Points de règlement au tennis de table

Bac Amérique du nord 2024 Sujet 2

Exercice 1 – (11 points) – Durée 1h56 – Calculatrice autorisée

Sujet n°24-PYCJ2AN1

EXERCICE 1 : points de règlement au tennis de table (11 points)

Le tennis de table est un sport de raquette opposant deux ou quatre joueurs autour d’une table. C’est un sport olympique depuis 1988.

La balle utilisée est une sphère en celluloïd ou en matière plastique (exemple : polypropylène), aux propriétés voisines, de couleur orange ou blanche. En compétition, elle pèse 2,7 g et a un diamètre de 40 mm. Lors des compétitions officielles, les joueurs jouent avec des balles de catégorie « trois étoiles ». Ces balles sont de meilleure qualité, c’est-à-dire plus rondes et plus dures.

Balle 3 étoiles utilisée en compétition
D’après fr.wikipedia.org/wiki/Tennis_de_table

Dans cet exercice, on s’intéressera à l’application de deux articles du règlement de la Fédération Française de Tennis de Table (F.F.T.T.) puis à la détermination de la vitesse de la balle lors d’un coup droit smashé.

Données :

g = 9,81 N·kg^-1 : valeur de référence de l’intensité du champ de pesanteur terrestre local ;
article 2.6.2 du règlement sportif de la F.F.T.T : Le serveur lance alors la balle verticalement vers le haut, seulement avec la main, et sans lui communiquer d’effet, de telle manière qu’elle s’élève d’au moins 16 cm après avoir quitté la paume de la main libre et retombe ensuite sans toucher quoi que ce soit avant d’être frappée ;
article 2.1.3 du règlement sportif de la F.F.T.T : La surface de jeu peut être faite de n’importe quelle matière et doit permettre un rebond uniforme d’environ 23 cm lorsqu’on laisse tomber une balle réglementaire sur cette surface d’une hauteur de 30 cm au-dessus d’elle.

Dans tout l’exercice la balle est modélisée par un objet ponctuel dont on étudie le mouvement assimilé à celui de son centre de masse, noté M. Dans les conditions de l’expérience, le champ de pesanteur terrestre local 𝑔⃗ est supposé uniforme et les frottements liés à l’action de l’air sont négligés.

Le mouvement du point M est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen et muni d’un
repère d’axes $(Ox, Oy)$, respectivement horizontal muni du vecteur unitaire $\overrightarrow{i}$
et vertical muni du vecteur unitaire $\overrightarrow{j}$
(Figure 1).

Figure 1 : repère d’étude du mouvement de la balle

1. Trajectoire d’une balle lors du lancer

La vidéo d’un joueur au service en compétition permet d’obtenir la chronophotographie suivante (Figure 2). On peut alors, à l’aide d’un logiciel d’analyse, tracer l’évolution de la valeur de la vitesse de la balle en fonction du temps (Figure 3).

Figure 2 : chronophotographie du mouvement de la balle

Figure 3 : évolution de la valeur de la vitesse de la balle en fonction du temps

À la date $t = 0\ \text{ms}$, la balle quitte la main du joueur : son centre de masse noté $M$ se trouve alors à l’origine du repère $O$ et son vecteur vitesse initiale est noté $\overrightarrow{v_0}$.

Q.1. Exprimer les composantes 𝑎𝑥 et 𝑎𝑦 du vecteur accélération 𝑎⃗ du point M, à un instant quelconque du mouvement.

Système {balle}
Référentiel terrestre supposé galiléen

D’après la deuxième loi de newton :
$\Sigma\overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}$
$m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{a}$

Or
$\overrightarrow{g}\ \left|\begin{matrix}0 \\ -g\end{matrix}\right.$

Le vecteur accélération du centre d’inertie du solide est égal au vecteur champ de pesanteur.

$\overrightarrow{a}\ \left|\begin{matrix}a_{x(t)}=0 \\ a_{y(t)}=-g\end{matrix}\right.$

Q.2. Justifier à l’aide de la figure 2 que la norme du vecteur vitesse de la balle v(t) est assimilable à la valeur de sa composante verticale vy.

La figure 2 montre que la balle à un mouvement assimilable à un mouvement sur l’axe oy uniquement.
La vitesse étant tangente à la trajectoire, on peut dire que la norme du vecteur vitesse de la balle v(t) est assimilable à la valeur de sa composante verticale Vy.

