Tir à l’arc à la perche verticale

Bac Nouvelle Calédonie 2023 Sujet 2

Exercice 3 – (6 points) –  Durée 1h03 – Calculatrice autorisée

Sujet n°23-PYCJ2NC1

Sujet et corrigé

EXERCICE III – TIR À L’ARC À LA PERCHE VERTICALE (6 points)

Figure 1 : Tir à l’arc vertical

Source : www.lavoixdunord.fr

Le jeu consiste à abattre des cibles, appelées « oiseaux », situées en haut d’une perche mesurant 30 mètres, les premières cibles se trouvant à 25 mètres du sol. L’archer se positionne au bas de la perche afin d’abattre le plus d’oiseaux possibles. Les oiseaux rapportent des points selon leur position sur la perche. Pour être susceptible de marquer des points l’archer doit faire en sorte que la flèche atteigne, au niveau de la perche, une hauteur comprise entre 25 et 30 m.

Dans cet exercice, on s’intéresse au mouvement de la flèche assimilée à un point matériel de masse 𝑚 dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les frottements seront négligés. La situation est représentée sur la figure 2 ci-dessous, sans souci d’échelle.

Figure 2 : Schéma du tir à l’arc vertical

Données :

• Masse d’une flèche : 𝑚 = 1,00 × 10² g.
• Intensité de la pesanteur : 𝑔 = 9,8 m · s^–2.

Partie A : Étude énergétique d’un tir vertical

L’archer tire une flèche verticalement et se demande si celle-ci dépassera le haut de la perche situé à 30 m. On appelle 𝐻 la hauteur maximale atteinte par la flèche à l’instant 𝑡 = 𝑡_H.

À l’instant initial 𝑡 = 0, l’archer lance sa flèche du point F. Le centre de gravité de la flèche F est situé à une hauteur ℎ = 1,80 m du sol. Un capteur mesure la vitesse initiale 𝑣₀ de la flèche et indique 𝑣₀ = 25,0 ± 0,5 m∙s^–1. On néglige tous les frottements. L’origine de l’énergie potentielle de pesanteur est prise au niveau du sol.

A.1. Donner l’expression de l’énergie mécanique 𝐸_m(0) de la flèche à 𝑡 = 0 en fonction de ℎ, 𝑚, 𝑔 et 𝑣₀.

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de pesanteur :
$E_M=E_c+E_{pp}$

Avec :
$E_c=\frac{1}{2}m\times v^2$
$E_{pp}=mgy$

$E_M=\frac{1}{2}m\times v^2+mgy$

$E_M\left(0\right)=\frac{1}{2}m\times v_0^2+mgy_0$

à t= 0 : y₀=h
$E_M\left(0\right)=\frac{1}{2}m\times v_0^2+mgh$

A.2. Donner l’expression de l’énergie mécanique 𝐸_m(𝑡_H) de la flèche à 𝑡 = 𝑡_H en fonction de 𝑚, 𝑔 et 𝐻.

$E_M=\frac{1}{2}m\times v^2+mgy$
$E_M\left(t_H\right)=\frac{1}{2}m\times v_H^2+mgy_H$
à t = tH : yH=H et vH=0 m.s-1 car la flèche à atteint son maximum , elle n’avance plus vers le haut : sa vitesse est nulle.
$E_M\left(t_H\right)=\frac{1}{2}m\times 0^2+mgH$
$E_M\left(t_H\right)=mgH$

A.3. En déduire que $H = h + \frac{v_0^2}{2 g}$ .

D’après le sujet les frottements sont négligés. Ainsi l’énergie mécanique se conserve :
$E_M\left(t_H\right)=E_M\left(0\right)$

Avec
$E_M\left(t_H\right)=mgH$
$E_M\left(0\right)=\frac{1}{2}m\times v_0^2+mgh$

$mgH=\frac{1}{2}m\times v_0^2+mgh$
$H=\frac{\frac{1}{2}m\times v_0^2+mgh}{mg}$
$H=\frac{\frac{1}{2}m\times v_0^2}{mg}+\frac{mgh}{mg}$
$H=\frac{v_0^2}{2g}+h$
$H=h+\frac{v_0^2}{2g}$

L’incertitude-type 𝑢(𝐻) sur 𝐻 se calcule avec la relation : $u(H) = \sqrt{\left(u(h)\right)^2 + \left(\frac{v_0}{g}\right)^2 \left(u(v_0)\right)^2}$ où 𝑢(𝑥) désigne l’incertitude-type associée à la grandeur 𝑥.

A.4.1. Calculer 𝐻 en vous appuyant sur la question A.3.

$H=h+\frac{v_0^2}{2g}$
$H=1,80+\frac{{25,0}^2}{2\times 9,8}$
$H=34\ m$

A.4.2. Évaluer 𝑢(𝐻) sachant que 𝑢(ℎ) = 0,01 m, puis donner un encadrement de la valeur de 𝐻.

$u\left(H\right)=\sqrt{\left(u\left(h\right)\right)^2+\left(\frac{v_0}{g}\right)^2\left(u\left(v_0\right)\right)^2}$
$u\left(H\right)=\sqrt{\left(0,01\right)^2+\left(\frac{25,0}{9,8}\right)^2\left(0,5\right)^2}$
$u\left(H\right)=1,3\ m$
La valeur de l’incertitude ne comporte qu’un chiffre significatif et est majorée :
$u\left(H\right)=2\ m$

Ainsi :
$H=34\ \pm 2\ m$
$34\ -2\ m<H<34\ +2\ m$
$32\ m<H<36\ m$

A.4.3. Indiquer si la flèche dépasse le haut de la perche. Justifier.

