Bac Polynésie 2026 sujet 1
Exercice 2 – ( 5 points) – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ1PO1
Sujet et corrigé
La scintigraphie cardiaque est un examen indolore, réalisé par le cardiologue ou le médecin nucléaire pour évaluer la santé cardiaque d’un patient. L’examen dure environ 15 à 30 minutes et consiste en l’injection intraveineuse de thallium 201 radioactif. Le thallium 201 émet des rayons γ captés par une caméra à scintillation.
L’objectif de cet exercice est d’analyser les propriétés du thallium 201 utilisé pour analyser le fonctionnement cardiaque, ainsi que son comportement dans l’organisme lors de son injection et de son élimination au cours d’une scintigraphie du cœur.
Le thallium 201 ($$^{201}_{81}Tl$$), utilisé pour la scintigraphie peut se désintégrer en mercure 201 selon l’équation :
$$^{201}_{81}Tl \rightarrow\ ^{201}_{80}Hg^* + \ ^{0}_{1}e$$
où $$^{201}_{80}Hg^*$$ représente un état excité du $$^{201}_{80}Hg$$.
Q1. Préciser à quel type de désintégration correspond cette transformation nucléaire.
$$^{201}_{81}Tl \rightarrow\ ^{201}_{80}Hg^* + \ ^{0}_{1}e$$ : il y a émission d’un positon, il s’agit d’une désintégration β⁺.
Le $$^{201}_{80}Hg^*$$ se désexcite très rapidement en émettant un photon γ d’énergie E égale à 135 keV.
Données
- célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00×10⁸ m·s⁻¹ ;
- constante de Planck : h = 6,63×10⁻³⁴ J·s ;
- électronvolt : 1 eV = 1,60×10⁻¹⁹ J ;
- relation entre l’énergie et la longueur d’onde dans le vide λv : $$E = \frac{hc}{\lambda_v}$$ ;
- domaines spectraux des ondes électromagnétiques.
Q2. À l’aide des données, exprimer puis calculer la longueur d’onde λv de ce rayonnement d’énergie E dans le vide.
$$E = \frac{hc}{\lambda}$$ donc $$E \times \lambda = hc$$
$$\lambda = \frac{hc}{E}$$
$$\lambda = \frac{6,63 \times 10^{-34} \times 3,00 \times 10^8}{135 \times 10^3 \times 1,60 \times 10^{-19}}$$
$$\lambda = 9,21 \times 10^{-12}\ m$$
Q3. Retrouver alors le domaine du spectre auquel appartient ce rayonnement lors de la désintégration du thallium 201.
La longueur d’onde λ = 9,21×10⁻¹² m est inférieure à 10⁻¹¹ m : ce rayonnement appartient donc au domaine des rayons γ.
Q4. Citer une méthode de protection contre ces rayonnements ionisants.
Pour se protéger de ce rayonnement ionisant, on peut se mettre derrière un mur dense (contenant du plomb par exemple).
Données et rappels
- L’activité d’un échantillon de noyaux radioactifs est le nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans cet échantillon.
- L’activité A(t) à l’instant t est ici liée au nombre de noyaux N(t) restant à l’instant t par la relation : A(t) = λN(t), dans laquelle λ est la constante radioactive de la désintégration.
- La loi de décroissance radioactive relative à l’activité est $$A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$$ ;
- Demi-vie (ou période) du thallium 201 : t1/2 = 3,04 jours.
- 1 jour = 86400 s
Lors d’une scintigraphie du cœur, on injecte une solution stérile de chlorure de thallium 201. L’examen du patient considéré nécessite l’injection par voie intraveineuse d’une dose présentant une activité A₀ = 78 MBq.
Après l’administration du chlorure de thallium, il est conseillé de boire beaucoup d’eau pour éliminer le thallium restant par voie urinaire.
