Bac Asie 2024 Sujet 1

Exercice 2 – (6 points) –  Durée 1h03 – Calculatrice autorisée

Sujet n°24-PYCJ1JA1

Exercice 2 – Observation distante (6 points)

Données :

• Distance entre le lieu d’observation et la crête de l’Arcaja : 𝐷 = 195 km
• Longueur d’une pale d’éolienne : 𝐿 = 44 m

Discernabilité à l’œil nu

Dans un premier temps, on s’intéresse à la possibilité de discerner les pales de l’éolienne à l’œil nu.

La capacité à distinguer à l’œil nu des détails sur des objets éloignés est caractérisée par le pouvoir séparateur de l’œil. Noté 𝜀 et exprimé en radian, ce pouvoir séparateur correspond à l’angle minimal devant exister entre les rayons issus de deux objets A et B lorsqu’ils atteignent l’œil d’un observateur éloigné pour qu’il puisse distinguer A et B. En appelant 𝜃 l’angle entre ces rayons (voir le document 1), la règle est donc :

• Si 𝜃 > 𝜀, les points A et B sont perçus comme distincts (on perçoit l’extension de l’objet AB).
• Si 𝜃 < 𝜀, les points A et B sont perçus comme un point unique.

Document 1 – Observation à l’œil nu d’un objet distant

Données :

• Pouvoir séparateur de l’œil de l’observateur : 𝜀 = 3,0 × 10⁻⁴ rad
• Pour des angles très petits, exprimés en radian : tan 𝜃 ≈ 𝜃

Q1- Montrer que la valeur de l’angle 𝜃 lorsque l’observateur cherche à observer une pale de l’éolienne à l’œil nu est 2,3 × 10⁻⁴ rad.

Pour des angles très petits, exprimés en radian : tan 𝜃 ≈ 𝜃
$\theta \approx \tan \theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
$\theta=\dfrac{L}{D}$
$\theta=\dfrac{44}{195\times 10^3}$
$\theta=2,3\times 10^{-4}\ rad$

Q2- Indiquer si l’observateur parvient à discerner la pale de l’éolienne à l’œil nu.

Le pouvoir séparateur de l’œil de l’observateur : $\varepsilon = 3,0\times 10^{-4}\ rad$
$\theta<\varepsilon$ : l’observateur ne parvient pas à discerner la pale de l’éolienne à l’œil nu.

Recours à une lunette afocale

Pour mieux discerner des objets distants, une des méthodes les plus simples est d’utiliser une lunette de visée, ou lunette afocale. Une telle lunette modifie le trajet des rayons issus des points A et B de sorte qu’ils parviennent à l’œil de l’observateur sous un nouvel angle

𝜃′ plus grand que l’angle 𝜃 initial. On appelle « grossissement » de la lunette, noté 𝐺, le rapport entre 𝜃′ et 𝜃 :

$$G=\frac{\theta’}{\theta}$$

Le critère pour pouvoir distinguer les détails d’un objet éloigné au travers de la lunette afocale devient alors :

𝜃^′ > 𝜀

L’observateur souhaite fabriquer une lunette afocale pour pouvoir discerner les pales de l’éolienne. Pour cela, il a besoin de connaître la relation qui lie le grossissement de la lunette aux grandeurs caractéristiques des éléments qui la constituent.

Il choisit de réaliser la lunette en utilisant deux lentilles convergentes L₁ et L₂ fixées à l’extrémité de tubes pouvant coulisser l’un dans l’autre (voir document 2). La lentille L₁ est orientée vers l’objet distant que l’on veut observer et l’œil est positionné après la lentille L₂.

Document 2 – Schéma de la lunette astronomique artisanale (les graduations sont en centimètres)

Dans la suite, on étudie ce dispositif afin d’identifier comment positionner les lentilles pour assembler une lunette afocale, puis de caractériser le grossissement de la lunette obtenue.

Pour mener cette étude, on s’appuie sur le schéma de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. Il s’agit d’un schéma de principe ; il n’est pas à l’échelle.

On note :

• F₁, F₁^′ , F₂ et F₂^′ respectivement les foyers objets et images des lentilles L₁ et L₂.
• 𝑓₁′ et 𝑓₂′ les distances focales de ces lentilles.

Q3- Sur le schéma de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, associer aux lentilles les termes d’objectif et d’oculaire.

L₁ : l’objectif car c’est une lentille convergente possédant une grande distance focale. C’est la lentille placée vers l’objet

L₂ : l’oculaire car c’est une lentille convergente possédant une petite distance focale.  C’est la lentille où on place l’œil.

Le principe d’une lunette afocale est de former l’image à l’infini d’un objet situé à l’infini.

Q4- En expliquant le raisonnement suivi, indiquer comment doit être positionné le foyer objet de l’oculaire par rapport au foyer image de l’objectif pour former une lunette afocale.

Un système optique est dit afocal s’il donne d’un objet à l’infini une image à l’infini.

Pour que la lunette soit afocale, les deux foyers  et  doivent être confondus.

Q5- Placer sur le schéma de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE les foyers F₂ et F₂^′ de la lentille L₂.

Comme la lunette est afocale, on place $F_2$ sur $F_1^\prime$.
La distance ${\rm OF}_2^\prime=OF_2$.

