Bac Polynésie 2026 sujet 2
Exercice 3 – (5 points) – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ2PO1
Sujet et corrigé
Le « javelot tir sur cible » est un jeu populaire du nord de la France dans lequel le joueur envoie deux javelots (sortes de grosses fléchettes) sur une cible verticale en se plaçant à 8 m de celle-ci. La cible est composée de deux cercles concentriques : un rouge à l’extérieur et un blanc au centre.
L’objectif de cet exercice est d’étudier la trajectoire du javelot lors d’un lancer.
On s’intéresse au mouvement du javelot assimilé à un point matériel M lorsque le joueur le lance. L’étude est réalisée dans un référentiel terrestre supposé galiléen. Le mouvement a lieu dans le plan (xOz) présenté sur la Figure 1. Les forces de frottements et la poussée d’Archimède sont négligées tout au long de l’exercice. Lorsque le javelot, de masse m, quitte la main du joueur, son centre de masse se situe en M₀ à une hauteur H par rapport au sol avec un vecteur vitesse initiale v⃗₀ qui forme un angle α avec l’horizontale.
Données
- Masse du javelot : m = 300 g ;
- Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N·kg⁻¹.
- Distance entre le lanceur et la cible : d = 8 m.
Q1. Énoncer la deuxième loi de Newton et l’appliquer en effectuant un bilan des forces qui s’exercent sur le système au cours du lancer de javelot.
Deuxième loi de Newton : dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système de masse constante est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération :
$$\sum \vec{F}_{ext} = m \times \vec{a}$$
Bilan des forces : les frottements et la poussée d’Archimède étant négligés, la seule force qui s’exerce sur le javelot au cours du vol est son poids :
$$\vec{P} = m \times \vec{g}$$
D’après la deuxième loi de Newton :
$$\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}$$
$$\vec{P} = m\vec{a}$$
$$m\vec{g} = m\vec{a}$$
$$\vec{g} = \vec{a}$$
Q2. Déterminer l’expression des coordonnées ax(t) et az(t) du vecteur accélération a⃗(t) du point M au cours du temps.
$$\vec{g} = \vec{a}$$
Or $$\vec{g}\begin{pmatrix}0\\-g\end{pmatrix}$$
Le vecteur accélération du centre d’inertie du solide est égal au vecteur champ de pesanteur.
$$\vec{a}\begin{pmatrix}a_x(t) = 0\\a_z(t) = -g\end{pmatrix}$$
Q3. Déterminer l’expression des coordonnées vx(t) et vz(t) du vecteur vitesse v⃗(t) du point M au cours du temps.
$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$$
On intègre le système d’équations précédent :
$$\vec{v}\begin{pmatrix}v_x(t) = C_1\\v_z(t) = -gt + C_2\end{pmatrix}$$
Pour trouver les constantes, on utilise v⃗₀ :
$$\vec{v_0}\begin{pmatrix}v_{0x} = v_0\cos\alpha\\v_{0z} = v_0\sin\alpha\end{pmatrix}$$
D’où :
$$\vec{v}\begin{pmatrix}v_x(t) = v_0\cos\alpha\\v_z(t) = -gt + v_0\sin\alpha\end{pmatrix}$$
Q4. Montrer que les équations horaires du mouvement x(t) et z(t) du point M au cours du temps ont pour expression :
$$\begin{cases}x(t) = v_0(\cos\alpha)\ t\\z(t) = -\frac{1}{2}g\ t^2 + v_0(\sin\alpha)\ t + H\end{cases}$$
$$\vec{v} = \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$$
On intègre le système d’équations précédent :
$$\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix}x(t) = v_0\cos(\alpha) \times t + C_3\\z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0\sin(\alpha) \times t + C_4\end{pmatrix}$$
Pour trouver les constantes, on utilise $$\overrightarrow{OM_0}$$ :
$$\overrightarrow{OM_0}\begin{pmatrix}x_0 = 0\\z_0 = H\end{pmatrix}$$
D’où :
$$\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix}x(t) = v_0\cos(\alpha) \times t\\z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0\sin(\alpha) \times t + H\end{pmatrix}$$
Q5. Démontrer que la trajectoire du point M au cours du temps a pour trajectoire :
$$z(x) = -\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + (\tan\alpha)\ x + H$$
$$x = v_0\cos(\alpha) \times t$$ donc $$t = \frac{x}{v_0\cos(\alpha)}$$
$$z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0\sin(\alpha) \times t + H$$
$$z(x) = -\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos(\alpha)}\right)^2 + v_0\sin(\alpha) \times \frac{x}{v_0\cos(\alpha)} + H$$
$$z(x) = -\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2\cos^2(\alpha)} + \tan(\alpha) \times x + H$$
$$z(x) = -\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}x^2 + \tan(\alpha) \times x + H$$
Le lancer d’un joueur est enregistré et les positions prises par le javelot au cours du temps sont pointées. Un programme Python permet de modéliser la trajectoire du javelot (Figure 2).
La trajectoire du javelot est modélisée par une courbe d’équation :
$$z = -0,081\ x^2 + 0,62\ x + 1,1$$
dans laquelle les paramètres z et x sont exprimés en m.
Q6. Déduire de cette modélisation la hauteur initiale H du javelot à l’instant du lancer à t = 0.
$$z(x) = -\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}x^2 + \tan(\alpha) \times x + H$$
Le modèle expérimental s’écrit $$z = -0,081\ x^2 + 0,62\ x + 1,1$$
Par identification :
$$H = 1,1\ m$$
Q7. Montrer que l’angle avec lequel le javelot a été lancé par rapport à l’horizontale vaut α = 32° et que la vitesse initiale du lancer est de v₀ = 9,2 m·s⁻¹.
Par identification :
$$\tan(\alpha) = 0,62$$
$$\alpha = \arctan(0,62)$$
$$\alpha = 32°$$
Par identification :
$$-\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)} = -0,081$$
$$0,081 \times 2v_0^2\cos^2(\alpha) = g$$
$$v_0^2 = \frac{g}{2 \times 0,081 \times \cos^2(\alpha)}$$
$$v_0 = \sqrt{\frac{g}{2 \times 0,081 \times \cos^2(\alpha)}}$$
$$v_0 = \sqrt{\frac{9,81}{2 \times 0,081 \times \cos^2(32°)}}$$
$$v_0 = 9,2\ m \cdot s^{-1}$$
Le centre de la cible se situe à 85 cm du sol : Quand le javelot se plante dans le cercle blanc mesurant 6 cm de diamètre, le joueur reçoit 2 points. Quand le javelot se plante dans la couronne circulaire mesurant 21 cm de diamètre extérieur et 6 cm de diamètre intérieur, le joueur reçoit 1 point.
Q8. En utilisant l’équation modélisant la trajectoire, déterminer le nombre de points marqués par le joueur.
La cible se situe à la distance d = 8 m du lanceur, donc à x = 8 m :
$$z(8) = -0,081 \times 8^2 + 0,62 \times 8 + 1,1$$
$$z(8) = -5,184 + 4,96 + 1,1$$
$$z(8) = 0,876\ m$$
Le centre de la cible se situe à 0,85 m du sol. L’écart entre le point d’impact du javelot et le centre de la cible vaut :
$$\Delta z = z(8) – 0,85$$
$$\Delta z = 0,876 – 0,85$$
$$\Delta z = 0,026\ m = 2,6\ cm$$
Le cercle blanc central a un diamètre de 6 cm, donc un rayon de 3 cm.
Comme Δz = 2,6 cm < 3 cm, le javelot se plante dans le cercle blanc central.
Le joueur marque donc 2 points.