Observations de la division de Cassini

Asie 2022 Sujet 1

Exercice B – (5 points) –  au choix du candidat – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n° 22-PYCJ1JA1

Mots-clés: lunette afocale, choix de l’oculaire.

Pour un astronome amateur, l’observation de Saturne et de ses anneaux est un émerveillement. Ceux-ci sont observables avec une lunette astronomique.

La division de Cassini est une ligne sombre qui sépare deux anneaux concentriques. On l’observe à l’aide d’une lunette commerciale dont les caractéristiques sont :

  • Objectif de focale 650 mm ;
  • Trois oculaires interchangeables de focales respectives : 6 mm, 12,5 mm et 20 mm.

Cet exercice porte sur le choix de l’oculaire pour pouvoir distinguer la division de Cassini.

Document : Diamètre apparent et pouvoir de résolution

  • Le diamètre apparent d’un objet est l’angle 𝜃 entre les rayons lumineux issus des points extrémaux de cet objet lorsqu’ils atteignent l’oeil nu d’un observateur.
  • Le pouvoir de résolution θ𝑠 de l’oeil est l’angle limite en deçà duquel l’oeil ne peut distinguer séparément les deux points extrémaux.

Données :

  • Pour un œil humain, le pouvoir de résolution a pour valeur : 𝜃𝑠 = 3,0 × 10−4 rad.
  • Diamètre apparent de Saturne, anneaux compris : 𝜃sat  = 2,08 × 10−4 rad.
  • Diamètre apparent de la division de Cassini : 𝜃cas = 3,39 × 10−6 rad.
  • On rappelle que le grossissement 𝐺 de la lunette est défini comme étant le rapport du diamètre apparent de l’image observée à travers la lunette 𝜃′ à celui de l’objet 𝜃 observé à l’œil nu : G=\frac{\theta}{\theta'}
  • Une lunette est dite afocale si elle donne une image à l’infini d’un objet situé à l’infini.
  • Pour un petit angle α, exprimé en radians, tan α ≃ α.

Grossissement nécessaire

1. Expliquer pourquoi la division de Cassini ne peut pas être distinguée à l’œil nu.

Reponse :

Ainsi Cassini ne peut pas être distingué à l’oeil nu.

2. Montrer que le grossissement minimal nécessaire pour observer la division de Cassini est d’environ 89.

Reponse :

Le grossissement minimal est de 88,5 soit environ 89.

Modélisation de la lunette astronomique utilisée

Pour atteindre le grossissement nécessaire, on a le choix entre plusieurs oculaires repérés par leur distance focale. Afin d’identifier le plus adapté, on cherche une relation entre le grossissement et les distances focales de l’objectif et de l’oculaire.

Pour cela, on modélise la lunette commerciale sur un banc optique par deux lentilles convergentes, (L1) et (L2), de distances focales respectives 𝑓′ et 𝑓′. On place la lentille (L1) suivie de la lentille (L2). L’objet lumineux se trouve avant (L1) ; l’observateur place son œil après (L2).

On ajuste ensuite la position des deux lentilles de telle sorte que le foyer image F1‘ de la première lentille coïncide avec le foyer objet 𝐹2 de la seconde lentille.

On observe un objet AB situé à l’infini :

  • Le point 𝐴 est sur l’axe optique. Les rayons issus de 𝐴 parviennent à la lentille (L1) parallèlement à l’axe optique.
  • Le point 𝐵 est situé hors axe optique. Les rayons issus de 𝐵 parviennent à la lentille (L1) parallèlement entre eux et avec un angle 𝜃 avec l’axe optique.

Sur le schéma en ANNEXE PAGE 16/16 À RENDRE AVEC LA COPIE, deux rayons issus de B sont tracés. Ce schéma n’est pas à l’échelle.

3. Sur le schéma en ANNEXE PAGE 16/16 À RENDRE AVEC LA COPIE, identifier l’objectif et l’oculaire de cette lunette en écrivant ces termes au-dessus des lentilles concernées.

Reponse :

L1 : l’objectif car c’est une lentille convergente possédant une grande distance focale. C’est la lentille placée vers l’objet

L2 : l’oculaire car c’est une lentille convergente possédant une petite distance focale. C’est la lentille où on place l’oeil.

4. Sur le schéma en ANNEXE PAGE 16/16 À RENDRE AVEC LA COPIE, construire l’image A1B1 de AB donnée par la lentille (L1).

Reponse :

Le rayon lumineux 3 issu de B pénétrant dans la lunette par le centre optique O1 de la lentille L1 n’est pas dévié.

Position de B1 image intermédiaire de B : Comme B est à l’infini, son image B1 est dans le plan focal image de l’objectif L1.

L’autre rayon lumineux issu B est dévié vers B1.

5. Sur le schéma en ANNEXE PAGE 16/16 À RENDRE AVEC LA COPIE, représenter le faisceau émergent délimité par les deux rayons issus de B et traversant la lunette.

Reponse :

Pour les rayons émergeants de la lentille L2 :

  • On trace un rayon issu de B1 passant par O2. Ce rayon ne sera pas dévié.
  • De plus nous savons que l’image d’un objet situé dans le plan focal objet d’une lentille se forme à l’infini. Ainsi les rayons émergeants de la lentille L2 issue de B1 seront parallèles à ce rayon tracé.

6. Indiquer la position de l’image définitive B’ du point B à travers la lunette et justifier que cette lunette est bien afocale.

Reponse :

La lentille L1, donne de l’objet AB une image A_1 B_1sur le foyer image F1′. Les deux foyers F1′ et F2 sont confondus, ainsi la lentille L2, donne de l’objet A1 B1, une image A’B’ à l’infini. « Un système optique est dit afocal s’il donne d’un objet à l’infini une image à l’infini. » La lunette est donc afocale.

7. Indiquer sur le schéma en ANNEXE PAGE 16/16 À RENDRE AVEC LA COPIE le diamètre apparent de l’image 𝜃′ à travers la lunette.

Reponse :

8. Etablir, en précisant les étapes, la relation liant le grossissement 𝐺 aux distances focales 𝑓1′ et 𝑓2′.

Reponse :

Choix de l’oculaire

9. Sur la base des résultats précédents, déterminer l’oculaire que doit choisir l’utilisateur parmi les trois proposés en introduction pour pouvoir observer la division de Cassini. Justifier.

Reponse :

Il faut choisir l’oculaire f2‘=6 mm pour pouvoir observer Cassini.

ANNEXE PAGE 16/16 À RENDRE AVEC LA COPIE

Schéma sans considération d’échelle.