Modélisation d’un détecteur capacitif d’humidité

Bac Métropole mars 2023 Sujet 2

Exercice 3 – (6 points) –  Durée 1h03 – Calculatrice autorisée

Sujet n°23-PYCJ2ME1

EXERCICE 3 – MODÉLISATION D’UN DÉTECTEUR CAPACITIF D’HUMIDITÉ (6 points)

Correctement calibré, un système d’arrosage automatique de végétaux permet un arrosage homogène, à un moment opportun et sans gaspillage d’eau. À cet effet, il peut être déclenché grâce à l’utilisation d’un détecteur capacitif d’humidité du sol.

L’objectif de cet exercice est d’étudier une modélisation simple d’un détecteur capacitif d’humidité puis de l’utiliser pour illustrer le principe d’une mesure de la teneur en eau d’un sol.

Données :

  • dans cet exercice, le détecteur capacitif d’humidité est modélisé par un condensateur plan dont la capacité C varie en fonction de l’humidité du sol ;
  • le condensateur est constitué de deux plaques (ou armatures) métalliques de surface S séparées d’une distance d plantées dans un sol de permittivité ε :

Figure 1. Schéma simplifié du condensateur d’un détecteur d’humidité

  • la capacité C (en farad F) du condensateur s’exprime en fonction de la surface S (en m2) de ses armatures, de la distance d (en m) qui les sépare et d’un paramètre caractéristique du sol appelé permittivité ε (en F·m–1) du sol par la relation :

$$C=\frac{\varepsilon\cdot S}{d}$$

  • on appelle « teneur en eau » le pourcentage volumique d’eau dans le sol ;
  • on présente la courbe de la permittivité ε d’un sol argileux en fonction de sa teneur en eau :

D’après www.hal.laas.fr

Figure 2. Permittivité du sol en fonction de la teneur en eau du sol

1.   Modélisation de la charge du condensateur

Q1. Prévoir qualitativement le sens de variation de la capacité C du détecteur capacitif d’humidité quand la teneur en eau d’un sol argileux augmente.

$$C=\frac{\varepsilon\times S}{d}$$
La permittivité $\varepsilon$ augmente lorsque la teneur en eau augmente (figure 2).

Or $C$ et $\varepsilon$ sont proportionnels. Ainsi, lorsque la teneur en eau augmente, la capacité $C$ du détecteur augmente.

Le condensateur de capacité C, modélisant le détecteur, est branché en série avec un générateur délivrant une tension constante E, un interrupteur K et un conducteur ohmique de résistance R. Le circuit ainsi constitué est modélisé par un circuit de type RC représenté ci-dessous :

À la date t = 0 s, le condensateur est déchargé et on ferme l’interrupteur. On souhaite établir l’expression de la tension uC(t) aux bornes du condensateur.

Q2. Montrer que la tension aux bornes du condensateur obéit à l’équation différentielle ci-dessous. Exprimer littéralement le temps caractéristique t du circuit en fonction de R et de C.

$$\tau\times \frac{du_c}{dt}+u_c=E$$

D’après la loi d’additivité des tensions ou loi des mailles :
$$U_C(t)+U_R(t)=E$$
or $U_R(t)=R\times i$
$$U_C(t)+R\times i=E$$

Or $i(t)=\frac{dq_{(t)}}{dt}$
$$U_C(t)+R\times\frac{dq_{(t)}}{dt}=E$$

Or $q(t)=C\times U_C(t)$
$$U_C(t)+R\times\frac{dC\times U_C(t)}{dt}=E$$
$$U_C(t)+RC\frac{dU_C(t)}{dt}=E$$
$$RC\frac{dU_C(t)}{dt}+U_C(t)=E$$

La tension aux bornes du condensateur obéit à l’équation différentielle ci-dessous
$$\tau\times\frac{dU_C(t)}{dt}+U_C(t)=E$$
Par identification :
$$\tau=RC$$

Q3. Vérifier que la fonction $u_c(t)=E\times\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ est solution de cette équation différentielle et qu’elle satisfait à la condition imposée à la date t = 0 s.

Vérifions que la fonction $U_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ est solution de cette équation différentielle :
$$U_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$$
– Dérivons $U_C(t)$ :
$$\frac{dU_C(t)}{dt}=\frac{E}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}$$
– Remplaçons $U_C(t)$ et $\frac{dU_C(t)}{dt}$ dans l’équation :
$$\tau\times\frac{dU_C(t)}{dt}+U_C(t)=\tau\times\frac{E}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$$
$$\tau\times\frac{dU_C(t)}{dt}+U_C(t)=\tau\times\frac{E}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+E-Ee^{-\frac{t}{\tau}}$$
$$\tau\times\frac{dU_C(t)}{dt}+U_C(t)=Ee^{-\frac{t}{\tau}}+E-Ee^{-\frac{t}{\tau}}$$

On obtient bien :
$$\tau\times\frac{dU_C(t)}{dt}+U_C(t)=E$$

La fonction $U_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ est donc solution de cette équation différentielle.

Vérifions que $U_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ satisfait à la condition imposée à la date $t=0\ \text{s}$ :
$$U_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$$
$$U_C(t=0)=E\left(1-e^{-\frac{0}{\tau}}\right)$$
$$U_C(t=0)=E\left(1-1\right)$$
$$U_C(t=0)=E\times0$$
$$U_C(t=0)=0\ \text{V}$$

D’après l’énoncé : « A la date $t=0\ \text{s}$, le condensateur est déchargé » soit $U_C(t=0)=0\ \text{V}$.

$U_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ satisfait donc à la condition imposée à la date $t=0\ \text{s}$.

