Bac Amérique du nord 2025 Sujet 1
Exercice 3 – (6 points) – Durée 1h03 – Calculatrice autorisée
Sujet n°25-PYCJ1AN1
En France, les eaux pluviales excédentaires produites par les orages sont parfois stockées dans des bassins de rétention. Mais, sous l’effet de la chaleur, ces eaux de bassin voient leur taux de dioxygène diminuer. Pour assurer le rejet des eaux de bassin en milieu naturel, le taux de dioxygène est surveillé. Cette fonction peut être assurée par des capteurs installés sur une bouée autonome. Quant à l’oxygénation, elle peut être assurée par un aérateur à jet.
L’objectif de cet exercice est d’étudier la flottabilité d’une telle bouée, puis d’évaluer le temps nécessaire à l’amélioration de la qualité de l’eau par un aérateur à jet.
1. Surveillance de la qualité de l’eau
Une bouée autonome instrumentée est constituée de deux parties principales : le capteur et le flotteur qui contient les instruments de communication. L’immersion de la bouée ne doit pas dépasser 20 % de son volume total pour maintenir les instruments hors de l’eau et faciliter la communication avec l’extérieur.
Données :
- Volume de la bouée Vbouée = 6,7×10-3 m3 ;
- Masse totale de la bouée m = 1,0 kg ;
- Masse volumique de l’eau ρeau = 1,00×103 kg·m-3 ;
- Intensité de la pesanteur terrestre g = 9,81 N·kg-1 ;
- Expression de la poussée d’Archimède : πA = ρf·Vf·g avec Vf le volume de fluide déplacé et ρf la masse volumique du fluide déplacé.
Q.1. Nommer les deux forces exercées sur la bouée supposée à l’équilibre puis les représenter sans souci d’échelle sur un schéma annoté.
Les deux forces exercées sur la bouée sont le poids $\overrightarrow{P}$ et la poussée d’Archimède $\overrightarrow{\pi_A}$.
Les deux forces exercées sur la bouée supposée à l’équilibre : elles se compensent, elles ont donc la même norme, la même direction et un sens opposé.
$$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\pi_A}=\overrightarrow{0}$$
Q.2. Déterminer la valeur de Vimm, le volume immergé de la bouée à l’équilibre.
$$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\pi_A}=\overrightarrow{0}$$
$$\overrightarrow{\pi_A}=-\overrightarrow{P}$$
$$\pi_A=P$$
$$\rho_{eau}\times V_{imm}\times g=m\times g$$
$$\rho_{eau}\times V_{imm}=m$$
$$V_{imm}=\frac{m}{\rho_{eau}}$$
$$V_{imm}=\frac{1,0}{1,0\times 10^3}$$
$$V_{imm}=1,0\times 10^{-3}\ \text{m}^3$$
Q.3. En déduire la proportion du volume immergé par rapport au volume total de la bouée. Commenter.
Calculons la proportion du volume immergé par rapport au volume total de la bouée :
$$Proportion=\frac{V_{imm}}{V_{bouee}}$$
$$Proportion=\frac{1,0\times 10^{-3}}{6,7\times 10^{-3}}$$
$$Proportion=0,15$$
$$Proportion=15\ %$$
L’immersion de la bouée ne dépasse pas 20 %, ce qui permet de maintenir les instruments hors de l’eau.
2. Traitement de l’eau
La bouée autonome mesure le taux de dioxygène dissous dans l’eau dans l’eau du bassin d’orage. La norme impose que le taux en dioxygène soit compris entre 6 et 8 mg·L-1. Sous l’effet de la chaleur, ce taux diminue et atteint 4 mg·L-1 : il faut l’augmenter. Pour cela, un aérateur à jet immergé est utilisé pour injecter de l’air (et donc du dioxygène) dans l’eau. L’aérateur aspire de l’eau et la fait circuler dans une conduite horizontale présentant un rétrécissement d’une section circulaire de diamètre dA vers une section de diamètre dB. C’est au niveau de cette partie rétrécie que l’eau et l’air (aspiré depuis l’entrée d’air) se mélangent.
Figure 2. Plan de l’aérateur à jet immergé et zoom sur le rétrécissement (Source : sulzer.com)
Données :
- Diamètre de la canalisation en A, dA = 55 mm ;
- Diamètre de la canalisation en B, dB = 33 mm ;
- Vitesse de l’eau en A, vA = 5,6 m·s-1 ;
- Volume d’eau dans le bassin d’orage, Veau = 172 m3 ;
- Masse volumique de l’eau dans le bassin d’orage ρeau = 1,00×103 kg·m-3 ;
- Relation de Bernoulli dans la conduite horizontale :
$$p + \frac{1}{2} \times \rho \times v^2 + \rho \times g \times z = \text{constante}$$
avec p : pression ; ρ : masse volumique du fluide ; g : intensité de la pesanteur ; z : coordonnée verticale de la position ; v : valeur de la vitesse du fluide.
On considère que l’eau est un fluide incompressible et que le régime est permanent.
Le débit volumique DV d’un fluide dans une canalisation dépend de la vitesse v de déplacement du fluide et de la section S de la canalisation.
