Bac Centres Étrangers 2026 Sujet 1
Exercice 1 – (11 points) – Durée 1h45 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ1G11
Sujet et corrigé
EXERCICE 1 – ÉTUDE D’UNE HARPE ÉLECTRIQUE AU SERVICE DES ABEILLES DOMESTIQUES (11 points)
Depuis quelques années, les apiculteurs sont confrontés à l’invasion de frelons asiatiques, qui s’attaquent aux abeilles de leur rucher. Pour s’en protéger, ils peuvent placer à proximité de la ruche une harpe électrique (figure 1) alimentée par un panneau solaire. Au contact de deux fils de la harpe, le frelon s’électrocute puis se noie dans un bac d’eau disposé en dessous de la harpe.
Cet exercice étudie la taille du fil en inox présent sur la harpe, le système d’alimentation de la harpe et le module électrique permettant de créer les décharges électriques neutralisant les frelons asiatiques.
1. Taille du fil en inox présent sur la harpe
La harpe électrique est composée de fils en inox verticaux espacés de 2,7 cm, largeur suffisante pour laisser passer les abeilles, mais pas les frelons asiatiques. Néanmoins, pour ne pas être vus par les frelons, les fils doivent avoir un diamètre maximum de l’ordre de grandeur de 0,5 mm.
Pour s’assurer de la valeur du diamètre d’un fil affichée à 0,45 mm sur une bobine pressentie pour fabriquer une harpe électrique, on utilise le dispositif schématisé sur la figure 2. Un fil de diamètre a est positionné sur le trajet d’un faisceau laser de longueur d’onde λ et un écran est placé à une distance D du fil. Une série de taches lumineuses apparaît sur l’écran.
La largeur L de la tache lumineuse centrale est directement mesurée sur l’écran. Les extrémités de cette tache centrale sont repérées par un angle θ défini par rapport à la direction du faisceau incident et celle du faisceau émergent.
Données :
Pour des angles θ très petits (exprimés en radians) :
- tan θ = θ ;
- l’angle θ dépend de la longueur d’onde λ du laser et du diamètre a du fil : θ = λ/a.
Q1. Nommer le phénomène physique observé sur l’écran.
Le phénomène physique observé est la diffraction.
Q2. Exprimer l’angle caractéristique θ en fonction de la largeur L de la tache centrale et de la distance D, à l’aide de la figure 2 et en utilisant l’approximation des petits angles.
Lorsque θ est petit, on considère que tan(θ) ≈ θ :
$$\tan(\theta) = \frac{d}{2D}$$
$$\theta = \frac{d}{2D}$$
Q3. En déduire la relation qui donne la largeur L de la tache centrale en fonction de la longueur d’onde λ, du diamètre a du fil et de la distance D entre le fil et l’écran. Montrer qu’il y a proportionnalité entre L et 1/a.
$$\theta = \frac{\lambda}{a}$$
$$\theta = \frac{L}{2D}$$
$$\frac{L}{2D} = \frac{\lambda}{a}$$
$$L = \frac{2\lambda D}{a}$$
$$L = 2\lambda D \times \frac{1}{a}$$
$$L = k \times \frac{1}{a}$$
Ainsi, il y a proportionnalité entre L et 1/a avec k = 2λD.
Pour déterminer précisément la valeur du diamètre du fil pressenti pour fabriquer la harpe, on réalise un étalonnage à l’aide de six fils calibrés de diamètre connu. Pour chacun d’eux, on mesure la largeur de la tache centrale L observée sur l’écran. On obtient le tableau de mesures suivant :
| a (µm) | 40 | 50 | 100 | 120 | 280 | 400 |
| L (cm) | 9,50 | 7,40 | 3,95 | 3,20 | 1,35 | 1,00 |
On trace le graphe L = f(1/a) :
Q4. Justifier que les résultats expérimentaux de la figure 3 sont compatibles avec la modélisation L = k × 1/a où k est une constante.
Le graphique montre une droite passant par l’origine : L est proportionnel à 1/a
$$L = k \times \frac{1}{a}$$
Q5. Déterminer la valeur de k en précisant la méthode utilisée.
$$k = \frac{y_{B} – y_{A}}{x_{B} – x_{A}}$$
$$k = \frac{9 \times 10^{-2} – 0}{24 \times 10^{3} – 0}$$
$$k = 3,8 \times 10^{-6}\ m^{2}$$
Une modélisation de la série de mesures permet d’obtenir k = 3,85 × 10−6 m² et u(k) = 0,05 × 10−6 m².
