Pompe à chaleur et habitation

Bac Polynésie 2023 Sujet 1

Exercice 3 – (5 points) –  Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n°23-PYCJ1PO1

Sujet et corrigé

EXERCICE 3 – POMPE À CHALEUR ET HABITATION (5 points).

Soucieux de diminuer son impact carbone, un particulier souhaite remplacer la chaudière à gaz de son habitation par un système de chauffage bas carbone. Une entreprise spécialisée lui propose alors une pompe à chaleur air/eau.

Une pompe à chaleur, PAC en abrégé, air/eau est un dispositif de chauffage qui effectue un transfert thermique depuis l’air extérieur vers l’eau chaude circulant dans les radiateurs de l’habitation. Elle est constituée d’un module situé à l’intérieur de l’habitation et d’un autre à l’extérieur.

L’objectif de cet exercice est d’étudier l’adaptation de la pompe à chaleur avec l’habitation du particulier.

Données :

• Caractéristiques de la pompe à chaleur étudiée :

Puissance maximale Pmax fournie pour chauffer l’eau des radiateurs	7,0 kW
Niveau d’intensité sonore L1 mesuré à 5 m du module extérieur	46 dB

Étude thermodynamique de la PAC.

On considère une journée où la température extérieure Text est égale à 2 °C. Un transfert thermique à travers les murs s’opère depuis l’air intérieur de la maison vers l’air extérieur.

Figure 1. Schéma en coupe du mur en brique de la maison de résistance thermique R_th.

Q1. Identifier, en le justifiant, le mode de transfert thermique s’effectuant au travers d’un mur.

Au travers d’un mur, le transfert thermique s’effectue par contact sans déplacement de matière. Le mode de transfert thermique est la conduction.

On rappelle que le flux thermique ϕ est relié à l’écart de température T_int -T_ext à la résistance thermique R_th par la relation :

$$\phi=\frac{T_{int}-T_{ext}}{R_{th}}$$

Dans le cas du mur, la résistance thermique R_th dépend de l’épaisseur e du mur (en m), de sa surface S (en m²) et d’un paramètre caractéristique du matériau appelé conductivité thermique noté λ (en W·m^–1·K^–1) par la relation :

$$R_{th}=\frac{e}{\lambda \times S}$$

Q2. Indiquer, en utilisant les deux relations précédentes, comment évolue le flux thermique ϕ lorsque l’épaisseur e du mur augmente.

$$\Phi=\frac{T_{int}-T_{ext}}{R_{th}}$$
$$R_{th}=\frac{e}{\lambda\times S}$$

D’ou
$$\Phi=\frac{T_{int}-T_{ext}}{\frac{e}{\lambda\times S}}$$
$$\Phi=\left(T_{int}-T_{ext}\right)\times\frac{\lambda\times S}{e}$$
Le flux thermique est inversement proportionnel à l’épaisseur e. Lorsque l’épaisseur e augmente, le flux thermique diminue.

À l’aide d’un système de régulation, la température de l’air intérieur de la maison est maintenue constante à une valeur T_int égale à 19 °C. La température de l’eau chaude circulant dans les radiateurs est T_rad égale à 55 °C.

Q3. Indiquer et justifier le sens du transfert thermique Q_rad/air s’opérant entre les radiateurs et l’air intérieur de la maison.

Le transfert thermique s’effectue toujours du corps chaud vers le corps froid.
$T_{int}<T_{rad}$
Le transfert thermique s’effectue donc des radiateurs vers l’air intérieur de la maison.

On souhaite réaliser un bilan thermique du système « air intérieur » pendant une durée d’une heure de cette journée d’hiver. Par convention, les transferts thermiques sont comptés négativement lorsqu’ils sont cédés par le système et positivement lorsqu’ils sont reçus. On considère alors que s’effectuent un transfert thermique entre l’air intérieur et les murs noté Q_mur ainsi qu’un transfert thermique entre l’air intérieur et les autres parois (toit, fenêtres, sol…) noté Q_autres. On admet également que le système n’échange pas de travail avec l’extérieur.

Données :

• La durée du bilan thermique est égale à une heure ;
• Le transfert thermique au travers des murs noté Q_mur est égal à − 4,3 MJ ;
• Transfert thermique au travers des autres parois noté Q_autres est égal à − 7,1 MJ ;
• 1 MJ = 10⁶ J.

