Viscosimètre à chute de bille

Métropole 2025 Sujet 1

Exercice 3 – (5 points) –  Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n°25-PYCJ1ME1

Sujet et corrigé

Exercice 3 – Viscosimètre à chute de bille (5 points)

Viscosimètre à chute de bille KF40 Brookfields®

La mesure de la viscosité de l’huile C repose sur l’exploitation de la chute verticale d’une bille en acier dans un récipient cylindrique, rempli de cette huile, représenté sur la figure 1. Le mouvement du centre de masse de la bille est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d’un repère d’origine O, d’axe vertical (Oz) orienté vers le bas et de vecteur unitaire ̅k̅̅→. La situation est schématisée sur la figure 1.

Figure 1. Schéma du dispositif expérimental de mesure

Données :

Les données numériques de cet exercice proviennent de travaux réalisés à l’université de Grenoble.

• masse volumique de l’huile C : ρ_h = 8,31×10² kg·m^–3 ;
• masse volumique de la bille : ρ_b = 1,06×10³ kg·m^–3 ;
• rayon de la bille : r = 0,993 mm ;
• intensité de la pesanteur terrestre : g = 9,81 m·s^–2 ;
• volume d’une bille de rayon r : $V_b = \frac{4\pi r^3}{3}$
• pour discuter de l’accord du résultat d’une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\left|\frac{x – x_{\text{ref}}}{u(x)}\right|$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{\text{ref}}$ la valeur de référence et $u(x)$ l’incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

Lors de sa chute verticale dans l’huile C, la bille de masse m est soumise à trois forces :

• son poids noté  $\vec{P}$ ;
• la poussée d’Archimède, exercée par l’huile, d’expression vectorielle $\vec{P_A} = -\rho_h V_b g,\vec{k}$
• la force de frottement exercée par l’huile sur la bille, d’expression vectorielle dans les conditions de l’expérience : $\vec{f} = -\alpha,\eta_C,v,\vec{k}$ avec α une constante homogène à une distance, dépendant des paramètres géométriques du système, η_C la viscosité de l’huile C et v la valeur de la vitesse du centre de masse de la bille. On donne α = 1,92×10^–2 m.

Q1. Montrer, à l’aide d’un raisonnement sur les unités, que la viscosité η_C s’exprime en N·m^–2·s.

$$\overrightarrow{f}=-\alpha\times \eta_C\times  v\times \overrightarrow{k}$$
La norme de la force de frottement est :
$$f=\alpha\times \eta_C\times  v$$
Remarque : le signe moins indique un sens opposé au vecteur $\overrightarrow{k}$.
$$\alpha\times \eta_C\times  v=f$$
$$\eta_C=\frac{f}{\alpha\times  v}$$
$$\left[\eta_C\right]=\frac{\left[f\right]}{\left[\alpha\right]\times \left[v\right]}$$
$$\left[\eta_C\right]=\frac{N}{m\times  m\cdot s^{-1}}$$
$$\left[\eta_C\right]=\frac{N}{m^2\times  s^{-1}}$$
$$\left[\eta_C\right]=N\cdot m^{-2}\cdot s^1$$

Ainsi, la viscosité η_C s’exprime en N·m^–2·s.

À la date t = 0, la bille est lâchée avec une vitesse initiale nulle depuis le point O, situé dans l’huile, en haut du récipient cylindrique. Au bout de quelques instants, le mouvement de la bille devient rectiligne uniforme, la bille atteint alors une vitesse limite notée v_lim.

Q2. Préciser, en justifiant, si la valeur de la force de frottement $\vec{f}$ augmente ou diminue quand la valeur de la vitesse de la bille augmente.

$$\overrightarrow{f}=-\alpha\times \eta_C\times  v\times \overrightarrow{k}$$
La norme de la force de frottement est :
$$f=\alpha\times \eta_C\times  v$$
La force de frottement est proportionnelle à la valeur de la vitesse.
Ainsi, quand la valeur de la vitesse de la bille augmente, la force de frottement augmente.

Q3. Représenter sur un schéma, sans calcul et en justifiant, l’ensemble des forces appliquées au système {bille}, lorsque la vitesse limite est atteinte.

