Bac Métropole Septembre 2023 Sujet 1

Exercice 1 – (11 points) –  Durée 1h56 – Calculatrice autorisée

Sujet n°23-PYCJ1ME3

Sujet et corrigé

EXERCICE 1 – OBSERVATION ORNITHOLOGIQUE D’UNE OIE CENDRÉE (11 points)

Oie cendrée

Données :

• taille approximative d’une oie cendrée : 80 cm ;
• taille approximative du bec d’une oie cendrée : 7 cm ;
• distance focale de l’objectif L₁ de la longue-vue : f₁′ = 450 mm ;
• distance focale de l’oculaire L₂ de la longue-vue : f₂′ = 30 mm ;
• relation de conjugaison pour une lentille L de centre optique O : $\frac{1}{\overline{OA’}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f’}$ où $\overline{OA’}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A’, $\overline{OA}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A et f ’ est la distance focale de la lentille ;
• grandissement transversal $\gamma=\frac{\overline{OA’}}{\overline{OA}}=\frac{\overline{A’B’}}{\overline{AB}}$ où $\overline{A’B’}$ est la taille algébrique de l’image A’B’ et $\overline{AB}$ est celle de l’objet AB ;
• approximation dans le cas de petits angles (θ << 1 rad) : sin θ = θ ; tan θ= θ.

1.   Observation d’une oie cendrée à l’œil nu

Figure 1. Schéma simplifié du modèle de l’œil

La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l’œil et qui joue le rôle d’écran. L’oie cendrée est modélisée par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l’axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L’image de AB à travers la lentille L est notée A’B’.

Q1. Justifier que la position de l’image A’B’ de l’oie par la lentille L est telle que $\overline{OA’}$ = 17 mm.

Utilisons la relation de conjugaison pour trouver $\overline{OA\prime}$ :
$$\frac{1}{\overline{OA\prime}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f\prime}$$
$$\frac{1}{\overline{OA\prime}}=\frac{1}{f\prime}+\frac{1}{\overline{OA}}$$
$$\frac{1}{\overline{OA\prime}}=\frac{1\times\overline{OA}}{f\prime\times\overline{OA}}+\frac{1\times f\prime}{\overline{OA}\times f\prime}$$
$$\frac{1}{\overline{OA\prime}}=\frac{\overline{OA}+f\prime}{f\prime\times\overline{OA}}$$
$$\overline{OA\prime}=\frac{f\prime\times\overline{OA}}{\overline{OA}+f\prime}$$
$$\overline{OA\prime}=\frac{17\times10^{-3}\times-280}{-280+17\times10^{-3}}$$
$$\overline{OA\prime}=1,7\times10^{-2}\ \text{m}$$
$$\overline{OA\prime}=17\times10^{-3}\ \text{m}$$
$$\overline{OA\prime}=17\ \text{mm}$$

Q2. Vérifier que la taille de l’image A’B’ de l’oie sur la rétine de l’observateur est voisine de 49 µm. Sachant que la rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F’, préciser si l’oie est vue en entier par un observateur.

Utilisons la relation de grandissement transversal pour trouver $\overline{A\prime B\prime}$ :
$$\gamma=\frac{\overline{OA\prime}}{\overline{OA}}=\frac{\overline{A\prime B\prime}}{\overline{AB}}$$
$$\frac{\overline{A\prime B\prime}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA\prime}}{\overline{OA}}$$
$$\overline{A\prime B\prime}=\frac{\overline{OA\prime}}{\overline{OA}}\times\overline{AB}$$
$$\overline{A\prime B\prime}=-4,9\times10^{-5}\ \text{m}$$
$$\overline{A\prime B\prime}=-49\times10^{-6}\ \text{m}$$
$$\overline{A\prime B\prime}=-49\ \mu\text{m}$$

Le signe – nous indique que l’image est renversée.
Ainsi, la taille de l’image A’B’ de l’oie sur la rétine de l’observateur est voisine de 49 μm.

Comparons la taille de l’image A’B’ et la taille de la rétine :
$49\ \mu\text{m}=49\times10^{-6}\ \text{m}=4,9\times10^{-5}\ \text{m}<6\times10^{-3}\ \text{m}$
$A\prime B\prime<\text{taille de la rétine}$

Ainsi, l’oie est vue en entier par un observateur.