Le montage expérimental de la figure 2 est utilisé avec le fil dont on cherche à vérifier le diamètre a. La mesure de la largeur de la tache centrale pour ce fil est L = 8,0 mm avec une incertitude-type u(L) = 0,5 mm.
Q6. Calculer la valeur du diamètre a de ce fil à partir de la modélisation.
$$L = 3,85 \times 10^{-6} \times \frac{1}{a}$$
$$a = 3,85 \times 10^{-6} \times \frac{1}{L}$$
$$a = 3,85 \times 10^{-6} \times \frac{1}{8,0 \times 10^{-3}}$$
$$a = 4,8 \times 10^{-4}\ m$$
L’incertitude-type u(a) sur la valeur a du diamètre expérimental du fil est donnée, dans les conditions de la série de mesures, par la relation suivante : $u(a) = a \times \sqrt{(u(k)/k)^2+(u(L)/L)^2}$.
Pour décider de la compatibilité du résultat d’une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient |x−xref|/u(x) où x est la valeur mesurée, xref la valeur de référence et u(x) l’incertitude-type associée à la valeur mesurée x.
Q7. Calculer la valeur de l’incertitude-type u(a) associée à la valeur expérimentale de a.
$$u(a) = a \times \sqrt{\left(\frac{u(k)}{k}\right)^{2} + \left(\frac{u(L)}{L}\right)^{2}}$$
$$u(a) = 4,8 \times 10^{-4} \times \sqrt{\left(\frac{0,05 \times 10^{-6}}{3,85 \times 10^{-6}}\right)^{2} + \left(\frac{0,5}{8,0}\right)^{2}}$$
$$u(a) = 3 \times 10^{-5}\ m$$
Q8. Vérifier que le résultat de la mesure est compatible avec la valeur de référence affichée sur la bobine (aref = 0,45 mm). Conclure quant à l’usage ou non de ce fil pour construire une harpe électrique.
$$z = \left|\frac{a – a_{ref}}{u(a)}\right|$$
$$z = \left|\frac{4,8 \times 10^{-4} – 0,45 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-5}}\right|$$
$$z = 1$$
z < 2 : le résultat de la mesure est compatible avec la valeur de référence affichée sur la bobine.
Ainsi, ce fil peut être utilisé pour construire une harpe électrique.
2. Alimentation électrique de la harpe : le panneau solaire
Associé à une batterie, un panneau solaire photovoltaïque alimente électriquement la harpe. Le panneau solaire est constitué de cellules photovoltaïques qui convertissent l’énergie lumineuse en énergie électrique. On se propose de vérifier les performances du panneau photovoltaïque alimentant la harpe et la batterie.
Données :
- Panneau solaire photovoltaïque :
- dimensions : 640 mm x 550 mm ;
- puissance lumineuse reçue : Plum = E × S avec E l’éclairement en W·m−2 et S la surface utile du convertisseur en m² ;
- rendement annoncé : 14 %.
- Éclairement moyen au cours de l’été (période d’invasion du frelon asiatique) sur le rucher où est placée la harpe : E = 1 000 W·m−2 ;
- Capacité de la batterie : Qbatterie = 18,0 A·h.
- Relation entre la capacité (ou quantité d’électricité transférée) Q (en A·h) et la durée de transfert Δt (en h), pour une intensité électrique I (en A) : Q = I × Δt .
Afin de vérifier le rendement du panneau photovoltaïque, on réalise le montage électrique suivant :
L’intensité I du courant électrique ainsi que la tension électrique U aux bornes du panneau sont mesurées.
Q9. Nommer le phénomène qui intervient dans la conversion d’énergie lumineuse en énergie électrique lors du fonctionnement du panneau photovoltaïque et le décrire en une ou deux phrases.
Le phénomène mis en jeu est l’effet photovoltaïque. Les photons de la lumière incidente sont absorbés par le semi-conducteur de la cellule photovoltaïque, permettant à des électrons de franchir la bande Egap : ils passent de la bande de valence à la bande de conduction. Ce passage est à l’origine du courant électrique produit par le panneau solaire.
Dans les conditions d’éclairement du panneau photovoltaïque l’été, la puissance électrique maximale fournie et mesurée est Pm = 50 W.