Q.4. Recopier la formule permettant de calculer le débit volumique DV, en justifiant la réponse par une analyse dimensionnelle ou une analyse des unités.
$$D_V=\frac{v}{S}\ ;\ D_V=S\times v\ ;\ D_V=v^2\times S$$
Analysons les unités des différentes formules :
$$D_V=\frac{v}{S}$$
$$[D_V]=\frac{[v]}{[S]}$$
$$m^3.s^{-1}=\frac{m.s^{-1}}{m^2}$$
$$m^3.s^{-1}\neq m^{-1}.s^{-1}$$
La relation ne convient pas.
$$D_V=S\times v$$
$$[D_V]=[S]\times [v]$$
$$m^3.s^{-1}=m^2\times m.s^{-1}$$
La relation convient.
$$D_V=v^2\times S$$
$$[D_V]=[v]^2\times [S]$$
$$m^3.s^{-1}=(m.s^{-1})^2\times m^2$$
$$m^3.s^{-1}\neq m^4.s^{-2}$$
La relation ne convient pas.
Ainsi, la bonne formule est :
$$D_V=S\times v$$
Q.5. Montrer, par un calcul, que la valeur du débit volumique de l’eau dans la canalisation est DV = 1,3×10-2 m3·s-1 .
$$D_V=S\times v$$
$$D_V=S_A\times v_A$$
$$D_V=\pi\times r_A^2\times v_A$$
$$D_V=\pi\times\left(\frac{d_A}{2}\right)^2\times v_A$$
$$D_V=\pi\times\left(\frac{55\times 10^{-3}}{2}\right)^2\times 5,6$$
$$D_V=1,3\times 10^{-2}\ \text{m}^3.s^{-1}$$
Q.6. Exploiter la conservation du débit volumique pour montrer que la valeur de la vitesse de l’eau au point B vaut 16 m·s-1.
Conservation du débit volumique :
$$D_{V(B)}=D_{V(A)}$$
$$S_B\times v_B=S_A\times v_A$$
$$v_B=\frac{S_A}{S_B}\times v_A$$
$$v_B=\frac{\pi r_A^2}{\pi r_B^2}\times v_A$$
$$v_B=\frac{r_A^2}{r_B^2}\times v_A$$
$$v_B=\frac{\left(\frac{d_A}{2}\right)^2}{\left(\frac{d_B}{2}\right)^2}\times v_A$$
$$v_B=\frac{\left(\frac{55\times 10^{-3}}{2}\right)^2}{\left(\frac{33\times 10^{-3}}{2}\right)^2}\times 5,6$$
$$v_B=16\ \text{m.s}^{-1}$$
Q.7. Nommer le phénomène physique observé au point B responsable de l’aspiration de l’air.
Le phénomène physique responsable de l’aspiration de l’air au point B est l’effet Venturi.
Q.8. Montrer que l’expression de la variation de la pression entre les points A et B ∆p = pB – pA peut s’exprimer :
$$\Delta p = \frac{1}{2} \rho \left( v_A^2 – v_B^2 \right)$$
Relation de Bernoulli :
$$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho g z=\text{constante}$$
$$p_B+\frac{1}{2}\rho v_B^2+\rho g z_B=p_A+\frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho g z_A$$
Conduite horizontale donc $z_A=z_B$ :
$$p_B+\frac{1}{2}\rho v_B^2=p_A+\frac{1}{2}\rho v_A^2$$
$$\Delta p=\frac{1}{2}\rho v_A^2-\frac{1}{2}\rho v_B^2$$
Q.9. Calculer la valeur numérique de Δp. Commenter.
$$\Delta p=\frac{1}{2}\times \rho\times v_A^2 – v_B^2$$
$$\Delta p=\frac{1}{2}\times 1,00\times 10^3\times 5,6^2 – 16^2$$
$$\Delta p=-1,1\times 10^5\ \text{Pa}$$
La différence de pression est négative : l’eau est aspirée.
L’eau contenue dans ce bassin d’orage, dont le taux en dioxygène est de 4 mg·L-1, doit être évacuée, en moins de deux heures, dans une rivière voisine. Elle doit être traitée avant son évacuation. L’aérateur est mis en marche. On considère que l’oxygénation est constante tout au long du processus et que le bassin est un système fermé (pas d’échanges avec l’extérieur).
Q.10. Montrer qu’il faut ajouter 344 g de dioxygène à l’eau du bassin pour atteindre un taux de dioxygène de 6 mg·L-1.
La masse ajoutée :
$$m_a=m_f-m_i$$
Or
$$c_m=\frac{m}{V}$$
$$m=c_m\times V$$
D’où :
$$m_a=(c_{mf}-c_{mi})\times V$$
$$m_a=(6\times 10^{-3}-4\times 10^{-3})\times 172\times 10^3$$
$$m_a=344\ g$$
Il faut ajouter 344 g de dioxygène.
L’aérateur permet l’assimilation de 6 mg de dioxygène par litre d’eau brassé.
Q.11. Calculer le volume d’eau qui doit être brassé par l’aérateur pour assimiler la masse de dioxygène nécessaire.
$$6\ \text{mg}\ \rightarrow 1\ \text{L}$$
$$344\ \text{g}\ \rightarrow V$$
$$V=\frac{344\times 1}{6\times 10^{-3}}=57\times 10^3\ \text{L}$$
$$V=57\ \text{m}^3$$
Q.12. Déterminer si l’oxygénation de l’eau peut être faite en moins de deux heures dans ces conditions.
$$D_V=\frac{V}{\Delta t}$$
$$D_V\times \Delta t=V$$
$$\Delta t=\frac{V}{D_V}$$
$$\Delta t=\frac{57}{1,3\times 10^{-2}}$$
$$\Delta t=4,4\times 10^3\ \text{s}$$
$$\Delta t=1\ \text{h}\ 13\ \text{min}$$