La lessive de cendre

Bac Amérique du Nord 2026 Sujet 2

Exercice 3 – (4 points) – Durée 0h42 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ2AN1

Sujet et corrigé

EXERCICE 3 – LA LESSIVE DE CENDRE (4 points)

La lessive de cendre est une lessive maison très simple à fabriquer. Il suffit de tamiser les cendres de bois produites par un feu de cheminée puis d’en mettre l’équivalent d’un verre par litre d’eau, de laisser reposer et de filtrer le tout. On obtient ainsi une lessive écologique.

L’objectif de cet exercice est d’étudier les caractéristiques chimiques de cette lessive pour déterminer la quantité à utiliser en machine à laver.

1. Étude de l’ion carbonate

Les cendres de bois contiennent de nombreuses espèces chimiques. Parmi elles, les ions carbonate CO₃²⁻ sont en quantité significative et possèdent des propriétés acido-basiques.

Données :

• couples acide-base :
• dihydrogénocarbonate / ion hydrogénocarbonate : H₂CO₃(aq) / HCO₃⁻(aq) ;
• ion hydrogénocarbonate / ion carbonate : HCO₃⁻(aq) / CO₃²⁻(aq) ;
• couples de l’eau : H₃O⁺(aq) / H₂O(l) ; H₂O(l) / HO⁻(aq).
• masse molaire du carbonate de potassium : M(K₂CO₃) = 138,0 g·mol⁻¹ ;
• produit ionique de l’eau à 25 °C : K_e = 1,0×10⁻¹⁴ et pK_e = 14,0.

Q1. Définir une espèce chimique basique selon Brönsted.

Une base est une espèce capable de capter un proton H⁺.

Pour étudier le comportement des ions carbonate de la lessive de cendre, on pèse au laboratoire une masse m = 3,0 g de carbonate de potassium K₂CO₃(s) que l’on dissout dans une fiole jaugée de 100,0 mL. On obtient ainsi la solution aqueuse S.

Q2. Calculer la concentration en quantité de matière des ions carbonate dans la solution S.

$$c = \frac{n}{V}$$

Or

$$n = \frac{m}{M}$$

D’où

$$c = \frac{m}{M \times V}$$

$$c = \frac{3,0}{138,0 \times 100,0 \times 10^{-3}}$$

$$c = 2,2 \times 10^{-1}\ mol.L^{-1}$$

$$K_{2}CO_{3}(s) \rightarrow CO_{3}^{2-}(aq) + 2K^{+}(aq)$$

$$[CO_{3}^{2-}] = c = 2,2 \times 10^{-1}\ mol.L^{-1}$$

Q3. Écrire et ajuster l’équation de la réaction acido-basique se produisant entre CO₃²⁻ et H₂O.

$$CO_{3}^{2-}(aq) + H_{2}O(l) \rightleftharpoons HCO_{3}^{-} + HO^{-}(aq)$$

Le pH de la solution S est de 11,8.

Q4. En déduire la concentration en ions hydroxyde HO⁻ dans la solution S.

$$K_{e} = \frac{[H_{3}O^{+}]_{eq} \times [HO^{-}]_{eq}}{(c^{0})^{2}}$$

$$\frac{[H_{3}O^{+}]_{eq} \times [HO^{-}]_{eq}}{(c^{0})^{2}} = K_{e}$$

$$[HO^{-}]_{eq} = \frac{K_{e} \times (c^{0})^{2}}{[H_{3}O^{+}]_{eq}}$$

Or

$$[H_{3}O^{+}]_{eq} = c^{0} \times 10^{-pH}$$

D’où

$$[HO^{-}]_{eq} = \frac{K_{e} \times (c^{0})^{2}}{c^{0} \times 10^{-pH}}$$

$$[HO^{-}]_{eq} = \frac{K_{e} \times c^{0}}{10^{-pH}}$$

$$[HO^{-}]_{eq} = \frac{1,0 \times 10^{-14} \times 1,0}{10^{-11,8}}$$

$$[HO^{-}]_{eq} = 6,3 \times 10^{-3}\ mol.L^{-1}$$

Q5. Comparer la concentration en ions hydroxyde à la concentration apportée en ions carbonate. En déduire que l’ion carbonate est une base faible, permettant d’assimiler la lessive de cendre à une solution d’ions carbonate.

[HO⁻]_eq = 6,3 × 10⁻³ mol.L⁻¹ et [CO₃²⁻] = c = 2,2 × 10⁻¹ mol.L⁻¹

$$\frac{[CO_{3}^{2-}]}{[HO^{-}]_{eq}} = \frac{2,2 \times 10^{-1}}{6,3 \times 10^{-3}} = 35$$

La concentration en ions hydroxyde est beaucoup plus faible que la concentration apportée en ions carbonate.

Ainsi, les ions carbonate ne réagissent pas totalement avec l’eau : l’ion carbonate CO₃²⁻ est donc une base faible.

Comme les ions carbonate CO₃²⁻ ne réagissent que partiellement avec l’eau, on peut assimiler la lessive de cendre à une solution d’ions carbonate.

2. Titrage des espèces basiques contenues dans la lessive de cendre

L’objectif de cette partie est de déterminer un encadrement du volume de lessive de cendre à introduire dans la machine à laver pour remplacer une lessive classique. Pour cela, on réalise un titrage des ions carbonate CO₃²⁻(aq) présents dans la lessive de cendre.

