Bac Polynésie 2026 sujet 1
Exercice 3 – ( 6 points) – Durée 1h03– Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ1PO1
Sujet et corrigé
L’astronome Reinhard Genzel, prix Nobel de physique en 2020, et ses collaborateurs ont apporté les preuves de l’existence d’un trou noir au centre de notre galaxie, nommé SgrA* (Sagittarius A*), dont la masse a été évaluée peu après par l’équipe d’Andrea Ghez à environ 4,4 millions de masses solaires.
D’après Sciences et Avenir – octobre 2020
Le but de cet exercice est d’estimer la masse M du trou noir SgrA* afin de confirmer la valeur donnée dans l’article précédent.
La Figure 1 présente la trajectoire elliptique d’une étoile appelée S2 dans le référentiel galiléen dont l’origine est le trou noir SgrA*.
On a reporté, à côté de chaque position de l’étoile S2 la date à laquelle a été effectué le relevé. Ainsi, 2000,6 correspond à l’année 2000, accomplie au 6/10 de sa durée. Les points F₁ et F₂ sont les foyers de l’ellipse, F₁ étant occupé par SgrA*.
D’après la deuxième loi de Kepler, le rayon vecteur qui relie le centre du trou noir SgrA* à l’étoile S2 balaie des aires égales pendant des durées égales.
Q1. Expliquer que la vitesse de l’étoile S2 en 2002 est supérieure à la vitesse de S2 en 1993.
D’après la deuxième loi de Kepler, le rayon vecteur reliant SgrA* (foyer F₁) à l’étoile S2 balaie des aires égales pendant des durées égales.
En 2002, l’étoile S2 est plus proche de F₁ qu’en 1993.
Pour balayer une aire égale pendant une même durée avec un rayon plus petit, l’étoile doit parcourir une distance plus grande : sa vitesse est donc plus grande.
$$d_{2002} > d_{1993}$$
$$\frac{d_{2002}}{\Delta t} > \frac{d_{1993}}{\Delta t}$$
$$v_{2002} > v_{1993}$$
Ainsi, la vitesse de S2 en 2002 est supérieure à sa vitesse en 1993.
Q2. À partir de la Figure 1, montrer que la valeur de la période de révolution T de l’étoile S2 autour de SgrA* est de l’ordre de 19 ans.
D’après la Figure 1, entre 1992,5 et 2002 l’étoile S2 parcourt un demi-tour autour de SgrA* :
$$\frac{T}{2} = 2002 – 1992,5$$
$$\frac{T}{2} = 9,5$$
$$T = 9,5 \times 2 = 19\ ans$$
La valeur de la période de révolution T de l’étoile S2 autour de SgrA* est donc de l’ordre de 19 ans.
On peut montrer que la période de révolution de l’étoile S2 est identique à celle qu’aurait une étoile fictive Sf dont la trajectoire serait circulaire autour de F₁, avec un rayon égal à la moitié du grand axe de l’ellipse parcourue par S2.
On considère que l’étoile fictive Sf est uniquement soumise à la force gravitationnelle de SgrA* et que sa trajectoire est circulaire de rayon r. L’étude est effectuée dans le repère de Frenet (Sf, u⃗t, u⃗n).
On note mf la masse de l’étoile fictive Sf.
Q3. À l’aide de la deuxième loi de Newton appliquée à l’étoile Sf considérée comme ponctuelle, exprimer son vecteur accélération a⃗ en fonction de G, M, r et du vecteur u⃗n.
Système : étoile fictive Sf
Référentiel : galiléen, centré sur SgrA*.
D’après la deuxième loi de Newton :
$$\sum \vec{F}_{ext} = m_f \times \vec{a}$$
$$\vec{F}_{SgrA^*/S_f} = m_f \times \vec{a}$$
$$\frac{G \times M \times m_f}{r^2} \times \vec{u_n} = m_f \times \vec{a}$$
$$\vec{a} = \frac{G \times M}{r^2} \times \vec{u_n}$$
Q4. Recopier la Figure 2 sur votre copie, sans souci d’échelle, et représenter, au point Sf, les vecteurs vitesse v⃗ et accélération a⃗ de l’étoile Sf.
Le vecteur vitesse v⃗ est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement selon u⃗t.
Le vecteur accélération a⃗ est dirigé vers le centre de la trajectoire selon u⃗n.
Q5. En utilisant l’expression du vecteur accélération dans la base de Frenet, montrer alors que dans le cadre de l’approximation d’une trajectoire circulaire, le mouvement de l’étoile Sf est circulaire uniforme.
Pour un mouvement circulaire, dans le repère de Frenet, le vecteur accélération est de la forme :
$$\vec{a} = \frac{v^2}{r}\vec{u_n} + \frac{dv}{dt}\vec{u_t}$$
Le vecteur accélération étant unique, par identification avec le résultat de la Q3 :
$$\frac{dv}{dt} = 0$$
La vitesse est donc constante : le mouvement de l’étoile Sf est circulaire uniforme.
Q6. Montrer également que l’expression de la vitesse v de l’étoile Sf est : $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$
Le vecteur accélération étant unique, par identification avec le résultat de la Q3 :
$$\frac{v^2}{r} = \frac{G \times M}{r^2}$$
$$v^2 = \frac{G \times M}{r}$$
$$v = \sqrt{\frac{G \times M}{r}}$$
Q7. On définit T comme la période de révolution de l’étoile S autour du trou noir SgrA*. Retrouver l’expression de la troisième loi de Kepler :
$$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$
Pour un mouvement circulaire uniforme, la période de révolution est :
$$T = \frac{\text{périmètre du cercle}}{\text{vitesse}} = \frac{2\pi r}{v}$$
$$T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}}$$
$$T = 2\pi r \times \sqrt{\frac{r}{GM}}$$
$$T^2 = 4\pi^2 r^2 \times \frac{r}{GM}$$
$$T^2 = 4\pi^2 \times \frac{r^3}{GM}$$
$$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$
Données
- constante de gravitation universelle : G = 6,67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² ;
- masse du soleil : MS = 1,99×10³⁰ kg ;
- la valeur r du rayon de l’orbite de l’étoile fictive Sf : r = 1,74×10¹¹ km ;
- la valeur de la période de révolution T de l’étoile S2 autour de SgrA* est égale à 19 ans.
Q8. Déterminer la valeur de la masse M du trou noir SgrA*. Comparer le résultat à la valeur annoncée dans l’article de Sciences et Avenir cité en préambule. Commenter.
$$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$
$$T^2 \times GM = 4\pi^2 \times r^3$$
$$M = \frac{4\pi^2 \times r^3}{G \times T^2}$$
$$M = \frac{4\pi^2 \times (1,74 \times 10^{11} \times 10^3)^3}{6,67 \times 10^{-11} \times (19 \times 365,25 \times 24 \times 3600)^2}$$
$$M = 8,67 \times 10^{36}\ kg$$
Comparaison à la masse du Soleil :
$$\frac{M}{M_S} = \frac{8,67 \times 10^{36}}{1,99 \times 10^{30}}$$
$$\frac{M}{M_S} = 4,36 \times 10^6$$
La masse du trou noir SgrA* est donc estimée à environ 4,36 millions de masses solaires, une valeur proche de celle annoncée dans l’article (4,4 millions de masses solaires).