D’après le sujet : le haut d’une perche mesure 30 mètres.
L’encadrement de H (32\ m<H<36\ m) dans la question précédente nous donne des valeurs supérieures à 30 m. Ainsi, la flèche dépasse le haut de la perche.

Partie B : Étude de la trajectoire de la flèche lors d’un tir visant le mat

L’archer situé à une distance 𝐷 = 5 m de la base de la perche essaie maintenant d’atteindre les oiseaux situés sur le mat en tirant la flèche avec un angle de tir 𝛼 = 80°. À l’instant initial 𝑡 = 0 s, le centre de gravité de la flèche F est situé à une hauteur ℎ = 1,80 m du sol. La vitesse initiale est notée $\overrightarrow{v_0} $ et a pour valeur 𝑣₀ = 25,0 m ∙ s^–1.

B.1. Faire un bilan des forces s’exerçant sur la flèche.

D’après le sujet les frottements sont négligés.
Bilan des forces s’exerçant sur la flèche : le poids $\overrightarrow{P}$.

B.2. En utilisant la deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées 𝑎_x(𝑡) et 𝑎_y(𝑡) du vecteur accélération $\overrightarrow{a} $ de la flèche.

Système {flèche}
Référentiel terrestre supposé galiléen
D’après la deuxième loi de newton :
$\Sigma\overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}$
$m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{a}$

Or
$\overrightarrow{g}\left|\begin{matrix}0\-g\end{matrix}\right.$

Le vecteur accélération du centre d’inertie du solide est égal au vecteur champ de pesanteur.
$\overrightarrow{a}\ \left|\begin{matrix}a_{x(t)}=0 \\ {\ a}_{y\left(t\right)}=-g \end{matrix}\right.$

B.3. Montrer que les équations horaires du mouvement de F ont pour expression :

$x(t) = v_0 \cos \alpha \times t$ et $y(t) = -\frac{1}{2} g \times t^2 + v_0 \sin \alpha \times t + h$

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$
On intègre le système d’équation précédent :
$\overrightarrow{v}\ \left|\begin{matrix}v_{x(t)}=C_1 \\{\ v}_{y\left(t\right)}=-gt+C_2\end{matrix}\right.$

d’ou
$\overrightarrow{v}\ \left|\begin{matrix}v_{x(t)}=v_0\cos\alpha\\{\ v}_{y\left(t\right)}=-gt+v_0\sin\ \alpha\end{matrix}\right.$

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$
On intègre le système d’équation précédent :
$\overrightarrow{OG}\left|\begin{matrix}x\left(t\right)=\ \ v_0\cos\alpha\times t\ +C_3 \\ y\left(t\right)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin\ \alpha\times t\ +C_4  \end{matrix}\right.$

Pour trouver les constantes, on utilise $\overrightarrow{OG}_0$
$\overrightarrow{OG}_0=\overrightarrow{OF}\ \left|\begin{matrix}x_0=0\ \y_0=h \end{matrix}\right.$

d’ou
$\overrightarrow{OG}\left|\begin{matrix}x\left(t\right)=\ \ \left(v_0\cos\alpha\right)\times t \\ y\left(t\right)=-\frac{1}{2}gt^2+\left(v_0\sin\ \alpha\right)\times t+h \end{matrix}\right.$

B.4. Montrer que l’équation de la trajectoire 𝑦(𝑥) de F peut s’écrire :

$$ y(x) = -\frac{1}{2} \times \frac{g \times x^2}{v_0^2 \cos^2 \alpha} + (\tan \alpha) \times x + h $$

On isole t :
$x=\left(v_0\cos\alpha\right)\times t$
$\left(v_0\cos\alpha\right)\times t=x$
$t=\frac{x}{\left(v_0\cos\alpha\right)}$

On remplace t dans y :
$y\left(t\right)=-\frac{1}{2}gt^2+\left(v_0\sin\ \alpha\right)\times t+h$
$y\left(x\right)=-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{\left(v_0\cos\alpha\right)}\right)^2+\left(v_0\sin\ \alpha\right)\times\frac{x}{\left(v_0\cos\alpha\right)}+h$
$y\left(x\right)=-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2\cos^2\alpha}+x\times\tan\left(\alpha\right)+h$
$y\left(x\right)=-\frac{1}{2}\times\frac{gx^2}{v_0^2\cos^2\alpha}+\left(\tan\ \alpha\right)x+h$

B.5. Indiquer, en justifiant, si son tir peut lui permettre de marquer des points.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche. Toute démarche, même non aboutie, sera valorisée.

L’archer situé à une distance D = 5 m de la base de la perche. Calculons l’altitude atteinte pour x=D.
$y\left(x=D\right)=-\frac{1}{2}\times\frac{gD^2}{v_0^2\cos^2\alpha}+\left(\tan\ \alpha\right)D+h$
$y\left(x=D\right)=-\frac{1}{2}\times\frac{9,8\times 5^2}{{25,0}^2\times\cos^2 80}+\left(\tan\ 80\right)\times 5+1,80$
$y\left(x=D\right)=24\ m$

D’après le sujet : Pour être susceptible de marquer des points l’archer doit faire en sorte que la flèche atteigne, au niveau de la perche, une hauteur comprise entre 25 et 30 m.
La flèche n’atteint pas la hauteur minimale de 25 m. Ainsi, son tir ne peut pas lui permettre de marquer des points.