Observation de la Lune depuis la Terre

Bac Amérique du Sud 2022 Sujet 1

Exercice A – (5 points) –  Au choix du candidat – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n°22-PYCJ1AS1

EXERCICE A. OBSERVATION DE LA LUNE DEPUIS LA TERRE

Mots-clés : orbite, période de révolution, lunette astronomique, grossissement.

Lorsqu’on observe la face visible de la Lune, on distingue de grandes étendues sombres, appelées mers lunaires, et des milliers de petites tâches correspondant à des cratères. On peut en voir plusieurs dizaines de milliers depuis la Terre, mais il en existe en réalité plusieurs millions.

1.     La face cachée de la Lune

L’objectif de la première partie est de comprendre l’expression « face cachée de la Lune ».

Données :

• on se place dans le référentiel géocentrique. Son origine correspond au centre de la Terre et ses axes pointent en direction d’étoiles lointaines. Il est supposé galiléen ;
• constante de gravitation universelle : 𝐺 = 6,67 × 10⁻¹¹ m³∙kg^-1∙s^-2 ;
• distance moyenne Terre-Lune : 𝑑_𝑇𝐿 = 3,844 × 10⁵ km ;
• masse de la Terre : 𝑀_𝑇 = 5,97 × 10²⁴ kg ;
• expression de la norme du vecteur vitesse du centre de la Lune sur son orbite : $$v_L=\sqrt{\frac{G M_T}{d_{TL}}}$$
• période de rotation de la Lune sur elle-même : 𝑃_𝐿 = 27,3 jours.

1.1. Établir l’expression de la période de révolution 𝑇_𝐿 de la Lune autour de la Terre, puis calculer sa valeur.

La période de révolution est :

$$ T_L=\frac{circonference}{vitesse}=\frac{2\pi d_{TL}}{\sqrt{G\ .\frac{M_T}{d_{TL}}}}=2\pi\sqrt{\frac{d_{TL}^3}{G\times M_T}} $$

$$ T_L=2\pi\sqrt{\frac{{(3,84\times{10}^5\times{10}^3)}^3}{6,67\times{10}^{-11}\times5,97\times{10}^{24}}}=2,37\times{10}^6\ s $$

1.2. Comparer la valeur de 𝑇_𝐿 à la période de rotation de la Lune sur elle-même 𝑃_𝐿.

$$ P_L=27,3\ jours $$

$$ P_L=27,3\ \times 24\times 3600 $$

$$ P_L=2,36\times{10}^6\ s $$

$$ \frac{T_L}{P_L}=\frac{2,37\times{10}^6}{2,36\times{10}^6}=1,00 $$

La période de rotation de la Lune sur elle-même P_L est identique à la période de révolution T_L de la Lune autour de la Terre.

1.3. Sur le schéma donné en annexe 2 à rendre avec la copie, ajouter la position de la Lune et du point P aux dates 𝑃_𝐿 /4, 𝑃_𝐿 /2 et 3𝑃_𝐿/4 en justifiant votre réponse. En déduire, dans le cadre de ce modèle simple, pourquoi on parle de « face cachée de la Lune ».

Le cratère Tycho, situé dans l’hémisphère sud de la face visible de la Lune, est né il y a un peu plus d’une centaine de millions d’années suite à l’impact d’un astéroïde. Son diamètre est de 86 km.

Le centre du cratère est occupé par un ensemble de montagnes dont la base s’étale sur une quinzaine de kilomètres. Le piton central s’élève à plus de 2 000 mètres d’altitude.

Figure 1. Le cratère Tycho. Crédit : NRAO/GBO/RAYTHEON/NSF/AUI

L’objectif de cette deuxième partie est de concevoir une lunette astronomique permettant de visualiser certains détails de la surface lunaire depuis la Terre.

2.      Observation de la Lune depuis la Terre.

Données :

• distance moyenne Terre-Lune : 𝑑_𝑇𝐿 = 3,844 × 10⁵ km ;
• le pouvoir séparateur de l’œil humain est la valeur minimale de l’angle θ, supposé petit devant 1 rad, sous lequel l’œil peut distinguer deux points lumineux A et B : 𝜀 = 2,9 × 10⁻⁴ rad. On suppose que tan(θ) ≈ θ avec θ exprimé en rad.

2.1. Calculer l’angle 𝜃 sous lequel est vu le cratère Tycho depuis la Terre. En déduire s’il est possible de distinguer les contours du cratère à l’œil nu.

$$ \tan\left(\theta\right)=\frac{oppose}{adjacent} $$

$$ \tan\left(\theta\right)=\frac{AB}{d_{TL}} $$

Or

$$ \tan\left(\theta\right)\approx\theta $$

Donc

$$ \theta=\frac{AB}{d_{TL}} $$

$$ \theta=\frac{86\times{10}^3}{3,84\times{10}^5\times{10}^3} $$

$$ \theta=2,2\times{10}^{-4}\ rad $$

$$ \varepsilon=2,9\times{10}^{-4}\ rad $$

$$ \theta<\varepsilon $$
: il n’est pas possible de distinguer les contours du cratère à l’oeil nu.

