Le satellite TESS

Bac Métropole 2026 Sujet 2

Exercice 3 – (5 ,5 points) – Durée 0h58 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ2ME1

Sujet et corrigé

Les exoplanètes sont des planètes en orbite autour d’une étoile autre que le Soleil. Les physiciens Michel Mayor et Didier Queloz ont reçu en 2019 le prix Nobel de physique pour la première détection d’une exoplanète.

Le satellite TESS « Transiting Exoplanet Survey Satellite » est à la recherche de nouvelles exoplanètes depuis le 18 avril 2018. En juillet 2019, le satellite TESS a permis la découverte du système planétaire « TOI 270 », composé entre autres de deux exoplanètes, que l’on appellera exoplanète 1 et exoplanète 2, en orbite autour de l’étoile E.

L’objectif de cet exercice est d’étudier le système planétaire « TOI 270 » pour lequel on supposera que les mouvements des exoplanètes 1 et 2 autour de l’étoile E sont circulaires uniformes. L’interaction entre les deux exoplanètes est négligée.

Données

• constante de gravitation universelle : G = 6,67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² ;
• approximations dans le cas de petits angles (α << 1 rad) : sin α = α ; tan α = α.
• données relatives au système « TOI 270 » :

Objet	Étoile E	Exoplanète 1	Exoplanète 2
Rayon de l’orbite autour de E en km		R₁ = 6,77×10⁶	R₂ = 1,08×10⁷
Période de révolution autour de E en jours terrestres		T₁	T₂ = 11,4
Rayon de l’objet en km	rE = 2,63×10⁵	r₁
Masse de l’objet en kg	ME = 7,68×10²⁹		M₂

1. Étude du système « TOI 270 »

On étudie le mouvement de l’exoplanète 2, de masse M₂, en orbite circulaire autour de l’étoile E. L’étude est conduite dans un référentiel dont l’origine est prise au centre de l’étoile E et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines ; il est supposé galiléen. On travaille dans le repère de Frenet (P, u⃗_T, u⃗_N).

Q1. Exprimer la force d’attraction gravitationnelle, notée F⃗, exercée par l’étoile E sur l’exoplanète 2, en fonction de M₂, M_E, G, R₂ et u⃗_N.

$$\vec{F} = G \times \frac{M_2 \times M_E}{R_2^2}\ \vec{u_N}$$

Q2. En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l’expression de la vitesse v₂ de l’exoplanète 2 en fonction de G, M_E et R₂.

Système : exoplanète 2

Référentiel : centre de l’étoile E supposé galiléen

D’après la 2^nde loi de Newton :

$$\sum \vec{F_{ext}} = M_2 \vec{a}$$

$$\vec{F} = M_2 \vec{a}$$

$$G \times \frac{M_2 \times M_E}{R_2^2}\ \vec{u_N} = M_2 \vec{a}$$

$$\vec{a} = G \times \frac{M_E}{R_2^2}\ \vec{u_N}$$

Or, pour un mouvement circulaire, dans la base de Frenet, le vecteur accélération est de la forme :

$$\vec{a} = \frac{v_2^2}{R_2}\ \vec{u_N} + \frac{dv}{dt}\ \vec{u_T}$$

L’accélération étant unique, par identification :

$$\frac{v_2^2}{R_2} = G \times \frac{M_E}{R_2^2}$$

donc $$v_2 = \sqrt{\frac{G \times M_E}{R_2}}$$

Q3. Établir que la masse M_E de l’étoile est donnée par la relation $$M_E = \frac{4\pi^2 \cdot R_2^3}{G \cdot T_2^2}$$.

La période de révolution est : $$T = \frac{circonférence}{vitesse}$$

$$T_2 = \frac{2\pi R_2}{v_2} = \frac{2\pi R_2}{\sqrt{\frac{G \times M_E}{R_2}}}$$

$$T_2 = 2\pi R_2 \sqrt{\frac{R_2}{G \times M_E}}$$

$$T_2^2 = 4\pi^2 R_2^2 \frac{R_2}{G \times M_E} = \frac{4\pi^2 R_2^3}{G \times M_E}$$

$$T_2^2 \times M_E = \frac{4\pi^2 R_2^3}{G}$$

$$M_E = \frac{4\pi^2 R_2^3}{G \times T_2^2}$$

Q4. Vérifier que la valeur de la masse M_E déduite de cette relation est voisine de celle indiquée dans le tableau de données.

$$M_E = \frac{4\pi^2 R_2^3}{G \times T_2^2}$$

$$M_E = \frac{4\pi^2 \times (1,08 \times 10^3 \times 10^7)^3}{6,67 \times 10^{-11} \times (11,4 \times 24 \times 60 \times 60)^2}$$

$$M_E = 7,69 \times 10^{29}\ kg$$

La masse M_E déduite de cette relation $$M_E = 7,69 \times 10^{29}\ kg$$ est voisine de celle indiquée dans le tableau de données $$M_E = 7,68 \times 10^{29}\ kg$$.