Q5. Donner la relation entre l’activité A(t) d’un échantillon et la dérivée temporelle du nombre de noyaux radioactifs N(t), notée $$\frac{dN(t)}{dt}$$, dans cet échantillon.
$$A(t) = -\frac{dN(t)}{dt}$$
Q6. Établir l’équation différentielle régissant la population de noyaux radioactifs N(t) sous la forme $$\frac{dN(t)}{dt} + \lambda N(t) = 0$$.
$$A(t) = -\frac{dN(t)}{dt}$$
Or : $$A(t) = \lambda \times N(t)$$
D’où : $$\lambda \times N(t) = -\frac{dN(t)}{dt}$$
$$\frac{dN(t)}{dt} + \lambda \times N(t) = 0$$
Q7. Vérifier que $$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$ est solution de l’équation différentielle précédente, avec N₀ le nombre de noyaux radioactifs initialement présents dans l’échantillon.
$$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}$$
Dérivons N(t) :
$$\frac{dN(t)}{dt} = N_0 \times (-\lambda) \times e^{-\lambda t}$$
$$\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda \times N_0 \times e^{-\lambda t} = -\lambda \times N(t)$$
On retrouve l’équation différentielle :
$$\frac{dN(t)}{dt} + \lambda \times N(t) = 0$$
Ainsi, $$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}$$ est bien solution de l’équation différentielle.
Q8. Établir l’expression de la constante radioactive en fonction du temps de demi-vie t1/2. En déduire que la valeur de la constante radioactive λ du thallium 201 est 2,64×10⁻⁶ s⁻¹.
Par définition du temps de demi-vie :
$$N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$$
Or : $$N(t_{1/2}) = N_0 \times e^{-\lambda t_{1/2}}$$
D’où : $$N_0 \times e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{N_0}{2}$$
$$e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2}$$
$$\ln\left(e^{-\lambda t_{1/2}}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$$
$$-\lambda t_{1/2} = -\ln 2$$
$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$
$$\lambda = \frac{\ln 2}{3,04 \times 86400}$$
$$\lambda = 2,64 \times 10^{-6}\ s^{-1}$$
Q9. Calculer l’activité restante Ar chez le patient deux heures après l’injection. Conclure.
$$A(t) = A_0 \times e^{-\lambda t}$$
$$A_r = 78 \times e^{-2,64 \times 10^{-6} \times 2 \times 3600}$$
$$A_r = 76,5\ MBq$$
L’activité a très peu diminué en 2 heures : on peut considérer qu’elle reste constante pendant toute la durée de l’examen (15 à 30 minutes).
Q10. Calculer la durée t1%, en jours, au bout de laquelle l’activité radioactive du thallium 201 est égale à 1% de sa valeur initiale A₀. Justifier alors le fait qu’il est nécessaire de boire beaucoup d’eau après l’examen.
$$A(t_{1\%}) = \frac{A_0}{100}$$
Or : $$A(t_{1\%}) = A_0 \times e^{-\lambda t_{1\%}}$$
$$A_0 \times e^{-\lambda t_{1\%}} = \frac{A_0}{100}$$
$$e^{-\lambda t_{1\%}} = \frac{1}{100}$$
$$\ln\left(e^{-\lambda t_{1\%}}\right) = \ln\left(\frac{1}{100}\right)$$
$$-\lambda t_{1\%} = -\ln 100$$
$$t_{1\%} = \frac{\ln 100}{\lambda} = \frac{\ln 100}{2,64 \times 10^{-6}}$$
$$t_{1\%} = 1,74 \times 10^6\ s$$
Convertissons ce temps en jours :
$$t_{1\%} = \frac{1,74 \times 10^6}{86400}$$
$$t_{1\%} = 20,2\ jours$$
La décroissance radioactive seule nécessiterait 20 jours pour que l’activité diminue à 1 % de sa valeur initiale.
Boire beaucoup d’eau après l’examen favorise l’élimination biologique via les urines du thallium 201, ce qui accélère son élimination de l’organisme et réduit ainsi la durée d’exposition du patient au rayonnement, sans attendre uniquement la décroissance radioactive.