Bac Métropole 2026 Sujet 2
Exercice 1 – (9 points) – Durée 1h35 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ2ME1
Sujet et corrigé
Exercice 1 – Le kéfir de fruit (9 points)
Le kéfir de fruit est une boisson fermentée, naturellement pétillante et peu sucrée, obtenue par la fermentation à l’aide de grains de kéfir. Ces grains sont constitués de levures et de bactéries, micro-organismes responsables du processus de fermentation.
L’objectif de cet exercice est d’étudier différents paramètres de la préparation du kéfir susceptibles d’influencer ses caractéristiques gustatives, en particulier les paramètres liés à la fermentation.
On peut trouver sur internet une recette permettant de produire 1 litre de kéfir de fruit :
- ingrédients :
- 20 g de grains de kéfir ;
- 20 g de sucre ;
- 2 tranches de citron ;
- 1 figue sèche ;
- quantité suffisante d’eau du robinet pour obtenir 1 L de boisson ;
- recette :
- introduire tous les ingrédients dans un grand bocal fermé ;
- laisser fermenter à température ambiante dans un endroit sec, à l’abri de la lumière, durant au moins 24 h.
1. Détermination de la concentration des ions chlorure présents dans l’eau du robinet
La teneur en ions chlorure de l’eau du robinet doit être contrôlée car une concentration trop élevée détruit les bactéries, empêchant ainsi les transformations chimiques qui se produisent lors de la fermentation.
On réalise le titrage par conductimétrie d’un volume V1 = 250,0 mL d’eau du robinet par une solution aqueuse de nitrate d’argent (Ag⁺(aq) ; NO₃⁻(aq)) de concentration C = 1,00 × 10⁻² mol·L⁻¹.
L’équation de réaction modélisant la transformation support de ce titrage est :
$$Ag^+(aq) + Cl^-(aq) \rightarrow AgCl(s)$$
Données
- masse molaire atomique du chlore : M(Cl) = 35,5 g·mol⁻¹ ;
- conductivités ioniques molaires à 25 °C de quelques ions :
- λ(Cl⁻) = 7,6 mS·m²·mol⁻¹ ;
- λ(NO₃⁻) = 7,1 mS·m²·mol⁻¹ ;
- λ(Ag⁺) = 6,2 mS·m²·mol⁻¹.
Q1. Schématiser le dispositif du titrage et légender le matériel et la verrerie, en identifiant clairement où se situent la solution titrante et la solution titrée.
On souhaite étudier l’évolution des quantités de matière des espèces Cl⁻, Na⁺, et AgCl présentes dans le milieu au cours du titrage et prévoir l’allure de la courbe de titrage. Un programme en langage Python permet de simuler le titrage réalisé, en prenant une valeur de concentration de la solution titrée proche de celle attendue. Un extrait de ce programme est fourni sur la figure 1.
1 from pylab import *
2
3 C1=5E-4 # Concentration solution titrée en mol/L
4 V1= # Volume de solution titrée en mL
5 C= # Concentration solution titrante en mol/L
6 Vmax=25 # Volume maximal affiché en mL
7 VE= # Calcul du volume à l'équivalence en mL
8
9 ### Listes des quantités de matière [initiale, à VE, à Vmax] (en mol)
10 ### Quantité de matière en ions argent (en mol)
11 ntitrant=[0,0,C*(Vmax-VE)*0.001]
12 ### Quantité de matière en ions chlorure (en mol)
13 ntitré=[C1*V1*0.001,0,0]
14 ### Quantité de matière en chlorure d'argent formé (en mol)
15 nproduit=
16
17 V=[0,VE,Vmax]Figure 1. Extrait du programme en langage Python
Q2. Recopier sur la copie les lignes de code 4 et 5 et les compléter par une valeur numérique.