Q10. Calculer la valeur du rendement η du panneau photovoltaïque. Commenter.
$$\eta = \frac{P_{electrique\ fournie}}{P_{lumineuse\ recue}}$$
$$\eta = \frac{P_{m}}{P_{lum}}$$
Or
$$P_{lum} = E \times S$$
$$\eta = \frac{P_{m}}{E \times S}$$
Or
$$S = l \times L$$
$$\eta = \frac{P_{m}}{E \times l \times L}$$
$$\eta = \frac{50}{1000 \times 640 \times 10^{-3} \times 550 \times 10^{-3}}$$
$$\eta = 0,14$$
$$\eta = 14\%$$
Le rendement est conforme au rendement annoncé de 14 %.
L’énergie électrique produite par le panneau photovoltaïque est envoyée vers un régulateur solaire qui la répartit vers la harpe et/ou vers la batterie pour la charger. Cette dernière alimente la harpe en l’absence de lumière ou d’un ensoleillement insuffisant. L’intensité électrique fournie par le panneau photovoltaïque est I = 2,8 A dans les conditions d’ensoleillement de la harpe.
Q11. Estimer la valeur de la durée de charge Δtcharge de la batterie si toute l’intensité du courant électrique provenant du panneau photovoltaïque est intégralement fournie à la batterie. Commenter la valeur obtenue.
$$Q = I \times \Delta t$$
$$\Delta t = \frac{Q}{I}$$
$$\Delta t_{charge} = \frac{18,0}{2,8}$$
$$\Delta t_{charge} = 6,4\ h = 6\ h\ 25\ min$$
Cette durée est inférieure au temps d’ensoleillement. Ainsi, le panneau photovoltaïque peut recharger complètement la batterie.
3. Module électronique
Le module électronique de la harpe contient un condensateur. Celui-ci est chargé sous une tension U1 = 1 500 V. Lorsqu’un frelon s’approche et touche deux fils de la harpe, le condensateur délivre en un bref instant l’énergie accumulée : il se décharge dans le frelon asiatique considéré alors comme un conducteur ohmique de résistance r.
On cherche à retrouver la valeur de la capacité C du condensateur dans le but de déterminer ensuite l’énergie libérée vers le frelon lors de la décharge. Pour cela, au laboratoire, à l’aide d’un système d’acquisition, on réalise le montage schématisé figure 5, constitué du condensateur étudié, d’un conducteur ohmique de résistance R = 2,00 kΩ, d’un interrupteur initialement ouvert et d’un générateur idéal délivrant une tension continue E = 5,0 V.
On étudie la charge du condensateur (initialement déchargé) de capacité C à partir de la date t = 0 s, date à laquelle l’interrupteur est fermé. Le système d’acquisition fournit alors l’évolution temporelle de la tension uC(t) aux bornes du condensateur présentée en figure 6.
Q12. Montrer que l’équation différentielle modélisant l’évolution de la tension uC(t) aux bornes du condensateur lors de sa charge peut s’écrire : duC/dt + (1/τ)uC = E/τ où τ est le temps caractéristique, avec τ = R·C
D’après la loi d’additivité des tensions ou loi des mailles :
$$U_{C}(t) + U_{R}(t) = E$$
Or UR(t) = R × i
$$U_{C}(t) + R \times i = E$$
Or i(t) = dq(t)/dt
$$U_{C}(t) + R \times \frac{dq(t)}{dt} = E$$
Or q(t) = C × UC(t)
$$U_{C}(t) + R \times \frac{dC \times U_{C}(t)}{dt} = E$$
$$U_{C}(t) + RC\frac{dU_{C}(t)}{dt} = E$$
On divise par RC :
$$\frac{U_{C}(t)}{RC} + \frac{dU_{C}(t)}{dt} = \frac{E}{RC}$$
$$\frac{dU_{C}(t)}{dt} + \frac{1}{RC} \times U_{C}(t) = \frac{E}{RC}$$
Avec τ = RC :
$$\frac{dU_{C}(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} \times U_{C}(t) = \frac{E}{\tau}$$
La solution de l’équation différentielle est de la forme uC(t) = A·e−t/τ + E
Q13. Déterminer la valeur de A.
$$U_{C}(t) = A \times e^{-\frac{t}{\tau}} + E$$
Initialement le condensateur est déchargé : UC(t=0) = 0 V
D’après la solution de l’équation différentielle :
$$U_{C}(t=0) = A \times e^{-\frac{0}{\tau}} + E$$
$$U_{C}(t=0) = A + E$$
Donc A + E = 0
D’ou
$$A = -E$$
Ainsi :
$$U_{C}(t) = -E \times e^{-\frac{t}{\tau}} + E$$
Q14. Déterminer la valeur de la constante de temps τ en expliquant la méthode graphique employée.