On notera pour la suite de l’exercice vy(t) = v(t).

Q.3. En déduire qu’à un instant quelconque du mouvement l’expression littérale de la vitesse v(t) du point M peut être modélisée sous la forme :

v(t) = – g × t + v₀

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$
$a_{y(t)}=\frac{dv_{y(t)}}{dt}$

On intègre ay :
$v_{y(t)}=-gt+C_1$

Pour trouver les constantes, on utilise $\overrightarrow{v}_0$
$\overrightarrow{v}0\ \left|\begin{matrix}v_{0x}=0\\v_{0y}=v_0\end{matrix}\right.$

d’où
$v_{y(t)}=-gt+v_0$

Q.4. Justifier sans calcul que ce modèle de la vitesse v(t) est en accord avec les points expérimentaux obtenus sur la figure 3.

$v_{y(t)}=-gt+v_0$ : fonction affine, donc droite ne passant pas par l’origine avec un coefficient directeur négatif.

La représentation de v_y(t) est une fonction affine
Ainsi, ce modèle de la vitesse v(t) est en accord avec les points expérimentaux obtenus sur la figure 3.

Q.5. En déduire une valeur de l’intensité du champ de pesanteur terrestre local, g.

Calculons le coefficient directeur de la courbe :
$k=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
$k=\frac{0-3,2}{320\times{10}^{-3}-0}$
$k=-10\ m.s^{-2}$

$v_{y(t)}=-gt+v_0$
$-g$ est le coefficient directeur :
$-g=k$
$g=-k$
$g=10\ m.s^{-2}$

Q.6. Proposer une origine à l’écart observé avec la valeur de référence de l’intensité du champ de pesanteur terrestre local, g = 9,81 N·kg^-1.

Nous avons assimilé la norme du vecteur vitesse de la balle v(t) à la valeur de sa composante verticale Vy. Ceci peut être une origine à l’écart observe avec la valeur de référence de l’intensité du champ de pesanteur terrestre local, $g = 9,81\ N.kg^{-1}$.

Q.7. Montrer que l’expression littérale de l’équation horaire de la position du point M au cours de son mouvement s’écrit :

$$ y(t)=-\frac{1}{2}\times g\times t^2+v_0\times t $$

$v_{y(t)}=-gt+v_0$
$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$
$v_{y(t)}=\frac{dy(t)}{dt}$

On intègre :
$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\times t+C_2$
Pour trouver les constantes, on utilise $\overrightarrow{OG}_0$

$\overrightarrow{OG}_0\ \left|\begin{matrix}x_0=0\\y_0=0\end{matrix}\right.$

d’ou
$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\times t$

On note h_MAX la hauteur maximale atteinte par le centre de masse M de la balle lors du lancer. On dispose en figure 4 d’un programme écrit en langage python, python 1 qui, après saisie de h_MAX, donne accès à la valeur de v₀.

Figure 4 : python 1

Q.8. Exploiter les expressions de y(t) et v(t), pour justifier la formule v_0 = np.sqrt(2*g*h_max) présente à la ligne 6 de la figure 4.

Lorsque la balle atteint $h_{max}$ , elle ne monte plus, sa vitesse s’annule :
$v(t_{max})=-gt_{max}+v_0=0$
$-gt_{max}=-v_0$
$t_{max}=\frac{v_0}{g}$

De plus, $h_{max}$ est la hauteur maximale atteinte par le centre de masse M de la balle lors du lancer.
$y(t_{max})=-\frac{1}{2}g{t_{max}}^2+v_0\times t_{max}$
$h_{max}=-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0}{g}\right)^2+v_0\times\frac{v_0}{g}$

$h_{max}=-\frac{1}{2}g\frac{{v_0}^2}{g^2}+\frac{{v_0}^2}{g}$
$h_{max}=-\frac{1}{2}\times\frac{{v_0}^2}{g}+\frac{{v_0}^2}{g}$
$h_{max}=\frac{1}{2}\times\frac{{v_0}^2}{g}$

$\frac{1}{2}\times\frac{{v_0}^2}{g}=h_{max}$

${v_0}^2=2\times g\times h_{max}$

$v_0=\sqrt{2\times g\times h_{max}}$
D’où la formule v_0=np.sqrt(2gh_max)

Lors de l’exécution du programme, la fenêtre suivante s’ouvre :

Q.9. Recopier et compléter cette fenêtre d’exécution en déterminant la valeur de h_max lorsqu’on se place dans la condition décrite à l’article 2.6.2 du règlement de la F.F.T.T.