Ligne 4 : V1=250
Ligne 5 : C=1*10**(-2)
Q3. Recopier sur la copie la ligne de code 7 et la compléter par l’expression du volume à l’équivalence en fonction des données définies dans le programme Python.
$$Ag^+(aq) + Cl^-(aq) \rightarrow AgCl(s)$$
A l’équivalence :
$$\frac{n_{Cl^-}^i}{1} = \frac{n_{Ag^+}^{eq}}{1}$$
$$C_1 \times V_1 = C \times V_E$$
$$C \times V_E = C_1 \times V_1$$
$$V_E = \frac{C_1 \times V_1}{C}$$
Ligne 7 : VE= C1* V1/ C
Les lignes de code 11, 13 et 15 permettent de calculer les quantités de matière pour les espèces chimiques mentionnées sur la simulation. La ligne de code 15 donne les expressions des quantités de matière du chlorure d’argent formé pour trois volumes versés différents de solution titrante : V = 0 ; V = VE et V = Vmax.
Q4. Recopier puis compléter la ligne 15 du programme sur la copie, en utilisant les paramètres C et VE, sur le même modèle que les lignes 11 et 13.
La ligne 15 correspond à la quantité de matière de chlorure d’argent formé pour V=0, V=VE et V=Vmax.
- À V=0 : aucun précipité formé : 0
- À V=VE: toute la quantité initiale de chlorure a réagi C*VE*0.001
- À V=Vmax: après l’équivalence, la quantité de précipité ne varie plus C*VE*0.001
Ligne 15 : nproduit=[0,C*VE*0.001,C*VE*0.001]
L’ion nitrate NO₃⁻ est une autre espèce ionique présente dans le milieu réactionnel : cette espèce ne participe pas à la transformation chimique mise en jeu.
Après exécution, le programme de simulation fournit la figure de l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE représentant l’évolution, au cours du titrage, des quantités de matière des espèces qui interviennent dans la réaction support du titrage : Ag⁺, Cl⁻ et AgCl.
Q5. Tracer sur la figure de l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE l’évolution de la quantité de matière des ions nitrate en fonction du volume V de solution titrante ajouté.
Q6. À l’aide des courbes fournies par le programme de simulation et présentées sur l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE, interpréter qualitativement l’évolution de la conductivité au cours du titrage.
$$Ag^+(aq) + Cl^-(aq) \rightarrow AgCl(s)$$
| Ions | Avant l’équivalence |
| Ag⁺ | 0 |
| NO₃⁻ | ↗ |
| Cl⁻ | ↘ |
Avant l’équivalence :
- les ions Ag⁺ sont ajoutés et consommés immédiatement, ils constituent le réactif limitant, la concentration des ions Ag⁺ est nulle.
- les ions NO₃⁻ sont ajoutés, ils ne réagissent pas, la concentration des ions NO₃⁻ augmente.
- les ions Cl⁻ sont consommés, la concentration des ions Cl⁻ diminue.
Donc les ions Cl⁻ sont remplacés par des ions NO₃⁻
Or λ(Cl⁻) > λ(NO₃⁻) ainsi σ diminue avant l’équivalence.
| Ions | Après l’équivalence |
| Ag⁺ | ↗ |
| NO₃⁻ | ↗ |
| Cl⁻ | 0 |
Après l’équivalence :
- les ions Ag⁺sont ajoutés et ne sont plus consommés, la concentration des ions Ag⁺augmente.
- les ions NO₃⁻ sont ajoutés, ils ne réagissent pas, la concentration des ions NO₃⁻ augmente.
- les ions Cl⁻ n’existent plus, la concentration des ions Cl⁻ est nulle.
La concentration des ions augmente, ainsi σ augmente après l’équivalence.
Une fois le titrage réalisé, on trace l’évolution de la conductivité du mélange, notée σ, en fonction du volume V de solution titrante ajouté. On obtient les résultats expérimentaux fournis en figure 2.
La teneur maximale en ions chlorure permettant l’activité fermentaire des bactéries contenues dans les grains de kéfir est de 2 g·L⁻¹.