Figure 2. L’objet AB est vu sous un angle α par l’œil. Il peut être distinctement vu par l’œil si α > αm

Q3. Déterminer la distance minimale séparant deux points A et B d’un objet pouvant être vus lorsqu’ils sont situés à une distance de 280 m de l’œil. En déduire si l’oie peut être vue distinctement par l’observateur à l’œil nu puis déterminer si le bec de l’oie peut être observé distinctement.

$$\tan\alpha=\frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$$
$$\tan\alpha=\frac{AB}{d}$$
$$AB=d\times\tan\alpha$$

Or dans le cas de petits angles :
$$\tan\alpha=\alpha$$

Ainsi
$$AB=d\times\alpha$$
$$AB=280\times3\times10^{-4}$$
$$AB=8\times10^{-2}\ \text{m}$$
$$AB=8\ \text{cm}$$

La distance minimale séparant deux points A et B d’un objet pouvant être vus lorsqu’ils sont situés à une distance de 280 m de l’œil est $AB=8\ \text{cm}$.
La taille approximative d’une oie cendrée est 80 cm qui est supérieure à la taille minimale.
Ainsi, l’oie peut être vue distinctement par l’observateur à l’œil nu.

La taille approximative du bec d’une oie cendrée est 7 cm qui est inférieure à la taille minimale.
Ainsi, le bec de l’oie ne peut pas être observé distinctement à l’œil nu.

2.   Observation avec une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale

L’oie est désormais observée à l’aide d’une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale. Cette lunette est composée d’une lentille L₁ de distance focale f₁ ’ jouant le rôle de l’objectif et d’une lentille L₂ de distance focale f₂’ jouant le rôle de l’oculaire. On considère que l’oie, modélisée par un objet AB perpendiculaire à l’axe optique en A, est « à l’infini ». L’image de AB à travers la lentille L₁ est notée A₁ B₁ . L’image de A₁ B₁ à travers la lentille L₂ est notée A₂B₂.

Q4. Compléter la figure A1 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE pour représenter l’image A₁ B₁ formée par la lentille L₁ d’un objet AB (représentant l’oie) situé à l’infini.

La lentille L1, donne de l’objet $A_\infty B_\infty$, une image $A_1B_1$ sur le plan focal.
Le rayon issu de B, passant par O1 n’est pas dévié.
Le point B1 est défini par l’intersection de ce rayon et le plan focal.

Q5. Placer, en justifiant, le foyer objet F₂ de la lentille L₂ sur la figure A1 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

Un système optique est dit afocal s’il donne d’un objet à l’infini une image à l’infini.
Pour que la lentille L2, donne de l’objet $A_1B_1$, une image à l’infini, il faut que celui-ci soit sur le foyer $F_2$.
Ainsi, les deux foyers $F_1^\prime$ et $F_2$ sont confondus.

Une lunette astronomique est caractérisée par son grossissement d’expression :

$$G=\frac{\alpha’}{\alpha}$$

avec α l’angle sous lequel l’objet AB est vu à l’œil nu et α’ l’angle sous lequel l’image A₂B₂ est vue à travers la lunette astronomique afocale.

Figure 3. Représentation, sans souci d’échelle, de la lunette astronomique.

Q6. En considérant les angles α et α’ exprimés en radians comme petits, montrer que le grossissement de la lunette astronomique afocale peut s’exprimer par la relation :

$$G=\frac{f_1′}{f_2′}$$

Un rayon issu de B1 passant par O₂ n’est pas dévié.

$A_1B_1$ étant sur le plan focal, il donnera une image à l’infini, tous les rayons issus de B₁, passant par la lentille L₂ seront parallèles.

Plaçons $\alpha$ et $\alpha^\prime$ :

Le grossissement $G$ est défini par :
$$G=\frac{\alpha^\prime}{\alpha}$$

$$\tan(\alpha)\approx\alpha=\frac{A_1B_1}{f_1^\prime}$$
$$\tan(\alpha^\prime)\approx\alpha^\prime=\frac{A_1B_1}{f_2^\prime}$$

$$G=\frac{\alpha^\prime}{\alpha}=\frac{\frac{A_1B_1}{f_2^\prime}}{\frac{A_1B_1}{f_1^\prime}}=\frac{A_1B_1}{f_2^\prime}\times\frac{f_1^\prime}{A_1B_1}=\frac{f_1^\prime}{f_2^\prime}$$

On peut s’appuyer sur la figure A1 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

Q7. Calculer la valeur du grossissement G de la lunette astronomique afocale.

$$G=\frac{f_1^\prime}{f_2^\prime}$$
$$G=\frac{450\times10^{-3}}{30\times10^{-3}}$$
$$G=15$$

Q8. Indiquer en justifiant si l’observateur voit distinctement, à travers la longue-vue, le bec de l’oie située à 280 m.