Article 2.6.2 du règlement sportif de la F.F.T.T: Le serveur lance alors la balle verticalement vers le haut, seulement avec la main, et sans lui communiquer d’effet, de telle manière qu’elle s’élève d’au moins 16 cm après avoir quitté la paume de la main libre et retombe ensuite sans toucher quoi que ce soit avant d’être frappée.

Ainsi h_{max}=0.16 (on rentre la valeur de la hauteur en mètres)

Q.10. Calculer alors la valeur minimale de v₀ que le programme va afficher.

$v_0=\sqrt{2\times g\times h_{max}}$
$v_0=\sqrt{2\times9,81\times16\times{10}^{-2}}$
$v_0=1,8\ m.s^{-1}$

La valeur minimale de v₀ que le programme va afficher est v₀=1,8 m.s^-1.

On souhaite faire évoluer le programme précédent pour afficher la vitesse de lancer en km·h^-1. On écrit le programme python 2 de la figure 5.

Figure 5 : python 2

Q.11. Compléter sur votre copie la ligne 8 du programme de la figure 5 afin de calculer la vitesse de lancer en km·h^-1.

Pour convertir une vitesse en km.h-1 il faut la multiplier par 3,6 : v_ini=v_0*3.6

2. Qualité d’une balle de tennis de table

Pour vérifier la qualité d’une balle de tennis de table (article 2.1.3), un élève réalise une vidéo de la chute et du rebond d’une balle lâchée sans vitesse initiale depuis une hauteur h = 30 cm. Le pointage des positions de l’objet lors des différentes phases de son mouvement lui permet d’effectuer son étude énergétique (Figure 6).

Figure 6 : évolutions des énergies mécanique, cinétique et potentielle de pesanteur de la balle lâchée depuis h = 30 cm

Q.12. Associer, pour la première phase du mouvement (temps compris entre 0,00 et 0,24 s), les symboles ●, ▲ et + aux énergies mécanique, cinétique et potentielle de pesanteur en justifiant les choix.

Lors de la chute d’une balle, son énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}=mgz$ diminue car son altitude z diminue.
Ainsi, la courbe ▲ est celle de l’énergie potentielle de pesanteur.

Lors de la chute d’une balle, sa vitesse augmente, son énergie cinétique $E_c=\frac{1}{2}mv^2$ augmente.
Ainsi, la courbe ● est celle de l’énergie cinétique.

L’énergie mécanique $E_m$ est la somme de l’énergie cinétique et potentielle de pesanteur. La courbe la représentant est donc supérieure aux deux autres courbes.
Ainsi, la courbe + est celle de l’énergie mécanique.

On réalise une étude énergétique dans la phase après le rebond (à partir de t > 0,24 s).

Q.13. Vérifier par le calcul, à l’aide de quelques données expérimentales prises sur la Figure 6, que l’énergie mécanique se conserve dans cette phase et a une valeur proche de 6,7 mJ.

$E_m=E_c+E_{pp}$
Vérifions si l’énergie se conserve après rebond :

$E_m=E_c+E_{pp}$
$E_m=6,1+0,6$
$E_m=6,6\ mJ$

$E_m=E_c+E_{pp}$
$E_m=4,0+2,8$
$E_m=6,8\ mJ$
Ainsi, l’énergie mécanique se conserve dans cette phase et a une valeur proche de 6,7 mJ.

Q.14. Déterminer la hauteur du rebond de la balle. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche. Toute démarche, même non aboutie, sera valorisée.