Q4. En utilisant le premier principe de la thermodynamique au système « air intérieur », montrer que :

Q_rad/air = – Q_mur − Q_autres

Système : air intérieur
$$\Delta U=Q+W$$
Or $W=0$ car le système n’échange pas de travail avec l’extérieur.
Donc $\Delta U=Q$
Or $\Delta U=Q_{rad/air}+Q_{mur}+Q_{autres}$
Or la température est maintenue constante donc $\Delta U=0$
$$0=Q_{rad/air}+Q_{mur}+Q_{autres}$$
$$Q_{rad/air}=-Q_{mur}-Q_{autres}$$

Q5. À l’aide des données, calculer la valeur de Q_rad/air.

$$Q_{rad/air}=-Q_{mur}-Q_{autres}$$
$$Q_{rad/air}=-\times -4,3-\times -7,1$$
$$Q_{rad/air}=11,4\ MJ$$

Q6. En déduire si la puissance de la PAC est suffisante pour chauffer l’eau des radiateurs.

$$P=\frac{E}{\Delta t}$$
$$P_{min}=\frac{Q_{rad/air}}{\Delta t}$$
$$P_{min}=\frac{11,4\ \times {10}^6}{1\times 60\times 60}$$
$$P_{min}=3,2\times {10}^3W$$
$$P_{min}=3,2\ kW$$
La puissance de la PAC est 7,0kW, elle est supérieure à la puissance minimale pour chauffer l’eau des radiateurs.

Étude sonore de la PAC.

Le module extérieur de la PAC générant du bruit, le propriétaire souhaite s’assurer qu’il n’exposera pas son voisinage à des nuisances sonores.

La propriété voisine la plus proche est située à 5 m de l’endroit où serait installé le module extérieur de la PAC.

La législation impose de limiter l’émergence sonore nocturne à 3 dB. L’émergence sonore est définie par la différence entre le niveau sonore ambiant comportant celui de la PAC, et le niveau sonore habituel sans tenir compte de la PAC.

Données :

• Le niveau d’intensité sonore L est lié à l’intensité sonore I par la relation :

$$L=10 \times \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

avec I₀ = 1,0×10⁻¹² W·m⁻² intensité sonore de référence.
L s’exprime en décibels (dB) et I en watt par mètre carré (W·m⁻²).

• Dans les conditions du sujet, lorsque deux sons d’intensités I₁ et I₂ se superposent, l’intensité totale I est la somme de I₁ et de I₂.
• Le niveau d’intensité sonore L₁ mesuré à 5 m du module extérieur est de 46 dB
• Le niveau sonore nocturne habituel L₂ (sans tenir compte de la PAC) est de 44 dB.

Q7. Vérifier que la valeur du niveau d’intensité sonore L est égale à 48 dB.

$$L=10\times \log\left(\frac{I_{total}}{I_0}\right)$$
Or
$$I_{total}=I_1+I_2$$
Donc
$$L=10\times \log\left(\frac{I_1+I_2}{I_0}\right)$$
Or
$$I=I_0\times {10}^{L/10}$$
$$I_1=I_0\times {10}^{L_1/10}$$
$$I_2=I_0\times {10}^{L_2/10}$$

Donc
$$L=10\times \log\left(\frac{I_0\times {10}^{L_1/10}+I_0\times {10}^{L_2/10}}{I_0}\right)$$
$$L=10\times \log\left({10}^{L_1/10}+{10}^{L_2/10}\right)$$
$$L=10\times \log\left({10}^{46/10}+{10}^{44/10}\right)$$
$$L=48\ dB$$

Q8. En déduire si le propriétaire expose son voisinage à des nuisances sonores nocturnes supérieures au seuil réglementaire.

D’après l’énoncé : « la législation impose de l’imiter l’émergence sonore nocturne à 3dB. L’émergence nocturne est définie par la différence entre le niveau sonore ambiant comportant celui de la PAC, et le niveau sonore habituel sans tenir compte de la PAC »
Calculons l’émergence nocturne :
émergence nocturne $=L-L_2$
émergence nocturne $=48-44$
émergence nocturne $=4\ dB$
L’émergence sonore est supérieure à 3dB, le propriétaire expose donc son voisinage à des nuisances sonores nocturnes supérieures au seuil règlementaire.