ; 40] par
𝐵(𝑥) = −2𝑥2 + 100𝑥 − 400.
On rappelle que l’on parle de bénéfice lorsque le résultat est positif.
5- 𝐵 est dérivable sur l’intervalle [0 ; 40] ; on désigne par 𝐵′ la fonction dérivée. Calculer 𝐵′(𝑥) pour tout nombre réel 𝑥 de l’intervalle [0 ; 40].
6- Dresser le tableau des variations de la fonction 𝐵 sur l’intervalle [0 ; 40].
7- En déduire le nombre de litres de peinture de la gamme « Green Renovation » que l’entreprise devra produire et vendre par mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quelle est la valeur, en euro, de ce bénéfice maximal ?