Calculons l’angle sous lequel est vu le bec de l’oie à l’œil nu :

$$\tan\alpha=\frac{AB}{d}$$

Or dans le cas de petits angles :
$$\tan\alpha=\alpha$$

$$\alpha=\frac{AB}{d}$$
$$\alpha=\frac{7\times10^{-2}}{280}$$
$$\alpha=2,5\times10^{-4}\ \text{rad}$$

Calculons l’angle sous lequel est vu le bec de l’oie à travers la longue-vue :
$$G=\frac{\alpha^\prime}{\alpha}$$
$$\alpha^\prime=G\times\alpha$$
$$\alpha^\prime=15\times2,5\times10^{-4}$$
$$\alpha^\prime=3,8\times10^{-3}\ \text{rad}$$

D’après le sujet : le pouvoir séparateur de l’œil humain est l’angle limite, noté $\alpha_m$, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l’œil ; sa valeur est de $3\times10^{-4}\ \text{rad}$.
$$\alpha^\prime>\alpha_m$$

Ainsi, l’observateur voit distinctement, à travers la longue-vue, le bec de l’oie située à 280 m.

3.   Structure de la plume d’oie cendrée

Plume d’oie

La figure 4 donne une schématisation d’une expérience des fentes d’Young, de centres F1 et F2, ainsi qu’une photographie de la figure d’interférences obtenue.

Figure 4. Schéma du dispositif expérimental.

Un faisceau lumineux issu d’un laser de longueur d’onde λ, éclaire un objet plan totalement opaque en dehors de deux fentes, séparées d’une distance notée b. Cet objet est appelé objet « fentes d’Young ».

Le faisceau est constitué d’un ensemble de rayons parallèles, et se propage parallèlement à l’axe optique (OO’), le point O étant à égale distance des points F₁ et F₂ et le point O’ étant situé sur l’écran.

Les ondes issues des fentes interfèrent sur l’écran. En un point M de celui-ci, on admet que la différence de chemin optique entre les deux ondes s’écrit δ = F₂M – F₁M (voir figure 4).

L’écran est situé à une distance D des fentes très grande devant la distance b (D >> b).

Q9. Préciser la condition que doit vérifier la différence de chemin optique δ pour que les ondes issues des fentes interfèrent de manière constructive au point M. Indiquer en justifiant dans ce cas si la frange au point O’ est brillante ou sombre.

Pour que les ondes issues des fentes interfèrent de manière constructive au point M, la différence de chemin optique $\delta$ doit vérifier la condition :
$$\delta=k\times\lambda$$

Au point O’ :
$$\delta=F_2O^\prime-F_1O^\prime$$
Or $F_2O^\prime=F_1O^\prime$
Donc $\delta=0\ \text{m}$

Ainsi, au point O’, $\delta=k\times\lambda$ avec $k=0$ : les ondes issues des fentes interfèrent de manière constructive au point O’, la frange au point O’ est brillante.

Sur la figure 5, le point H représente le projeté orthogonal de F₁ sur le segment [F₂M]. On admet que la différence de chemin optique δ est égale à la longueur du segment [F₂H].

Figure 5. Agrandissement du schéma au niveau des fentes d’Young

Q10. Montrer que, dans les conditions de l’expérience (θ << 1 rad), il est possible d’exprimer la différence de chemin optique par la relation suivante :

δ = b · θ

D’après le sujet : on admet que la différence de chemin optique $\delta$ est égale à la longueur du segment $[F_2H]$.
$$\delta=F_2H$$

Dans le cas de petits angles $(\theta\ll1\ \text{rad})$ : $\sin\theta=\theta$
$$\sin\theta=\frac{F_2H}{b}$$
Ainsi
$$\theta=\frac{F_2H}{b}$$
$$F_2H=\theta\times b$$

Donc
$$\delta=b\times\theta$$

On montre, avec une très bonne approximation, que l’angle θ est égal à l’angle $\widehat{O’OM}$ rectangle O’OM représenté sur la figure 6. L’abscisse du point M sur l’axe O’x est notée x.

Figure 6. Mise en évidence de l’angle θ dans le triangle O’OM

Q11. Après avoir exprimé l’angle θ en fonction de D et x, montrer que la différence de chemin optique δ a pour expression :

$$\delta=\frac{b\cdot x}{D}$$

Dans le cas de petits angles $(\theta\ll1\ \text{rad})$ : $\tan\theta=\theta$
$$\tan\theta=\frac{x}{D}$$
Donc
$$\theta=\frac{x}{D}$$

Or $\delta=b\times\theta$
Donc
$$\delta=b\times\frac{x}{D}$$
$$\delta=\frac{b\times x}{D}$$

Q12. En déduire l’expression des abscisses x_k des franges brillantes, en fonction de λ, D, b et d’un entier relatif k.

$$\delta=\frac{b\times x}{D}$$
$$\frac{b\times x}{D}=\delta$$
$$b\times x=\delta\times D$$
$$x=\frac{\delta\times D}{b}$$

Or pour que les ondes issues des fentes interfèrent de manière constructive au point M, la différence de chemin optique $\delta$ doit vérifier la condition :
$$\delta=k\times\lambda$$