Q7. Déterminer la concentration en masse en ions chlorure de cette eau du robinet et conclure sur son utilisation pour réaliser du kéfir.
$$Ag^+(aq) + Cl^-(aq) \rightarrow AgCl(s)$$
A l’équivalence :
$$\frac{n_{Cl^-}^i}{1} = \frac{n_{Ag^+}^{eq}}{1}$$
$$C_1 \times V_1 = C \times V_E$$
$$C_1 = \frac{C \times V_E}{V_1}$$
On détermine VE a l’intersection des deux droites : $V_E = 10,8\ mL$
$$C_1 = \frac{1,00 \times 10^{-2} \times 10,8 \times 10^{-3}}{250,0 \times 10^{-3}}$$
$$C_1 = 4,32 \times 10^{-4}\ mol.L^{-1}$$
$$c_m = C_1 \times M$$
$$c_m = 4,32 \times 10^{-4} \times 35,5$$
$$c_m = 1,53 \times 10^{-2}\ g.L^{-1}$$
La concentration en masse en ions chlorure de cette eau du robinet est inférieure à la teneur maximale en ions chlorure permettant l’activité fermentaire des bactéries contenues dans les grains de kéfir 2 g·L⁻¹.
Ainsi, cette eau du robinet peut être utilisée pour réaliser du kéfir.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter sa démarche même si elle n’a pas abouti. La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d’être correctement présentée.
2. Évolution de la cinétique de la réaction de fermentation
Lors du processus de fermentation, le glucose apporté par le sucre est transformé en éthanol et en dioxyde de carbone : le dégagement gazeux qui en résulte est responsable de l’aspect pétillant de cette boisson.
On se propose d’étudier la cinétique de cette fermentation, qu’on modélise par l’équation de réaction suivante :
$$C_6H_{12}O_6(aq) \rightarrow 2\ CH_3CH_2OH(aq) + 2\ CO_2(g)$$
Données
- masse molaire moléculaire : M(C₆H₁₂O₆) = 180,0 g·mol⁻¹.
La méthode étudiée consiste à suivre l’évolution de la concentration en éthanol au cours du temps dans le milieu réactionnel, à l’aide d’une sonde spécifique.
Pour cela, on prépare au laboratoire un litre de kéfir de fruit et on mesure la concentration en éthanol dissous dans le milieu réactionnel à l’aide d’une acquisition informatisée. La recette utilisée est celle proposée en début d’énoncé, les 20 g de sucre de la recette étant remplacés par 20 g de glucose. Pour la suite de l’exercice, on note VBoisson le volume de boisson préparé.
Q8. Citer une autre méthode envisageable pour suivre la cinétique de cette réaction de fermentation.
Une autre méthode possible pour suivre la cinétique de la fermentation est de mesurer le volume de dioxyde de carbone CO₂ produit au cours du temps.
Afin de suivre la cinétique de la réaction de fermentation par la méthode choisie, il est nécessaire de relier la concentration en glucose à la concentration d’éthanol dans le milieu réactionnel.
Q9. Montrer que l’évolution de la quantité de matière de glucose au cours du temps peut être définie à partir de la quantité de matière d’éthanol selon l’expression littérale :
$$n_{glu}(t) = n_{glu}(t_0) – \frac{C_{éth}(t) \cdot V_{Boisson}}{2}$$
où nglu(t) et nglu(t₀) sont les quantités de matière de glucose respectivement à la date t et à l’instant initial t₀ = 0 et Céth(t) est la concentration en quantité de matière d’éthanol à la date t. On pourra s’aider d’un tableau d’avancement.
| $$C_{2}H_{12}O_{6}(aq)$$ | $$\rightarrow 2CH_{3}CH_{2}OH(aq)$$ | $$+ \ CO_{2}(g)$$ | |
| Ethanol | |||
| État initial | $$n_{glu}(t_{0})$$ | 0 | 0 |
| État intermédiaire | $$n_{glu}(t_{0}) – x = n_{glu}(t)$$ | $$2x = n_{eth}(t)$$ | $$x$$ |
| État final | $$n_{glu}(t_{0}) – x_{f}$$ | $$2x_{f}$$ | $$x_{f}$$ |
$$n_{glu}(t_0) – x = n_{glu}(t)$$
$$n_{glu}(t) = n_{glu}(t_0) – x$$
Or
$$2x = n_{eth}(t)$$
$$x = \frac{n_{eth}(t)}{2}$$
D’où
$$n_{glu}(t) = n_{glu}(t_0) – \frac{n_{eth}(t)}{2}$$
Or
$$n_{eth}(t) = C_{eth}(t) \times V_{Boisson}$$
D’où
$$n_{glu}(t) = n_{glu}(t_0) – \frac{C_{eth}(t) \times V_{Boisson}}{2}$$
On se propose de vérifier que l’évolution de la concentration en glucose suit une loi de vitesse d’ordre 1.