τ peut être déterminée graphiquement par deux méthodes :
- uC(τ) = −E×e−τ/τ+E = −E×e−1+E = 0,63E
- On trace la tangente à la courbe à t=0 et on regarde l’abscisse du point d’intersection entre cette tangente et l’asymptote uC = E pour la charge.
$$u_{C}(\tau) = 0,63E = 0,63 \times 5,0 = 3,2\ V$$
$$\tau = 50\ \mu s$$
Q15. En déduire la valeur expérimentale de la capacité C du condensateur.
$$\tau = RC$$
$$C = \frac{\tau}{R}$$
$$C = \frac{50 \times 10^{-6}}{2,00 \times 10^{3}}$$
$$C = 2,5 \times 10^{-8}\ F$$
L’énergie emmagasinée Econd dans un condensateur de capacité C, soumis à une tension à ses bornes U vaut :
$$E_{cond} = \frac{1}{2} \times C \times U^{2}$$
Q16. Calculer une valeur de l’énergie libérée par le condensateur lorsqu’un frelon touche la harpe électrique.
$$E_{cond} = \frac{1}{2} \times C \times U^{2}$$
$$E_{cond} = \frac{1}{2} \times 2,5 \times 10^{-8} \times 1500^{2}$$
$$E_{cond} = 2,8 \times 10^{-2}\ J$$
Parfois, la météo ne permet pas la production d’énergie grâce au panneau solaire. Néanmoins, le module électronique de la harpe consomme toujours une énergie de 98,8 J par minute le jour (en l’absence de frelon) et 72,1 J par minute la nuit (du fait de la mise en veille du module électronique).
Durant la saison apicole où les harpes électriques sont utilisées, on estime que la durée moyenne du jour est de 14 h 17 min et celle de la nuit à 9 h 43 min.
Q17. Calculer l’énergie consommée par le module électronique sur une journée. Comparer cette énergie avec celle délivrée par le condensateur pour électrocuter un frelon.
Calculons l’énergie consommée le jour :
14 h 17 min = 857 min
$$E_{jour} = 98,8 \times 857 = 8,47 \times 10^{4}\ J$$
Calculons l’énergie consommée la nuit :
9 h 43 min = 583 min
$$E_{nuit} = 72,1 \times 583 = 4,20 \times 10^{4}\ J$$
Calculons l’énergie totale sur une journée :
$$E_{totale} = 8,47 \times 10^{4} + 4,20 \times 10^{4} = 1,27 \times 10^{5}\ J$$
Comparons avec l’énergie pour électrocuter un frelon :
$$\frac{E_{totale}}{E_{fre}} = \frac{1,27 \times 10^{5}}{2,8 \times 10^{-2}} = 4,5 \times 10^{6}$$
Ainsi, l’énergie consommée par le module électronique en une journée est 4,5 millions de fois plus grande que l’énergie libérée pour électrocuter un frelon. L’énergie d’une décharge est donc négligeable devant la consommation quotidienne du module.
Données concernant la batterie :
- Tension : Ubatterie = 12,0 V ;
- Capacité : Qbatterie = 18,0 A·h ;
- Conversion : 1 A·h équivaut à 3 600 C ;
- Relation entre l’énergie E (en J) emmagasiné dans une batterie, la capacité Q (en C) et la tension U (en V) : E = Q × U.
L’autonomie de la batterie est d’environ 6 jours. On observe que ce dispositif peut piéger au moins 1 000 frelons par jour en période d’invasion.
Q18. Indiquer, en justifiant la réponse, si le nombre de frelons électrocutés influence beaucoup l’autonomie de la batterie.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.
Calculons l’énergie stockée dans la batterie :
$$E_{batterie} = Q \times U$$
$$E_{batterie} = 18,0 \times 3600 \times 12,0 = 7,78 \times 10^{5}\ J$$
Si 1000 frelons sont électrocutés par jour :
$$E_{1000\ frelons} = 1000 \times 2,8 \times 10^{-2} = 28\ J$$
Or la consommation quotidienne du module électronique est :
$$E_{jour} = 1,27 \times 10^{5}\ J$$
$$28\ J \ll 1,27 \times 10^{5}\ J$$
$$E_{1000\ frelons} \ll E_{jour}$$
Ainsi, le nombre de frelons électrocutés influence très peu l’autonomie de la batterie. Avec 1000 frelons électrocutés par jour, l’énergie utilisée pour les décharges est négligeable devant la consommation quotidienne du module électrique. L’autonomie dépend du fonctionnement permanent du module électronique et non des électrocutions des frelons.