Q6- En déduire l’expression de la distance 𝑑 = O₁O₂ devant séparer les lentilles L₁ et L₂, en fonction de 𝑓₁′ et 𝑓₂′, pour que la lunette soit afocale.

Pour que la lunette soit afocale, les deux foyers $F_1^\prime$ et $F_2$ doivent être confondus.
Ainsi :
$O_1O_2={f^\prime}_1+{f^\prime}_2$

Pour déterminer l’expression du grossissement, on doit étudier le trajet de rayons provenant d’un point B lointain et hors axe optique.

Q7- Sur le schéma de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, tracer la marche des deux rayons lumineux issus du point B lointain au travers de la lunette, en faisant apparaitre l’image intermédiaire A₁B₁ qui se forme dans la lunette.

Le rayon lumineux issu de B pénétrant dans la lunette par le centre optique O₁ de la lentille L₁ n’est pas dévié.

Position de B₁ image intermédiaire de B : Comme l’objet  A_∞B_∞ est à l’infini, son image A₁B₁ est dans le plan focal image de l’objectif L₁.

L’autre rayon lumineux issus de B, sort de L₁ en passant par B₁.

Pour le rayon émergeant de la lentille L₂ :

• On trace un rayon issu de B₁ passant par O₂. Ce rayon ne sera pas dévié.
• De plus nous savons que l’image d’un objet situé dans le plan focal objet d’une lentille se forme à l’infini. Ainsi les rayons émergeants de la lentille L₂ issue de B₁ seront parallèles à ce rayon tracé.

Q8- Sur le schéma de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, positionner les angles 𝜃 et 𝜃′.

L’angle 𝜃 est l’angle sous lequel est vu l’objet sans la lunette.

L’angle 𝜃’ est l’angle sous lequel est vu l’objet avec la lunette.

Q9- En exploitant le schéma obtenu, montrer que le grossissement 𝐺 peut être exprimé en fonction des distances focales des lentilles par la relation :

$$G=\frac{f_1′}{f_2′}$$

$\tan\left(\theta\right)\approx\theta=\dfrac{A_1B_1}{f_1^\prime}$
$\tan\left(\theta^\prime\right)\approx\theta^\prime=\dfrac{A_1B_1}{f_2^\prime}$

$G=\dfrac{\theta^\prime}{\theta}=\dfrac{\dfrac{A_1B_1}{f_2^\prime}}{\dfrac{A_1B_1}{f_1^\prime}}=\dfrac{A_1B_1}{f_2^\prime}\times\dfrac{f_1^\prime}{A_1B_1}=\dfrac{f_1^\prime}{f_2^\prime}$

Pour assembler la lunette, l’observateur dispose d’un ensemble de lentilles dont les distances focales sont listées ci-dessous.

Données :

• Distances focales des lentilles disponibles :

5,0 cm ; 10,0 cm ; 12,5 cm ; 20,0 cm ; 30,0 cm.

• Distance entre le lieu d’observation et la crête de l’Arcaja : 𝐷 = 195 km
• Longueur d’une pale d’éolienne : 𝐿 = 44 m
• Pouvoir séparateur de l’œil de l’observateur : 𝜀 = 3,0 × 10⁻⁴ rad

Important – critère d’observation :

On fixe comme critère que l’observateur pourra distinguer les pales « confortablement » si l’angle 𝜃^′ est au moins quatre fois plus grand que le pouvoir séparateur de l’œil nu.

Q10- Proposer un choix de lentilles pour l’objectif et l’oculaire permettant à l’observateur de distinguer confortablement les pales de l’éolienne.

Pour répondre à cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

$G=\dfrac{f_1^\prime}{f_2^\prime}$
$\dfrac{f_1^\prime}{f_2^\prime}=G$

Or
$G=\dfrac{\theta^\prime}{\theta}$

Ainsi
$\dfrac{f_1^\prime}{f_2^\prime}=\dfrac{\theta^\prime}{\theta}$

Critère que l’observateur pourra distinguer les pales « confortablement » si l’angle 𝜃′ est au moins quatre fois plus grand que le pouvoir séparateur de l’œil nu.

$\theta^\prime=4\times\varepsilon$

Ainsi
$\dfrac{f_1^\prime}{f_2^\prime}=\dfrac{4\times\varepsilon}{\theta}$
$\dfrac{f_1^\prime}{f_2^\prime}=\dfrac{4\times 3,0\times 10^{-4}}{2,3\times 10^{-4}}$
$\dfrac{f_1^\prime}{f_2^\prime}=5,2$

$f_1^\prime=5,2\times f_2^\prime$

Au minimum $f_1^\prime$ doit être 5,2 fois plus grand que $f_2^\prime$

Si on prend la plus petite valeur $f_2^\prime=5,0\ cm$ : $f_1^\prime=5,2\times f_2^\prime=5,2\times 5,0=26\ cm$
Il faut choisir une lentille de distance focale supérieure à 26 cm :

Ainsi, on choisit $f_2^\prime=5,0\ cm$ et $f_1^\prime=30\ cm$

ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE

Exercice 2 – Schéma de la lunette afocale

Indiquer la fonction de chaque lentille (objectif ou oculaire) dans les cadres sous les lentilles.