Q4. Montrer que la vitesse limite vérifie l’équation :

$$\alpha \cdot \eta_C \cdot v_{\text{lim}} = \frac{4 \cdot \pi \cdot r^3 \cdot g \cdot (\rho_b – \rho_h)}{3}$$

Lorsque la vitesse limite est atteinte, le mouvement de la bille devient rectiligne uniforme. D’après le principe d’inertie :
$$\Sigma\overrightarrow{F_{ext}}=\overrightarrow{0}$$
$$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{P_A}+\overrightarrow{f}=\overrightarrow{0}$$
$\overrightarrow{P_A}$ et $\overrightarrow{F}$ sont orienté vers le haut, dans le sens opposé à l’axe z.
Projetons sur l’axe z :
$$P-P_A-f=0$$

$$mg-\rho_h\times  V_b\times  g-\alpha\times \eta_C\times  v_{lim}=0$$
$$-\alpha\times \eta_C\times  v_{lim}=-mg+\rho_h\times  V_b\times  g$$
$$\alpha\times \eta_C\times  v_{lim}=mg-\rho_h\times  V_b\times  g$$

Or
$$\rho_b=\frac{m}{V_b}$$
$$\frac{m}{V_b}=\rho_b$$
$$m=\rho_b\times  V_b$$

D’où
$$\alpha\times \eta_C\times  v_{lim}=\rho_b\times  V_b\times  g-\rho_h\times  V_b\times  g$$
$$\alpha\times \eta_C\times  v_{lim}=V_b\times  g\times \left(\rho_b-\rho_h\right)$$

Or
$$V_b=\frac{4}{3}\times \pi\times  r^3$$

D’où
$$\alpha\times \eta_C\times  v_{lim}=\frac{4}{3}\times \pi\times  r^3\times  g\times \left(\rho_b-\rho_h\right)$$
$$\alpha\times \eta_C\times  v_{lim}=\frac{4\times \pi\times  r^3\times  g\times \left(\rho_b-\rho_h\right)}{3}$$

Q5. La valeur limite de la vitesse de la bille vaut v_lim = 5,37 mm·s^–1. Calculer la valeur de la viscosité η_C de l’huile C.

$$\alpha\times \eta_C\times  v_{lim}=\frac{4\times \pi\times  r^3\times  g\times \left(\rho_b-\rho_h\right)}{3}$$
$$\eta_C=\frac{4\times \pi\times  r^3\times  g\times \left(\rho_b-\rho_h\right)}{3\times \alpha\times  v_{lim}}$$
$$\eta_C=\frac{4\times \pi\times \left(0,993\times {10}^{-3}\right)^3\times 9,81\times \left(1,06\times {10}^3-8,31\times {10}^2\right)}{3\times 1,92\times {10}^{-2}\times 5,37\times {10}^{-3}}$$
$$\eta_C=8,94\times {10}^{-2}\ N\cdot m^{-2}\cdot s^1$$

L’huile C a une viscosité de référence qui vaut η_réf = 0,093 N·m^–2·s et l’incertitude-type sur la valeur de la viscosité η_C obtenue vaut u(η_C) = 0,003 N·m^–2·s.

Q6. Déterminer si la valeur de la viscosité η_C obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence.

Pour conclure si la valeur de la viscosité η_C obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence, on calcule le quotient :
$$\frac{\left|\eta_C-\eta_{ref}\right|}{u\left(\eta_C\right)}=\frac{\left|8,94\times {10}^{-2}-0,093\right|}{0,003}$$
$$\frac{\left|\eta_C-\eta_{ref}\right|}{u\left(\eta_C\right)}=1,2$$
$$\frac{\left|\eta_C-\eta_{ref}\right|}{u\left(\eta_C\right)}<2$$
Ainsi, la valeur de la viscosité η_C obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence.

On souhaite déterminer la durée nécessaire pour que la bille, lâchée avec une vitesse initiale nulle, atteigne sa vitesse limite.

Q7. Le vecteur accélération $\vec{a}$ du centre de masse de la bille s’écrit : $\vec{a} = a,\vec{k}$. À l’aide de la deuxième loi de Newton, montrer que l’accélération a peut s’écrire :

$$a = g \cdot \left(1 – \frac{\rho_h \cdot V_b}{m}\right) – \frac{\alpha \cdot \eta_C}{m} \cdot v$$

où m est la masse de la bille

Système {bille}
Référentiel terrestre supposé galiléen
D’après la deuxième loi de newton :
$$\Sigma\overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}$$
$$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{P_A}+\overrightarrow{f}=m\overrightarrow{a}$$
$\overrightarrow{P_A}$ et $\overrightarrow{F}$ sont orienté vers le haut, dans le sens opposé à l’axe z.
Projetons sur l’axe z :
$$P-P_A-f=ma$$
$$mg-\rho_h\times  V_b\times  g-\alpha\times \eta_C\times  v=ma$$
$$ma=mg-\rho_h\times  V_b\times  g-\alpha\times \eta_C\times  v$$
$$a=\frac{mg}{m}-\frac{\rho_h\times  V_b\times  g}{m}-\frac{\alpha\times \eta_C\times  v}{m}$$
$$a=g-\frac{\rho_h\times  V_b\times  g}{m}-\frac{\alpha\times \eta_C}{m}\times  v$$
$$a=g\left(1-\frac{\rho_h\times  V_b}{m}\right)-\frac{\alpha\times \eta_C}{m}\times  v$$