Q5. En utilisant la troisième loi de Kepler et les données R₁, R₂ et T₂ relatives aux exoplanètes, déterminer la valeur de la période T₁ exprimée en jours terrestres.

3^e loi de Kepler : $$\frac{T^2}{R^3} = constante$$

$$\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3}$$

$$T_1^2 = \frac{T_2^2}{R_2^3} \times R_1^3$$

$$T_1 = T_2 \times \sqrt{\frac{R_1^3}{R_2^3}}$$

$$T_1 = 11,4 \times \sqrt{\frac{(6,67 \times 10^3 \times 10^6)^3}{(1,08 \times 10^3 \times 10^7)^3}}$$

$$T_1 = 5,34\ jours$$

2. Mesure expérimentale de la période de révolution T₁ de l’exoplanète 1

Le satellite TESS utilise une caméra pour détecter des exoplanètes. Lorsqu’une exoplanète passe entre l’étoile et la caméra, la puissance lumineuse reçue par la caméra diminue. Ce phénomène est appelé transit planétaire et indique la présence d’une exoplanète en orbite autour de l’étoile pointée par la caméra.

On se propose de déterminer la valeur de la période T₁ de révolution de l’exoplanète 1 autour de l’étoile E en exploitant les relevés envoyés par le satellite TESS. Lors du transit de l’exoplanète 1 devant l’étoile E (schématisé sur la figure 2), on mesure la puissance lumineuse relative* P_lum reçue par la caméra en fonction du temps (figure 3). L’origine des dates (t = 0) est prise au milieu du transit.

* La puissance lumineuse relative est définie comme le rapport de la puissance lumineuse reçue par la caméra à un instant donné sur la valeur moyenne de cette puissance. C’est une grandeur sans dimension.

On admet que le rayon r₁ de l’exoplanète 1, le rayon r_E de l’étoile E et la diminution ΔP_lum de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra pendant le transit de l’exoplanète 1 vérifient la relation suivante :

$$\Delta P_{lum} = \left(\frac{r_1}{r_E}\right)^2$$

Q6. Indiquer qualitativement l’influence de la taille de l’exoplanète sur la diminution ΔP_lum de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra au cours d’un transit.

$$\Delta P_{lum} = \left(\frac{r_1}{r_E}\right)^2$$

ΔP_lum est proportionnel au carré du rayon de l’exoplanète r₁. Ainsi, plus la taille de l’exoplanète est grande, plus la diminution ΔP_lum de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra au cours du transit est grande.

Q7. Vérifier que le rayon r₁ de l’exoplanète 1 vaut environ 1,7×10⁴ km.

$$\Delta P_{lum} = \left(\frac{r_1}{r_E}\right)^2$$ donc $$\frac{r_1}{r_E} = \sqrt{\Delta P_{lum}}$$

$$r_1 = r_E \times \sqrt{\Delta P_{lum}}$$

$$r_1 = 2,63 \times 10^3 \times 10^5 \times \sqrt{1,000 – 0,996}$$

$$r_1 = 1,66 \times 10^7\ m = 1,66 \times 10^4\ km$$

Ainsi, le rayon r₁ vaut environ r₁ = 1,7×10⁴ km.

Q8. En utilisant les figures 2 et 3, et sachant que l’angle α est très petit devant 1 rad, estimer la valeur de la période T₁ de révolution de l’exoplanète 1 que l’on peut déduire des observations. Commenter.

Lorsque α est petit, on considère que tan(α) ≈ α :

$$\tan(\alpha) = \frac{r_1 + r_E}{R_1}$$ donc $$\alpha = \frac{r_1 + r_E}{R_1}$$

$$\alpha = \frac{1,66 \times 10^7 + 2,63 \times 10^3 \times 10^5}{6,67 \times 10^3 \times 10^6}$$

$$\alpha = 4,19 \times 10^{-2}\ rad$$

Le transit dure Δt_lum et l’angle correspondant est 2α. Graphiquement, on lit sur la figure 3 : t_i = −0,8 h et t_f = 0,8 h.

$$2\pi\ rad$$	$$T_1$$
$$2\alpha = 2 \times 4,19 \times 10^{-2}\ rad$$	$$\Delta t_{lum} = 0,8 – (-0,8) = 1,6\ h$$

$$T_1 = \frac{1,6 \times 2\pi}{2 \times 4,19 \times 10^{-2}}$$

$$T_1 = 120\ h = \frac{120}{24} = 5\ jours$$

Le résultat est cohérent avec T₁ = 5,34 jours trouvé à la question Q5.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n’a pas abouti. La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d’être correctement présentée.