Ainsi
$$x_k=\frac{k\times\lambda\times D}{b}$$

Q13. Montrer que l’interfrange i est donnée par l’expression littérale suivante :

$$i=\frac{\lambda\cdot D}{b}$$

L’interfrange, notée 𝑖, est par définition la distance entre deux franges de même nature consécutives.

$$i=x\left(k+1\right)-x\left(k\right)$$

$$i=\frac{\left(k+1\right)\times\lambda\times D}{b}-\frac{k\times\lambda\times D}{b}$$
$$i=\frac{\left(k+1\right)\times\lambda\times D-k\times\lambda\times D}{b}$$
$$i=\frac{k\times\lambda\times D+1\times\lambda\times D-k\times\lambda\times D}{b}$$
$$i=\frac{1\times\lambda\times D}{b}$$

$$i=\frac{\lambda\times D}{b}$$

Figure 7. Schéma simplifié d’une plume (d’après https://askabiologist.asu.edu)

On réalise la même expérience que celle décrite dans la figure 4 en remplaçant l’objet « fentes d’Young » par une plume d’oie, éclairée avec un laser dont la longueur d’onde est λ = 650 nm. L’écran est placé à une distance D = 74 cm de la plume. On obtient alors une figure d’interférences dont la photographie (en négatif) est donnée sur figure A2 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

L’écran est rapporté à un repère d’origine O’ et d’axes O’x et O’y orthogonaux.

Dans un modèle très simplifié, il est possible de montrer que les interférences sont constructives uniquement en des points de coordonnées (x_k, y_ℓ), vérifiant les relations

$$x_k = k \cdot \frac{\lambda \cdot D}{b_{\text{barbe}}} \quad \text{et} \quad y_\ell = \ell \cdot \frac{\lambda \cdot D}{b_{\text{barbule}}}$$

où k et 𝑃 sont des entiers relatifs.

Le modèle prévoit que seulement certains de ces points sont lumineux du fait de détails de la géométrie des plumes auxquels on ne s’intéresse pas ici.

Q14. Montrer que le modèle simplifié permet d’expliquer certaines caractéristiques de la figure d’interférences observée sur la figure A2 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. Dans les cases vides de cette figure, identifier, en justifiant, l’axe O’x puis l’axe O’y.

$$i=\frac{\lambda\times D}{b}$$
$$i_{barbule}=\frac{\lambda\times D}{b_{barbule}}$$
$$i_{barbe}=\frac{\lambda\times D}{b_{barbe}}$$

$$b_{barbule}<b_{barbe}$$
$$\frac{1}{b_{barbule}}>\frac{1}{b_{barbe}}$$
$$\frac{\lambda\times D}{b_{barbule}}>\frac{\lambda\times D}{b_{barbe}}$$
$$i_{barbule}>i_{barbe}$$
$$i_2>i_1$$

La figure d’interférences observée sur la figure A2 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE montre effectivement que
$$i_2>i_1.$$
Ainsi, le modèle simplifié permet d’expliquer certaines caractéristiques de la figure d’interférences observée sur la figure A2 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

Q15. En exploitant la figure A2 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, évaluer les valeurs des interfranges i₁ et i₂ puis en déduire les valeurs des espacements b_barbule et b_barbe.

Schéma	Réel
3,9 cm	1,0 cm
5,0 cm	$i_2$

$$i_2=\frac{5,0\times 1,0}{3,9}$$
$$i_2=1,3\ cm$$
$$i_2=1,3\times{10}^{-2}\ m$$

$$10\ i_1=\frac{3,8\times 1,0}{3,9}$$
$$10\ i_1=0,97\ cm$$
$$\ i_1=\frac{0,97\times{10}^{-2}\ }{10}$$
$$i_1=9,7\times{10}^{-4}\ m$$

$$i=\frac{\lambda\times D}{b}$$
$$i\times b=\lambda\times D$$
$$b=\frac{\lambda\times D}{i}$$

$$b_{barbule}=\frac{\lambda\times D}{i_2}$$
$$b_{barbule}=\frac{650\times{10}^{-9}\times 74\times{10}^{-2}}{1,3\times{10}^{-2}}$$
$$b_{barbule}=\ 3,7\times{10}^{-5}\ m$$

$$b_{barbe}=\frac{\lambda\times D}{i_1}$$
$$b_{barbe}=\frac{650\times{10}^{-9}\times 74\times{10}^{-2}}{9,7\times{10}^{-4}}$$
$$b_{barbe}=\ 5,0\times{10}^{-4}m$$

ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE

Figure A1. Schéma de la longue-vue (représentée sans souci d’échelle) assimilée à une lunette astronomique afocale

Figure A2. Figure d’interférences obtenue avec la plume d’oie

Il s’agit d’une photographie en négatif : les points sombres sur la photographie correspondent à des points brillants dans la réalité.