Installation sanitaire

Asie 2025 Sujet 1

Exercice 1 – (11 points) – Durée 1h56 – Calculatrice autorisée

Sujet n°25-PYCJ1JA1

Pour réduire sa consommation en énergies fossiles et voir sa facture allégée, un couple, nouvellement propriétaire, souhaite investir dans une installation utilisant l’énergie solaire pour chauffer l’eau de son logement. Pour cela, une restructuration de l’ensemble de l’installation sanitaire de la maison est nécessaire.

Dans la première partie de cet exercice, on s’intéresse aux transferts thermiques permettant le chauffage de l’eau à partir de panneaux solaires thermiques. Puis on étudie l’éventualité de l’installation d’un surpresseur pour une bonne distribution de l’eau chaude.

Partie 1 – Chauffage de l’eau

Pour limiter la consommation d’énergie électrique, les nouveaux propriétaires ont installé un panneau solaire thermique relié à un cumulus. La figure 1 ci-dessous représente un schéma du dispositif complet.

Figure 1 : Schéma du dispositif

D’après https://www.otovo.fr/blog/le-solaire-et-vous/chauffe-eau-solaire

Q1- Identifier le mode de transfert thermique qui intervient :

au niveau du panneau solaire thermique.
entre le fluide caloporteur chaud et l’eau sanitaire du cumulus.
dans le cumulus entre l’eau chaude en bas et l’eau froide en haut.

Le mode de transfert thermique qui intervient :
a) au niveau du panneau solaire thermique : rayonnement.
b) entre le fluide caloporteur chaud et l’eau sanitaire du cumulus : conduction.
c) dans le cumulus entre l’eau chaude en bas et l’eau froide en haut : convection.

Afin de limiter les pertes thermiques, le panneau solaire contient un isolant intercalé entre le fluide caloporteur, chauffé par le Soleil, et la structure basse du panneau (figure 2). Cette couche isolante est composée soit d’une résine de mélamine, soit d’une mousse de polyuréthane rigide.

Figure 2 : Schéma de la structure du panneau solaire

Données :

– Conductivités thermiques l de matériaux, en W·m⁻¹·K⁻¹ :

Résine de mélamine	Mousse de polyuréthane rigide
0,033	0,025

– La résistance thermique de l’isolant a pour expression $R_{\mathrm{th}} = \frac{e}{\lambda \times S}$ où e est l’épaisseur de l’isolant en m, S est sa surface en m² et l est sa conductivité thermique en W·m⁻¹·K⁻¹.

– Le flux thermique à travers l’isolant a pour expression $\Phi = \frac{\Delta \theta}{R_{th}}$ où Δθ est la différence de température entre les parties supérieure et inférieure de l’isolant (figure 2).

Q2- Calculer la valeur de la résistance thermique R_th d’un isolant en résine de mélamine d’épaisseur e = 5,0 cm pour un panneau solaire de surface S = 5,0 m².

$$R_{th} = \frac{e}{\lambda \times S}$$
$$R_{th} = \frac{5,0 \times 10^{-2}}{0,033 \times 5,0}$$
$$R_{th} = 0,30\ K.W^{-1}$$

Q3- Sachant que la structure basse du panneau a une température θ_𝑝= 20 °C et que le fluide caloporteur a une température θ_𝑐= 45 °C, déterminer la valeur du flux thermique 𝛷 traversant l’isolant en résine de mélamine.

$$\phi = \frac{\Delta \theta}{R_{th}}$$
$$\phi = \frac{45 – 20}{0,30}$$
$$\phi = 83\ W$$

Q4- Indiquer, en justifiant, le sens du transfert thermique entre la structure basse du panneau et le fluide caloporteur.

Le transfert thermique se fait du corps chaud vers le corps froid.
Le fluide caloporteur a une température θc = 45 °C.
La structure basse du panneau a une température θp = 20 °C.
Ainsi, le transfert thermique se fait du fluide caloporteur vers la structure basse du panneau.

Q5- Comparer, en justifiant sans calcul, la valeur du flux thermique calculée précédemment et celle du flux thermique qui traverserait le même dispositif pour un isolant en mousse de polyuréthane rigide. Commenter le choix de l’isolant.

$$\phi = \frac{\Delta \theta}{R_{th}}$$
Or
$$R_{th} = \frac{e}{\lambda \times S}$$
Donc :
$$\phi = \Delta \theta \times \frac{\lambda \times S}{e}$$

Le flux thermique est proportionnel à la conductivité thermique.

Or la conductivité thermique en résine de mélamine (0,033 W.m^-1.K^-1) est supérieure à celle en mousse de polyuréthane rigide (0,025W.m^-1.K^-1).

Ainsi la valeur du flux thermique calculée précédemment (avec la résine de mélamine) est supérieure à celle du flux thermique qui traverserait le même dispositif pour un isolant en mousse de polyuréthane rigide.

Le cumulus de volume V = 150 L est le siège d’un transfert thermique Q qui permet de chauffer l’eau stockée. L’eau contenue dans le cumulus est considérée comme un système immobile, incompressible et parfaitement isolé thermiquement.