Q8. En déduire que l’évolution de la coordonnée v du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ de chute de la bille au cours du temps obéit à l’équation différentielle suivante :

$$\frac{dv}{dt} + \frac{3 \cdot \alpha \cdot \eta_C}{4 \cdot \rho_b \cdot \pi \cdot r^3} v = g \cdot \left(1 – \frac{\rho_h}{\rho_b}\right)$$

$$a=g\left(1-\frac{\rho_h\times  V_b}{m}\right)-\frac{\alpha\times \eta_C}{m}\times  v$$
Or
$$a=\frac{dv}{dt}$$

D’où
$$\frac{dv}{dt}=g\left(1-\frac{\rho_h\times  V_b}{m}\right)-\frac{\alpha\times \eta_C}{m}\times  v$$
$$\frac{dv}{dt}+\frac{\alpha\times \eta_C}{m}\times  v=g\left(1-\frac{\rho_h\times  V_b}{m}\right)$$

Or
$$\rho_b=\frac{m}{V_b}$$
$$\frac{m}{V_b}=\rho_b$$
$$m=\rho_b\times  V_b$$

D’où
$$\frac{dv}{dt}+\frac{\alpha\times \eta_C}{\rho_b\times  V_b}\times  v=g\left(1-\frac{\rho_h\times  V_b}{\rho_b\times  V_b}\right)$$
$$\frac{dv}{dt}+\frac{\alpha\times \eta_C}{\rho_b\times  V_b}\times  v=g\left(1-\frac{\rho_h}{\rho_b}\right)$$

Or
$$V_b=\frac{4}{3}\times \pi\times  r^3$$

D’où
$$\frac{dv}{dt}+\frac{\alpha\times \eta_C}{\rho_b\times \frac{4}{3}\times \pi\times  r^3}\times  v=g\left(1-\frac{\rho_h}{\rho_b}\right)$$
$$\frac{dv}{dt}+\frac{\alpha\times \eta_C}{\rho_b\times \pi\times  r^3}\times \frac{3}{4}\times  v=g\left(1-\frac{\rho_h}{\rho_b}\right)$$
$$\frac{dv}{dt}+\frac{3\times \alpha\times \eta_C}{4\times \rho_b\times \pi\times  r^3}\times  v=g\left(1-\frac{\rho_h}{\rho_b}\right)$$

Si la bille est abandonnée avec une vitesse initiale nulle, la résolution de l’équation différentielle précédente permet d’obtenir l’expression de sa vitesse v(t) :

$$v(t) = v_{\text{lim}} \cdot \left(1 – e^{-t/\tau}\right)$$

avec

$$\tau = \frac{4 \cdot \rho_b \cdot \pi \cdot r^3}{3 \cdot \alpha \cdot \eta_C}$$

Q9. Calculer la valeur de 𝜏 en utilisant la valeur de la viscosité de référence de l’huile étudiée. Justifier que l’on peut considérer que la vitesse de la bille est pratiquement égale à sa valeur limite durant tout le mouvement sachant que le tube du viscosimètre a une hauteur d’environ 15 cm.

$$\tau=\frac{4\times \rho_b\times \pi\times  r^3}{3\times \alpha\times \eta_C}$$
$$\tau=\frac{4\times 1,06\times {10}^3\times \pi\times \left(0,993\times {10}^{-3}\right)^3}{3\times 1,92\times {10}^{-2}\times 0,093}$$
$$\tau=2,43\times {10}^{-3}s$$

Au bout d’un temps $t=5\tau$ la vitesse limite est atteinte.
$$t=5\tau$$
$$t=5\times 2,43\times {10}^{-3}$$
$$t=1,22\times {10}^{-2}\ s$$

On cherche connaitre la distance parcourue par la bille pendant $t=1,22\times {10}^{-2}\ s$.
La vitesse de la bille augmente pour atteindre $v_{lim}=5,37\times {10}^{-3}\ m\cdot s^{-1}$.
En supposant la vitesse constante et égale à $v_{lim}$, on trouvera une distance parcourue supérieure à la distance réelle :
$$v_{lim}=\frac{d_{max}}{t}$$
$$\frac{d_{max}}{t}=v_{lim}$$
$$d_{max}=v_{lim}\times  t$$
$$d_{max}=5,37\times {10}^{-3}\times 1,22\times {10}^{-2}$$
$$d_{max}=6,55\times {10}^{-5}m$$

Cette distance, bien que majorée, est extrêmement petite devant la hauteur du viscosimètre d’environ 15 cm.
La phase transitoire avant d’atteindre la vitesse limite est extrêmement petite.
Ainsi, on peut considérer que la vitesse de la bille est pratiquement égale à sa valeur limite durant tout le mouvement.