Bac Polynésie 2026 sujet 2
Exercice 2 – (6 points) – Durée 1h03 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ2PO1
Sujet et corrigé
Les capteurs capacitifs ont de nombreuses applications. Ils sont mis à profit entre autres pour contrôler le niveau de remplissage de cuves opaques.
L’objectif de cet exercice est l’étude du fonctionnement d’un capteur capacitif de niveau.
Un capteur de niveau capacitif est constitué d’un condensateur creux immergé dans une cuve. Le condensateur est constitué de deux armatures métalliques A et B séparées par un isolant qui peut être l’air ou le liquide (Figure 1). L’armature B entoure l’armature A.
Le liquide et l’air n’ayant pas les mêmes propriétés isolantes, la capacité du condensateur dépend du niveau de liquide présent dans la cuve.
Partie A : Étude de l’influence de la capacité lors de la charge d’un condensateur
Un capteur de niveau capacitif peut être assimilé à un condensateur de capacité C dont la valeur peut varier en fonction du niveau de liquide.
On effectue la charge du condensateur de capacité C, initialement déchargé, dans un circuit contenant un conducteur ohmique de résistance R = 330 kΩ et un générateur délivrant une tension E = 5,0 V aux bornes du dipôle RC.
La Figure 2 précise les conventions d’orientation utilisées pour représenter la tension E aux bornes du générateur, la tension uR aux bornes du conducteur ohmique, la tension uC aux bornes du condensateur ainsi que l’intensité i du courant circulant dans le circuit.
Q1. Justifier que l’intensité i du courant peut s’exprimer en fonction de la tension uC aux bornes du condensateur et de la capacité C du condensateur par la relation :
$$i = C \times \frac{du_C}{dt}$$
$$i(t) = \frac{dq(t)}{dt}$$
$$q(t) = C \times u_C(t)$$
D’où :
$$i(t) = \frac{d(C \times u_C(t))}{dt}$$
$$i(t) = C \times \frac{du_C(t)}{dt}$$
Q2. Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur lors de la charge sous une tension E.
$$u_C(t) + u_R(t) = E$$
Or $$u_R(t) = R \times i$$
$$u_C(t) + R \times i = E$$
Or $$i(t) = C \times \frac{du_C(t)}{dt}$$
$$u_C(t) + R \times C \times \frac{du_C(t)}{dt} = E$$
La solution de cette équation différentielle est de la forme suivante : $$u_C = E \times \left(1 – e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$$, où τ = R.C est la constante de temps du circuit étudié.
Q3. Vérifier par un calcul que la tension uC(τ) aux bornes du condensateur a atteint, à l’instant t = τ, 63 % de sa valeur maximale et déterminer la valeur de la tension uC(τ).
À l’instant t = τ :
$$u_C(\tau) = E \times \left(1 – e^{-\frac{\tau}{\tau}}\right)$$
$$u_C(\tau) = E \times (1 – e^{-1})$$
$$u_C(\tau) = E \times 0,63$$
$$u_C(\tau) = 0,63 \times E$$
La tension uC(τ) a donc bien atteint 63 % de sa valeur maximale E à l’instant t = τ.
$$u_C(\tau) = 0,63 \times 5,0$$
$$u_C(\tau) = 3,2\ V$$
Q4. Préciser l’influence de la capacité C sur la durée de charge complète du condensateur.
La constante de temps du circuit est τ = R × C.
Pour une résistance R fixée, plus la capacité C est grande, plus la constante de temps τ est grande, et donc plus la durée nécessaire pour atteindre la charge complète du condensateur (de l’ordre de 5τ) est longue.
Partie B : Détermination du volume d’huile contenu dans un fût métallique
La capacité C du condensateur dépend de la hauteur h d’huile dans le condensateur. Le condensateur est branché en série avec un conducteur ohmique. Le dipôle RC, ainsi constitué, est connecté à une sortie d’un microcontrôleur qui permet d’effectuer des charges et décharges successives du condensateur.
Une deuxième entrée du microcontrôleur permet de suivre l’évolution de la tension uC aux bornes du condensateur au cours du temps représentée sur la Figure 4.
Q5. En utilisant la Figure 4, montrer que la valeur de la constante de temps τ correspondant à la charge du capteur capacitif est voisine de 1,2 × 10⁻⁴ s. Expliquer la méthode utilisée en s’appuyant sur un schéma.
τ peut être déterminée graphiquement par deux méthodes :
— Première méthode : $$u_C(\tau) = 0,63E = 3,2\ V$$
— Deuxième méthode : on trace la tangente à la courbe à t = 0 et on regarde l’abscisse du point d’intersection entre cette tangente et l’asymptote uC = E pour la charge.
$$\tau = 0,12\ ms = 0,12 \times 10^{-3}\ s$$
$$\tau = 1,2 \times 10^{-4}\ s$$
On a préalablement mesuré à l’aide d’un capacimètre, la capacité C du capteur pour différentes hauteurs h d’huile dans le capteur. On obtient alors la courbe d’étalonnage de la capacité C en fonction de la hauteur h dans le condensateur (Figure 5).
Données
- Le fût métallique est considéré comme un cylindre de diamètre D = 0,610 m ;
- Volume d’un cylindre V (en m³) de diamètre D (en m) et de hauteur H (en m) : $$V = \frac{\pi}{4} \times D^2 \times H$$ ;
- Niveau d’entrée d’huile dans le capteur : h₀ = 4,4 cm ;
- Résistance du circuit RC : R = 330 kΩ.
Dans la question suivante, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n’a pas abouti. La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d’être correctement présentée.
Q6. À l’aide des Figures 4 et 5 et des données précédentes, calculer la valeur du volume d’huile VH contenu dans le fût métallique, lors de l’enregistrement représenté en Figure 4.
Déterminons la capacité C du capteur :
$$\tau = R \times C$$ donc $$C = \frac{\tau}{R}$$
$$C = \frac{1,2 \times 10^{-4}}{330 \times 10^3}$$
$$C = 0,36\ nF$$
Déterminons la hauteur h d’huile dans le capteur à partir de la Figure 5 :
Graphiquement pour C = 0,36 nF : h = 0,54 m
La hauteur H d’huile dans la cuve correspond à la hauteur h mesurée dans le capteur, augmentée du niveau d’entrée d’huile h₀ :
$$H = h + h_0$$
$$H = 0,54 + 0,044$$
$$H = 0,58\ m$$
Déterminons le volume d’huile dans le fût métallique :
$$V_H = \frac{\pi}{4} \times D^2 \times H$$
$$V_H = \frac{\pi}{4} \times (0,610)^2 \times 0,58$$
$$V_H = 0,17\ m^3$$