Q4. Montrer que la valeur de uC à l’instant t est approximativement : uC(t) = 0,63 × E.

$$U_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$$
$$U_C(t=\tau)=E\left(1-e^{-\frac{\tau}{\tau}}\right)$$
$$U_C(t=\tau)=E\left(1-e^{-1}\right)$$
$$U_C(t=\tau)=E\times0,63$$
$$U_C(t=\tau)=0,63\times E$$

2.   Modélisation de la mesure de la teneur en eau d’un sol argileux

La mesure du temps caractéristique du circuit RC permet d’accéder à la valeur de la teneur en eau du sol. Cette mesure est réalisée à l’aide d’un microcontrôleur connecté au circuit RC décrit ci-dessus. Il permet entre autres :

  • de commander des alternances charge – décharge du condensateur ;
  • de mesurer la tension aux bornes du condensateur ;
  • d’afficher, après calcul, la valeur de la teneur en eau.

Pour déterminer le temps caractéristique du circuit RC, on enregistre l’évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur à l’aide du microcontrôleur ; celui-ci relève 52 000 valeurs de la tension par seconde.

Pour que la mesure soit suffisamment précise, on doit disposer d’au moins 10 valeurs de tension aux bornes du condensateur avant d’atteindre le temps caractéristique du circuit RC.

Q5. Montrer que le temps caractéristique t du circuit RC doit être au minimum de l’ordre de 200 µs.

D’après l’énoncé : « pour que la mesure soit suffisamment précise, on doit disposer d’au moins 10 valeurs de la tension aux bornes du condensateur avant d’atteindre le temps caractéristique du circuit RC ».

52 000 valeurs1 s
10 valeurs$\tau$

$$\tau=\frac{10\times1}{52\ 000}$$
$$\tau=1,92\times10^{-4}\ \text{s}$$
$$\tau=192\times10^{-6}\ \text{s}$$
$$\tau=192\ \mu\text{s}$$

Le temps caractéristique $\tau$ du circuit RC doit être au minimum de l’ordre de 200 μs.

Le condensateur possède les caractéristiques géométriques suivantes : S = 1,0×10–1 m2 et d = 1,0×10–2 m. La valeur de la résistance R du circuit est R = 2,2×105 Ω.

Q6. À l’aide de la contrainte sur le temps caractéristique t du circuit RC, déterminer la teneur minimale en eau d’un sol argileux qu’il est possible de mesurer avec ce dispositif.

Pour déterminer la teneur minimale en eau il faut connaitre la valeur de la permittivité.
$$\tau=RC$$
Or
$$C=\frac{\varepsilon\times S}{d}$$

$$\tau=R\times\frac{\varepsilon\times S}{d}$$
$$R\times\frac{\varepsilon\times S}{d}=\tau$$
$$\varepsilon=\frac{\tau\times d}{R\times S}$$
$$\varepsilon=\frac{1,92\times10^{-4}\times1,0\times10^{-2}}{2,2\times10^{5}\times1,0\times10^{-1}}$$
$$\varepsilon=8,7\times10^{-11}\ \text{F.m}^{-1}$$
$$\varepsilon=0,87\times10^{-11}\ \text{F.m}^{-1}$$

Graphiquement la teneur en eau est de 14 %.
Ainsi, la teneur minimale en eau qu’il est possible de mesurer avec ce dispositif est de 14 %.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Le microcontrôleur réalise un traitement automatique des données s’appuyant sur un programme, écrit en langage Python, dont une partie est donnée ci-dessous :

1 # Arrosage automatique pour un sol argileux
2 E = 5.0
3 tension = 0 # définition de la tension aux bornes du condensateur
4 t_i = time.time() # définition de l’instant initial

5 while tension < # boucle et condition
6 float tension = analogRead(A0) * (5.0 / 1023.0) # transforme la mesure du microcontrôleur en tension

7 t_f = time.time() # mesure de l’instant final
8 tau = t_f – t_i
9 print(“valeur de tau en ms :”, tau) # affichage d’une valeur sur l’écran

La commande « while » associée à une condition permet de créer une boucle qui répète la liste d’instructions qui suit, tant que la condition est satisfaite.

Q7. Indiquer l’objectif final de cet extrait de programme.

L’objectif final de cet extrait de programme est d’afficher la valeur de $\tau$.

Q8. Recopier la ligne 5 du programme sur la copie et compléter la condition sur la valeur de la tension aux bornes du condensateur.

Ligne 5 : while tension < 0.63*E

Le détecteur est inséré dans un sol argileux. Dans ce type de sol, la teneur en eau doit être comprise entre 24 % et 38 % pour qu’une plante puisse y avoir une croissance normale.

Le programme renvoie le résultat suivant :

valeur de tau en ms : 0,28676887987

Q9. Déterminer si la teneur en eau mesurée dans ce sol argileux est suffisante pour y assurer une croissance normale d’une plante.

Avec la formule de la question 6, calculons la permittivité pour $\tau=0,28676887987\ \text{ms}$ :
$$\varepsilon=\frac{\tau\times d}{R\times S}$$
$$\varepsilon=\frac{0,28676887987\times10^{-3}\times1,0\times10^{-2}}{2,2\times10^{5}\times1,0\times10^{-1}}$$
$$\varepsilon=1,3\times10^{-10}\ \text{F.m}^{-1}$$

Graphiquement la teneur en eau est de 21 %.

D’après l’énoncé « dans ce type de sol, la teneur en eau doit être comprise entre 24 % et 38 % pour qu’une plante puisse y avoir une croissance normale ».

La teneur en eau mesurée dans ce sol argileux n’est donc pas suffisante pour y assurer une croissance normale d’une plante.