La physique du jonglage

Métropole 2022 Sujet 1

Exercice A – (5 points) – au choix du candidat – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n° 22-PYCJ1ME1

MOTS-CLÉS : mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, énergie mécanique

L’art du jonglage est la plus ancienne des disciplines de cirque connue ; son origine remonte à l’Égypte ancienne. Le but de cet exercice est d’étudier le mouvement d’une balle lors d’une démonstration filmée.

On étudie, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le mouvement d’une balle de jonglage de masse m et de centre de masse C.

Donnée :

intensité de la pesanteur : g = 9,81 m·s^–2.

La figure 1 est extraite d’une vidéo au cours de laquelle une personne jongle avec plusieurs balles. On suit le mouvement d’une balle.

Dans cette étude :

on note (x ; y) les coordonnées de la position de C dans le repère (O ; x ; y) et (v_x ; v_y) celles de sa vitesse ;
les évolutions temporelles y(t) et vy(t) sont respectivement représentées sur les figures 2a et 2b qui font apparaître alternativement des phases notées ① et ② ;
à la date t = 0 s la balle, située à l’origine du repère, quitte pour la première fois la main du jongleur avec une vitesse initiale $\overrightarrow{v_0}$ ;
lorsque la balle n’est pas en contact avec la main du jongleur, elle est en chute libre. Elle effectue alors un mouvement parabolique en passant d’une main à l’autre, la réception et le lancer se faisant toujours en y = 0 m ;
la référence de l’énergie potentielle de pesanteur est choisie à l’ordonnée y = 0 m.

Q1. Décrire qualitativement, selon l’axe Oy, le mouvement de la balle lors de la phase ① à l’aide des figures 2a et 2b.

Q2. Interpréter la figure 2a pour décrire le rôle de la main sur le mouvement de la balle lors de la phase ②.

Q3. Justifier à l’aide de la deuxième loi de Newton, dans le cadre du modèle de la chute libre, que la valeur de la composante v_x de la vitesse est constante et égale à la vitesse initiale v_0x lorsque la balle n’est plus en contact avec la main du jongleur.

Réponse :

Système {balle}

Référentiel terrestre supposé galiléen

D’après la deuxième loi de newton :

$\sum_{}^{}\overrightarrow{F}_{ext}=m\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}$

$m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$

$\overrightarrow{g} \begin{cases} 0 \\-g \end{cases}$

$\overrightarrow{a} \begin{cases} a_{x}(t)=0 \\a_{y}(t)=-g \end{cases}$

$\overrightarrow{a}=\frac{d \overrightarrow{v}}{dt}$

On intègre le système d’équation précédent :

$\overrightarrow{v} \begin{cases} v_{x}(t)=C_{1} \\v_{y}(t)=-gt+C_{2}\end{cases}$

Pour trouver les constantes, on utilise $\overrightarrow{v_0}$ :

$\overrightarrow{v} \begin{cases} v_{0x}=v_{0}\cos\alpha \\v_{0y}=v_{0}\sin\alpha\end{cases}$

d’ou

$\overrightarrow{v} \begin{cases} v_{x}(t)=v_{0}\cos\alpha \\v_{y}(t)=-gt+v_{0}\sin\alpha\end{cases}$

Ainsi : la valeur de la composante v_x de la vitesse est constante et égale à la vitesse initiale v_0x

Q4. Exprimer l’énergie mécanique initiale Em₀ de la balle en fonction de sa masse m et des composantes v_0x et v_0y de la vitesse initiale dans le référentiel terrestre.

Dans toute la suite de l’exercice, on ne s’intéresse qu’à la phase ①.

Q5. À l’aide d’un raisonnement énergétique appliqué lors de la phase ①, établir que l’expression de l’altitude maximale H atteinte par la balle s’écrit :

$H=\frac{v_{0y}^2}{2g}$

Q6. Déterminer la valeur de H à partir de la relation précédente et d’une lecture graphique de v_0y sur la figure 2b. Comparer le résultat à celui obtenu par lecture graphique de la figure 2a.

Q7. Établir l’expression littérale de la coordonnée vy(t) du vecteur vitesse de la balle lors de la phase .

Q8. Évaluer l’intensité de la pesanteur g à l’aide de la figure 2b lors de la phase ①. Commenter.

Q9. Déterminer l’équation horaire y(t) du mouvement du centre de la balle lors de la phase ①.

Q10. On note t_air la durée pendant laquelle la balle est en l’air lors de la phase ①. Établir l’expression de t_air en fonction de v_0yet de g. En déduire que l’expression du temps de vol dans l’air d’une balle s’écrit :

$t_{air}=\sqrt {\frac{8H}{g}}$

Q11. Calculer la valeur de tair en utilisant la valeur de H obtenue par lecture graphique de la figure 2a. Commenter.