Données :

Capacité thermique massique de l’eau : c_eau = 4 180 J·kg⁻¹·°C⁻¹
Masse volumique de l’eau : 𝜌_eau = 1,00 kg·L⁻¹
Relation entre puissance thermique Pth (en W), transfert thermique Q (en J) et durée du transfert thermique Δt (en s) : $Q = P_{\mathrm{th}}\times\Delta t$
Expression du rendement r d’un convertisseur : $r = \dfrac{P_{\mathrm{utile}}}{P_{\mathrm{reçue}}}$

Q6- Donner l’expression de la variation d’énergie interne ΔU de l’eau contenue dans le cumulus en fonction de la capacité thermique massique ceau, du volume V, de la masse volumique 𝜌_eau, des températures initiale θ_i et finale θ_f de l’eau.

$$\Delta U = m_{eau} \times c_{eau} \times (\theta_f – \theta_i)$$
Or
$$m_{eau} = \rho_{eau} \times V$$
Donc :
$$\Delta U = \rho_{eau} \times V \times c_{eau} \times (\theta_f – \theta_i)$$

Q7- En déduire l’expression du transfert thermique Q en appliquant le premier principe de la thermodynamique.

Premier principe :
$$\Delta U = Q + W$$
Or
$$W = 0 \Rightarrow Q = \Delta U$$
Donc :
$$Q = \rho_{eau} \times V \times c_{eau} \times (\theta_f – \theta_i)$$

Le panneau solaire thermique de surface S = 5,0 m² reçoit une puissance radiative surfacique p_R = 600 W·m⁻². Le rendement du chauffe-eau solaire installé est de 77 %.

Q8- Calculer la valeur de la puissance thermique P_th fournie par le chauffe-eau solaire.

$$r = \frac{P_{th}}{P_{recue}}$$
Donc
$$P_{th} = r \times P_{recue}$$
Or
$$P_{recue} = p_r \times S$$
Donc :
$$P_{th} = r \times p_r \times S$$
$$P_{th} = \frac{77}{100} \times 600 \times 5,0$$
$$P_{th} = 2,3 \times 10^3\ W$$

Q9- Déterminer la valeur de la durée Δt, en heures, nécessaire pour que l’eau du cumulus passe d’une température initiale θ_i = 10 °C à une température finale θ_f = 50 °C. Commenter.

Pour répondre à cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.

$$P_{th} = \frac{Q}{\Delta t}$$
Donc :
$$\Delta t = \frac{Q}{P_{th}}$$
Or
$$Q = \rho_{eau} \times V \times c_{eau} \times (\theta_f – \theta_i)$$
Donc :
$$\Delta t = \frac{\rho_{eau} \times V \times c_{eau} \times (\theta_f – \theta_i)}{P_{th}}$$

Substitution :
$$\Delta t = \frac{1,00 \times 150 \times 4180 \times (50 – 10)}{2,3 \times 10^3}$$
$$\Delta t = 1,1 \times 10^4\ s$$
Soit environ 3 h, ce qui est cohérent pour chauffer un ballon.

Parte 2 – Surpresseur

Pour obtenir une pression de l’eau confortable aux robinets situés à l’étage, il est parfois conseillé d’utiliser un surpresseur. Ce dispositif est monté à l’entrée de l’installation si la pression de l’eau distribuée est inférieure à 2,0 bar.

Données :

Intensité de la pesanteur : g = 9,81 m·s⁻²
Masse volumique de l’eau : 𝜌_eau = 1,00 x 10³ kg·m⁻³
Conversion : 1,0 bar = 1,0 x 10⁵ Pa
Expression du débit volumique : D = v x S où v est la vitesse d’écoulement de l’eau (en m·s^-1) et S est la section du tube d’écoulement (en m²).
On considère que la relation de Bernoulli peut s’appliquer le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps. Elle s’écrit : $\dfrac{1}{2}\cdot\rho_{eau}\cdot v^2+\rho_{eau}\cdot g\cdot z+P=\text{constante}.$

Le tableau suivant définit z et P et donne les caractéristiques du logement.

Caractéristiques de l’installation sanitaire du logement	Entrée du cumulus	Robinet à l’étage
Altitude z (en m)	0,0	5,0
Section S (en m2)	2,0 x 10⁻⁴	1,1 x 10⁻⁴
Pression P (en Pa)	3,0 x 10⁵	P₂
Vitesse d’écoulement v (en m·s^–¹)	1,0	v₂

L’eau est considérée comme un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps.

Q10- Indiquer, en justifiant, la relation entre les débits volumiques D₁ à l’entrée du cumulus et D₂ au robinet à l’étage.

Le débit se conserve : les débits volumiques D₁ à l’entrée du cumulus et D₂ au robinet à l’étage sont égaux.
D₁ = D₂

Q11- En déduire que la vitesse de l’eau au robinet à l’étage a pour valeur v₂ = 1,8 m·s⁻¹.

$$D_V = S \times v$$
$$S_2 \times v_2 = S_1 \times v_1$$
$$v_2 = \frac{S_1 \times v_1}{S_2}$$
$$v_2 = \frac{2,0 \times 10^{-4} \times 1,0}{1,1 \times 10^{-4}}$$
$$v_2 = 1,8\ m.s^{-1}$$

Q12- Déterminer la valeur de la pression de l’eau P₂ à la sortie du robinet à l’étage en appliquant la relation de Bernoulli.

Relation de Bernoulli :
$$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z = \text{constante}$$
Entre 1 et 2 :
$$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 – v_2^2) + \rho g (z_1 – z_2)$$
Substitution :
$$P_2 = 3,0 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 1,00 \times 10^3 (1,0^2 – 1,8^2) + 1,00 \times 10^3 \times 9,81 (0,0 – 5,0)$$
$$P_2 = 2,5 \times 10^5\ Pa$$

Q13- Indiquer si un surpresseur est nécessaire à l’entrée de l’installation sanitaire du logement nouvellement acheté par le couple.

La pression obtenue :
$$P_2 = 2,5 \times 10^5\ Pa = 2,5\ bar$$

Le suppresseur est monté si la pression est inférieure à 2 bar.
Ici ce n’est pas le cas, donc le suppresseur n’est pas nécessaire.