Sur l’annexe 3 à rendre avec la copie, une lunette est modélisée par l’association de deux lentilles minces convergentes.

2.2. Parmi les deux lentilles utilisées, identifier celle qui joue le rôle de l’oculaire et celle qui joue le rôle de l’objectif.

L₁ : l’objectif car c’est la lentille placée vers l’objet
L₂ : l’oculaire car c’est la lentille où on place l’œil.

2.3. Sur le schéma donné en annexe 3 à rendre avec la copie :
– construire la marche du faisceau lumineux issu du point B_ꝏ considéré à l’infini au travers de la lunette ;
– faire apparaître l’image intermédiaire A₁B₁ et l’angle 𝜃^′ sous lequel est vu l’image finale A’B’ de A_ꝏB_ꝏ à travers la lunette.

Construire la marche du faisceau lumineux issu du point B_∞ considéré à l’infini au travers de la lunette ;
Le rayon lumineux issu de B_∞  pénétrant dans la lunette par le centre optique de la lentille L₁ n’est pas dévié.

Faire apparaître l’image intermédiaire A₁B₁ et l’angle θ’ sous lequel est vu l’image finale A’B’ de A_∞B_∞ à travers la lunette.
Comme  B_∞  est à l’infini, son image B₁ est dans le plan focal image de l’objectif L₁.

Pour les rayons émergeants de la lentille L₂ :

• On trace un rayon issu de B₁ passant par O₂ le centre optique de la lentille L₂. Ce rayon ne sera pas dévié.
• De plus nous savons que l’image d’un objet situé dans le plan focal objet d’une lentille se forme à l’infini. Ainsi les rayons émergeants de la lentille L₂ issue de B₁ seront parallèles à ce rayon tracé.

Les rayons étant parallèles : l’image finale A’B’ se forme à l’infini

2.4. Expliquer pourquoi cette lunette est qualifiée d’afocale et justifier l’intérêt de ce réglage.

Un système optique est dit afocal s’il donne d’un objet à l’infini une image à l’infini.
Cette lunette est qualifiée d’afocale car elle donne d’un objet A_∞B_∞  à l’infini une image A’B’ à l’infini.

2.5. Exprimer le grossissement de la lunette en fonction de 𝜃 et 𝜃^′.

Le grossissement de la lunette est :

$$ G=\frac{\theta^\prime}{\theta} $$

On admet que le grossissement de la lunette est : $G=\frac{f'{obj}}{f'{oc}}$ où 𝑓′_obj et 𝑓′_oc représentent respectivement les distances focales de l’objectif et de l’oculaire.

2.6. Déterminer la valeur limite de la distance focale de l’oculaire qu’il faut associer à un objectif de distance focale 300 mm pour pouvoir distinguer l’ensemble de montagnes qui occupe le centre du cratère Tycho.

Le candidat est invité à présenter sa démarche même si elle n’est pas complètement aboutie.

$$ G=\frac{f_{obj}^\prime}{f_{oc}^\prime} $$

$$ f_{oc}^\prime=\frac{f_{obj}^\prime}{G} $$

Or

$$G=\frac{\theta^\prime}{\theta} $$

Donc

$$ f_{oc}^\prime=\frac{f_{obj}^\prime}{\frac{\theta^\prime}{\theta}} $$

$$ f_{oc}^\prime=f_{obj}^\prime\times\frac{\theta}{\theta^\prime}$$

De plus (question 2.1.)

$$ \theta=\frac{AB}{d_{TL}}$$

Donc

$$ f_{oc}^\prime=f_{obj}^\prime\times\frac{\frac{AB}{d_{TL}}}{\theta^\prime} $$

$$ f_{oc}^\prime=f_{obj}^\prime\times\frac{AB}{d_{TL}\times\theta^\prime}$$

D’après le texte : « Le centre du cratère est occupé par un ensemble de montagnes dont la base s’étale sur une quinzaine de kilomètres ».
AB= 15 Km

On cherche la valeur limite de la distance focale de l’oculaire. Ainsi,

$$ \theta^\prime=\varepsilon=2,9\times{10}^{-4}\ rad $$

$$ f_{oc}^\prime=300\times{10}^{-3}\times\frac{15\times{10}^3}{3,84\times{10}^5\times{10}^3\times2,9\times{10}^{-4}} $$

$$ f_{oc}^\prime=4,0\times{10}^{-2}\ m $$

$$ f_{oc}^\prime=40\ mm $$

La valeur limite de la distance focale de l’oculaire qu’il faut associer à un objectif de distance focale 300 mm pour pouvoir distinguer l’ensemble de montagnes qui occupe le centre du cratère Tycho est $f_{oc}^\prime=40\ mm$.

ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE

Exercice A, question 1.3. Positions de la Lune et du point P

ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE

Exercice A, question 2.3. Schéma d’une lunette afocale