Gamme tempérée et gamme de Pythagore

Enseignement scientifique première

Durée 1h – 10 points – Thème « La Terre, un astre singulier »

Il y a eu dans l’histoire de nombreuses constructions de gammes pour ordonner les notes à l’intérieur d’une octave. Cet exercice étudie deux types de gammes à douze notes : la gamme tempérée et la gamme de Pythagore.

L’octave peut être divisée en douze intervalles en formant douze notes de base (Do, Do#, Ré, Mib, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, Sib, Si). La gamme fréquemment utilisée de nos jours est la gamme tempérée, dans laquelle le rapport de fréquences entre deux notes consécutives est constant.

1- Préciser la valeur du rapport des fréquences de deux notes séparées d’une octave.

Le rapport des fréquences de deux notes séparées d’une octave est égal à 2.

2- Expliquer pourquoi la valeur exacte du rapport des fréquences entre deux notes consécutives de la gamme tempérée est 12√2.

Une octave est décomposée en 12 intervalles et la fréquence de deux notes séparées d’une octave est égal à 2  ainsi :

    \[\sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}\times \sqrt[12]{2}=\left(\sqrt[12]{2}\right)^{12}=2 \]

C’est pourquoi la valeur exacte du rapport des fréquences entre deux notes consécutives de la gamme tempérée est 12√2.

3- La fréquence du La3 est égale à 440 Hz. Calculer la valeur, arrondie au dixième, de la fréquence de la note suivante Si3b dans la gamme tempérée.

    \[f(Si_3^b)=f(La_3)\times \sqrt[12]{2}\right \]

    \[f(Si_3^b)=400 \times \sqrt[12]{2}\right \]

    \[f(Si_3^b)=466,2 Hz \]

La valeur, arrondie au dixième, de la fréquence de la note suivante (Si3b) dans la gamme tempérée est égal à 466,2 Hz.

4- Jusqu’au XVIIe siècle, la gamme la plus utilisée était la gamme de Pythagore, obtenue à partir des quintes successives d’une note initiale. Le tableau ci-dessous donne les fréquences des différentes notes de la gamme de Pythagore en partant de 440 Hz.

NoteMi3Fa3Fa3#Sol3Sol3#La3Si3bSi3Do4Do4#4Sol3#
Fréquence (Hz)  330  352,4  371,3  396,4  417,7  440  469,9  495  528,6  556,9  594,7  626,5

4-a- Calculer le rapport des fréquences des notes Si3 et Mi3 et donner le nom d’un tel intervalle.

    \[ \frac{f(Si_3)}{f(Mi_3)}= \frac{495}{330}=\frac{3}{2} \]

Cet intervalle est la quinte.

4-b- On considère la fonction Python freq_suivante ci-dessous qui permet de construire la gamme de Pythagore.

def freq_suivante(f):

f = 3/2*f 

if f >= 660 : 

f = f/2 

return(f) 

Donner les nombres renvoyés après l’exécution de  freq_suivante(330) et de freq_suivante(440).

Préciser les notes correspondantes.

Exécution de  freq_suivante(330):

    \[f=\frac{3}{2}\times 330=495 \]

f=495<660

Après l’exécution de  freq_suivante(330) le nombre renvoyé est 495 Hz.

Note correspondante : Si3

Exécution de  freq_suivante(440):

    \[f=\frac{3}{2}\times 440=660 \]

f=660 est dans la condition ≤660

f=f/2

f=660/2

f=330

Après l’exécution de  freq_suivante(440) le nombre renvoyé est 330 Hz.

Note correspondante : Mi3