Pour trouver la hauteur du rebond nous allons prendre la valeur maximale de l’énergie potentielle de pesanteur : lorsque l’énergie cinétique sera nulle, l’énergie potentielle sera maximale ${\rm Epp}_{max}=6,7\ mJ$

${\rm Epp}_{max}=m\times g\times h$
$m\times g\times h={\rm Epp}_{max}$
$h=\frac{{\rm Epp}_{max}}{m\times g}$
$h=\frac{6,7\times{10}^{-3}}{2,7\times{10}^{-3}\times9,81}$
$h=0,25\ m$

La hauteur du rebond de la balle est de 0,25 m soit 25 cm.
Article 2.1.3 du règlement sportif de la F.F.T.T: La surface de jeu peut être faite de n’importe quelle matière et doit permettre un rebond uniforme d’environ 23 cm lorsqu’on laisse tomber une balle règlementaire sur cette surface d’une hauteur de 30 cm au-dessus d’elle.
Dans notre cas, la balle est lâchée d’une hauteur de 30 cm et remonte après rebond à 25 cm. Cette valeur est en accord avec la valeur réglementaire d’environ 23 cm. La surface utilisée est donc réglementaire.

3. Vitesse d’un coup droit smashé au tennis de table

Pour améliorer la rapidité de son coup droit, un joueur se munit à l’entraînement d’un cinémomètre, appareil qui mesure la vitesse d’un objet, par effet Doppler (Figure 7).

Figure 7 : cinémomètre Doppler

Pour que la mesure de la vitesse soit la meilleure possible, il est nécessaire de placer l’appareil de mesure sur la partie opposée de la table face au joueur (Figure 8).

Figure 8 : mise en pratique du cinémomètre Doppler

Le cinémomètre utilise une onde électromagnétique monochromatique. Il est constitué :

d’un émetteur qui génère une onde de fréquence f₀ = 24,125 GHz en direction de la balle (1 GHz = 10⁹ Hz) ;
d’un récepteur qui reçoit l’onde après réflexion sur la balle à la fréquence f_R ;
d’une chaîne de traitement électronique qui compare le signal émis et le signal reçu.

On note Δf le décalage Doppler mesuré par l’appareil lors de son utilisation.

Données :

l’expression de la valeur absolue du décalage Doppler en fonction de la vitesse v de la balle, la célérité conde de l’onde électromagnétique et la fréquence f₀ générée par l’émetteur :

$$ \left|\Delta f\right|=2\times f_0\times\frac{v}{c_{\text{onde}}} $$

la célérité de l’onde électromagnétique dans le vide est supposée connue.

Q.15. Expliquer pourquoi la situation illustre l’effet Doppler.

Le cinémomètre émet une onde d’une certaine fréquence qui va se réfléchir sur la balle. Cette balle qui est en mouvement perçoit une fréquence différente. Celle-ci se comporte a son tour comme un émetteur et réfléchie l’onde. Le récepteur perçoit une fréquence différente du fait du déplacement relatif émetteur récepteur.
Ainsi, la situation illustre l’effet Doppler.

Q.16. Déterminer le signe du décalage Doppler dans la situation où la balle smashée s’approche du cinémomètre.

$\Delta f=f_r-f_0$
Lorsque l’émetteur et le récepteur se rapprochent, la fréquence perçue est plus grande.
Ainsi $f_r>f_0$
Donc $\Delta f=f_r-f_0>0$

Suite au smash réalisé par un joueur amateur, l’appareil mesure un décalage Doppler dont la valeur absolue est IΔfI = 4470 Hz.

Q.17. Calculer la vitesse de ce smash.

$\Delta f=2\times f_0\times\frac{v}{c_{onde}}$
$2\times f_0\times\frac{v}{c_{onde}}=\Delta f$
$v=\frac{\Delta f\times c_{onde}}{2\times f_0}$
$v=\frac{4470\times3,00\times{10}^8}{2\times24,125\times{10}^9}$
$v=27,8\ m.s^{-1}$

Le record du monde du smash le plus rapide a été établi en 2003 par Mark Brandt avec une vitesse atteinte de 112,5 km·h^-1.

Q.18. Indiquer, en justifiant, si la vitesse du smash du joueur amateur est du même ordre de grandeur que le record du monde.

Le record du monde du smash le plus rapide a été établi en 2003 par Mark Brandt avec une vitesse atteinte de 112,5 km·h^-1.
Calculons la vitesse de notre balle en km.h-1
$v=27,8\ m.s^{-1}$
$v=27,8\times3,6$
$v=100\ km.h^{-1}$

La vitesse du smash du joueur amateur est du même ordre de grandeur (102 km·h^-1) que le record du monde.