Bac Métropole 2026 Sujet de secours, Sujet 2
Exercice 2 – (5 points) – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ2ME2
Sujet et corrigé
Au XVIIe siècle, les scientifiques rivalisent d’ingéniosité pour construire des lunettes de plus en plus puissantes, espérant ainsi faire de nouvelles découvertes en astronomie. Cette course passant à l’époque par la réalisation d’instruments de plus en plus longs, Christiaan Huygens, astronome hollandais, a l’idée de fabriquer une lunette afocale « sans tube » qu’il remplace par un fil tendu du haut d’un mât, pour assurer l’alignement des deux lentilles convergentes qui constituent la lunette. L’instrument, nommé astroscope, est mis au point en 1683. Il permettra à Huygens de faire l’une des premières déterminations précises du diamètre de Jupiter.
L’objectif de cet exercice est d’étudier les caractéristiques de l’astroscope et de valider la mesure faite par Huygens.
Données
- on note θ l’angle sous lequel un astre est vu par un observateur à l’œil nu ;
- approximation des petits angles en radian : pour θ << 1 rad, on peut écrire tan(θ) = θ ;
- pour discuter de l’accord du résultat d’une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $$\frac{|x – x_{ref}|}{u(x)}$$ avec x la valeur mesurée, xref la valeur de référence et u(x) l’incertitude-type associée à la valeur mesurée x.
1. Étude de l’astroscope
Huygens utilise un astroscope dont l’objectif L₁ a pour distance focale f₁’ = 34 m et dont l’oculaire L₂ possède une distance focale de f₂’ = 7,0 cm.
On donne sur la figure A1 de l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE le schéma de cet astroscope.
Q1. Compléter le schéma de la figure A1 de l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE en identifiant l’objectif et l’oculaire de la lunette modélisée.
L₁ : c’est la lentille placée vers l’objet, c’est l’objectif.
L₂ : c’est la lentille où on place l’œil, c’est l’oculaire.
On considère dans un premier temps que la longueur du fil est égale à f₁’.
Q2. Montrer que la hauteur minimale du mât nécessaire à la réalisation de l’astroscope est voisine de 25 m.
Le fil tendu, de longueur f₁’, forme un angle de 45° avec l’horizontale (Figure A1).
$$\sin(45°) = \frac{h_{fil}}{f_1′}$$
La hauteur qu’il permet d’atteindre est donc :
$$h_{fil} = f_1′ \times \sin(45°)$$
$$h_{fil} = 34 \times 0,707$$
$$h_{fil} = 24,0\ m$$
En ajoutant la hauteur à laquelle l’observateur tient l’oculaire au-dessus du sol (hauteur des yeux, de l’ordre de 1,5 m) :
$$H_{mât} = h_{fil} + h_{observateur}$$
$$H_{mât} = 24,0 + 1,5$$
$$H_{mât} = 25,5\ m$$
La hauteur minimale du mât est donc bien voisine de 25 m.
2. Mesure de l’angle sous lequel est vue Jupiter
On donne, sur la figure A2 de l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE, le schéma du dispositif optique permettant à Huygens de mesurer le diamètre de Jupiter. L’astronome Jacques Cassini, qui s’intéressait aux travaux de Huygens, a écrit dans une de ses lettres :
« La grande difficulté dans l’usage de grands verres sans tuyau dans l’observation des astres consiste à réunir le foyer oculaire à celui de l’objectif. »
Q3. Placer, sur la figure A2 de l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE, le foyer objet de l’oculaire noté F₂ permettant de remplir la condition décrite par Jacques Cassini.
D’après la citation de Jacques Cassini, il faut « réunir le foyer oculaire à celui de l’objectif » : le foyer objet de l’oculaire F₂ doit donc être placé au même point que le foyer image de l’objectif F’₁, déjà représenté sur la Figure A2.
Q4. Tracer, sur la figure A2 de l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE, la marche de deux rayons issus d’un point B très éloigné et émergeant de la lunette vers un point B’, très éloigné. On fera apparaître l’image B₁ de B donnée par la lentille L₁.