Données :

Pour une machine contenant 5 kg de linge, l’étiquette d’une lessive commerciale préconise, selon la dureté de l’eau du robinet, les quantités en espèces chimiques basiques suivantes :

Dureté de l’eau du robinet	Très douce	Douce	Dure	Très dure
Quantité d’espèces chimiques basiques à introduire	Entre 4,0×10−3 mol et 5,0×10−3 mol	Entre 5,0×10−3 mol et 6,0×10−3 mol	Entre 6,0×10−3 mol et 1,0×10−2 mol	Entre 1,0×10−2 mol et 1,5×10−2 mol

D’après une étiquette d’une lessive commerciale.

Pour une lessive commerciale, cela correspond à un volume de lessive compris entre 50 et 150 mL.

Protocole :

On dispose d’une solution de lessive de cendre notée S₀.

On réalise une solution S₁ à partir d’une dilution par 10 de la solution S₀.

Le titrage d’un volume V₁ = 10,0 mL de solution S₁ est réalisé par pH-métrie. L’acide chlorhydrique (H₃O⁺(aq), Cl⁻(aq)) de concentration c_A = 5,00×10⁻³ mol·L⁻¹ est la solution titrante.

Q6. Écrire les demi-équations des deux couples acide-base mettant en jeu les ions carbonate et du couple H₂O(aq) / HO⁻(aq), et justifier que l’équation support de la réaction de titrage s’écrit :
CO₃²⁻(aq) + 2H₃O⁺(aq) → H₂CO₃(aq) + 2H₂O (l)

CO₃²⁻ est la base du couple HCO₃⁻(aq)/CO₃²⁻(aq)

$$CO_{3}^{2-}(aq) + H^{+}(aq) \rightleftharpoons HCO_{3}^{-}$$

On obtient le couple : HCO₃⁻(aq)/CO₃²⁻(aq)

HCO₃⁻(aq) est la base du couple H₂CO₃(aq)/HCO₃⁻(aq)

$$HCO_{3}^{-}(aq) + H^{+}(aq) \rightleftharpoons H_{2}CO_{3}(aq)$$

HO⁻(aq) est la base du couple H₂O(l)/HO⁻(aq)

$$HO^{-}(aq) + H^{+}(aq) \rightleftharpoons H_{2}O(l)$$

Faisons réagir CO₃²⁻(aq) avec H₃O⁺(aq) :

$$HCO_{3}^{-}(aq)/CO_{3}^{2-}(aq)$$

$$H_{3}O^{+}(aq)/H_{2}O(l)$$

$$CO_{3}^{2-}(aq) + H_{3}O^{+}(aq) \rightarrow HCO_{3}^{-}(aq) + H_{2}O(l)$$

Faisons réagir HCO₃⁻(aq) avec H₃O⁺(aq) :

$$H_{2}CO_{3}(aq)/HCO_{3}^{-}(aq)$$

$$H_{3}O^{+}(aq)/H_{2}O(l)$$

$$HCO_{3}^{-}(aq) + H_{3}O^{+}(aq) \rightarrow H_{2}CO_{3}(aq) + H_{2}O(l)$$

On obtient que l’équation support de la réaction de titrage s’écrit :

$$CO_{3}^{2-}(aq) + 2H_{3}O^{+}(aq) \rightarrow H_{2}CO_{3}(aq) + 2H_{2}O(l)$$

Dans la pratique, la courbe de titrage fait apparaître deux sauts de pH. On admet que le volume équivalent correspondant à la réaction précédente vaut V_eq = 17,0 mL.

Q7. Déterminer la valeur de la concentration en quantité de matière en ions carbonate de la lessive de cendre S₀.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

$$CO_{3}^{2-}(aq) + 2H_{3}O^{+}(aq) \rightarrow H_{2}CO_{3}(aq) + 2H_{2}O(l)$$

A l’équivalence :

$$\frac{n_{CO_{3}^{2-}}^{i}}{1} = \frac{n_{H_{3}O^{+}}^{eq}}{2}$$

$$c_{1} \times V_{1} = \frac{c_{A} \times V_{eq}}{2}$$

$$c_{1} = \frac{c_{A} \times V_{eq}}{2 \times V_{1}}$$

$$c_{1} = \frac{5,00 \times 10^{-3} \times 17,0 \times 10^{-3}}{2 \times 10,0 \times 10^{-3}}$$

$$c_{1} = 4,25 \times 10^{-3}\ mol.L^{-1}$$

Or la « solution S₁ est obtenue à partir d’une dilution par 10 de la solution S₀. »

$$c_{0} = 10 \times c_{1}$$

$$c_{0} = 10 \times 4,25 \times 10^{-3}$$

$$c_{0} = 4,25 \times 10^{-2}\ mol.L^{-1}$$

Des mesures effectuées conduisent à qualifier l’eau de dure.

Q8. Déterminer un encadrement du volume de lessive de cendre à introduire dans la machine à laver pour répondre aux préconisations de l’étiquette. Commenter le résultat obtenu.

D’après l’énoncé l’eau est dure.

La quantité d’espèces chimiques basiques à introduire est comprise entre 6,0×10⁻³ mol et 1,0×10⁻² mol.

Calculons le volume de lessive de cendre à introduire dans la machine :

$$C_{0} = \frac{n}{V}$$

$$C_{0} \times V = n$$

$$V = \frac{n}{C_{0}}$$

$$V_{min} = \frac{6,0 \times 10^{-3}}{4,25 \times 10^{-2}} = 0,141\ L = 141\ mL$$

$$V_{max} = \frac{1,0 \times 10^{-2}}{4,25 \times 10^{-2}} = 0,235\ L = 235\ mL$$

Ainsi

$$141\ mL \leq V \leq 235\ mL$$

Il faut donc introduire environ 140 à 235 mL de lessive de cendre.

D’après l’énoncé : « Pour une lessive commerciale, cela correspond à un volume de lessive compris entre 50 et 150 mL. »

Le volume trouvé est supérieur au volume de lessive commerciale équivalent.