Le rayon lumineux issu de B pénétrant dans la lunette par le centre optique O₁ de la lentille L₁ n’est pas dévié.
Position de B₁, image intermédiaire de B : comme l’objet A∞B∞ est à l’infini, son image A₁B₁ est dans le plan focal image de l’objectif L₁.
Pour le rayon émergeant de la lentille L₂ : on trace un rayon issu de B₁ passant par O₂. Ce rayon n’est pas dévié.
De plus, nous savons que l’image d’un objet situé dans le plan focal objet d’une lentille se forme à l’infini. Ainsi les rayons émergeant de la lentille L₂ issus de B₁ sont parallèles à ce rayon tracé.
Huygens mesure la valeur de l’angle θ’ sous lequel Jupiter est vue à travers l’astroscope : il obtient une valeur de θ’ = 9,4×10⁻² rad.
On rappelle que le grossissement G est défini par $$G = \frac{\theta’}{\theta}$$, où θ est l’angle sous lequel Jupiter est observée à l’œil nu depuis la Terre.
Q5. Montrer que la relation entre le grossissement de l’astroscope et les distances focales f₁’ et f₂’ des deux lentilles de l’astroscope est :
$$G = \frac{f_1′}{f_2′}$$
$$\tan(\theta) \approx \theta = \frac{A_1B_1}{f_1′}$$
$$\tan(\theta’) \approx \theta’ = \frac{A_1B_1}{f_2′}$$
$$G = \frac{\theta’}{\theta} = \frac{\frac{A_1B_1}{f_2′}}{\frac{A_1B_1}{f_1′}} = \frac{A_1B_1}{f_2′} \times \frac{f_1′}{A_1B_1} = \frac{f_1′}{f_2′}$$
On sait aujourd’hui que Jupiter est vue à l’œil nu, depuis la Terre, sous un angle dont la valeur est θref = 2,2×10⁻⁴ rad.
On admet que :
- l’incertitude-type associée à la valeur de grossissement vaut u(G) = 40 ;
- l’incertitude-type associée à la valeur de θ’ vaut u(θ’) = 2×10⁻³ rad ;
- l’incertitude-type associée à la valeur mesurée par Huygens de l’angle sous lequel Jupiter est observée à l’œil nu depuis la Terre est donnée par l’expression :
$$u(\theta) = \theta \times \sqrt{\left(\frac{u(\theta’)}{\theta’}\right)^2 + \left(\frac{u(G)}{G}\right)^2}$$
Q6. Préciser, en argumentant, si on peut estimer que la valeur déterminée par Huygens est en accord avec θref.
Calcul du grossissement de l’astroscope :
$$G = \frac{f_1′}{f_2′} = \frac{34}{0,070}$$
$$G = 486$$
Valeur mesurée de l’angle θ sous lequel Jupiter est vue à l’œil nu, d’après θ’ et G :
$$\theta = \frac{\theta’}{G} = \frac{9,4 \times 10^{-2}}{486}$$
$$\theta = 1,9 \times 10^{-4}\ rad$$
Calcul de l’incertitude-type associée :
$$u(\theta) = \theta \times \sqrt{\left(\frac{u(\theta’)}{\theta’}\right)^2 + \left(\frac{u(G)}{G}\right)^2}$$
$$u(\theta) = 1,94 \times 10^{-4} \times \sqrt{\left(\frac{2 \times 10^{-3}}{9,4 \times 10^{-2}}\right)^2 + \left(\frac{40}{486}\right)^2}$$
$$u(\theta) = 1,94 \times 10^{-4} \times 0,0851$$
$$u(\theta) = 2 \times 10^{-5}\ rad$$
Comparaison à la valeur de référence θref = 2,2×10⁻⁴ rad :
$$\frac{|\theta – \theta_{ref}|}{u(\theta)} = \frac{|1,9 \times 10^{-4} – 2,2 \times 10^{-4}|}{2 \times 10^{-5}}$$
$$\frac{|\theta – \theta_{ref}|}{u(\theta)} = 1,5$$
Cette valeur étant inférieure à 2, on considère que la valeur déterminée par Huygens est en accord avec la valeur de référence θref : la mesure de Huygens est donc validée.