Q10. À partir de la définition de la vitesse de disparition du glucose et en supposant que cette vitesse suit une loi d’ordre 1, montrer que :
$$\frac{dC_{glu}(t)}{dt} + k \cdot C_{glu}(t) = 0$$
$$v_{d,glu}(t) = – \frac{dC_{glu}(t)}{dt}$$
Dans le cas d’une loi de vitesse d’ordre 1 :
$$v_{d,glu}(t) = k \times C_{glu}(t)$$
Ainsi :
$$- \frac{dC_{glu}(t)}{dt} = k \times C_{glu}(t)$$
$$- \frac{dC_{glu}(t)}{dt} – k \times C_{glu}(t) = 0$$
$$\frac{dC_{glu}(t)}{dt} + k \times C_{glu}(t) = 0$$
Q11. Justifier que cette équation différentielle admet pour solution une fonction d’expression :
$$C_{glu}(t) = C_{glu}(0) \cdot e^{-k \cdot t}$$
$$C_{glu}(t) = C_{glu}(0) \times e^{-k \times t}$$
$$\frac{dC_{glu}(t)}{dt} = C_{glu}(0) \times -k \times e^{-k \times t}$$
$$\frac{dC_{glu}(t)}{dt} + k \times C_{glu}(t) = C_{glu}(0) \times -k \times e^{-k \times t} + k \times C_{glu}(0) \times e^{-k \times t}$$
$$\frac{dC_{glu}(t)}{dt} + k \times C_{glu}(t) = -k \times C_{glu}(0) \times e^{-k \times t} + k \times C_{glu}(0) \times e^{-k \times t}$$
$$\frac{dC_{glu}(t)}{dt} + k \times C_{glu}(t) = 0$$
À partir des résultats expérimentaux, on trace l’évolution temporelle du logarithme népérien de la concentration en quantité de matière de glucose, en mol·L⁻¹. Le graphique obtenu est fourni en figure 3.
Q12. Justifier que ce tracé permet de confirmer que la vitesse de disparition du glucose lors de la fermentation suit bien une loi de vitesse d’ordre 1.
L’équation de la modélisation est une affine :
$$\ln\left( C_{glu} \right) = – 5,34 \times 10^{-6} \times t – 2,22$$
Pour une vitesse d’ordre 1 :
$$C_{glu}(t) = C_{glu}(0) \times e^{-k \times t}$$
$$\ln\left( C_{glu}(t) \right) = \ln\left( C_{glu}(0) \times e^{-k \times t} \right)$$
$$\ln\left( C_{glu}(t) \right) = ln\left( C_{glu}(0) \right) + \ln\left( e^{-k \times t} \right)$$
$$\ln\left( C_{glu}(t) \right) = ln\left( C_{glu}(0) \right) – k \times t$$
$$\ln\left( C_{glu}(t) \right) = – k \times t + ln\left( C_{glu}(0) \right)$$
C’est une affine qui correspond à l’équation de la modélisation.
Avec :
- $k = 5,34 \times 10^{-6}$
- $\ln\left( C_{glu}(0) \right) = – 2,22$
Ainsi, la vitesse de disparition du glucose lors de la fermentation suit bien une loi de vitesse d’ordre 1.
Q13. À partir de l’équation de la modélisation, calculer la masse de glucose initialement introduite pour réaliser cette expérience de fermentation. Commenter.
$$n_{glu}(0) = \frac{m_{glu}(0)}{M_{glu}}$$
$$\frac{m_{glu}(0)}{M_{glu}} = n_{glu}(0)$$
$$m_{glu}(0) = n_{glu}(0) \times M_{glu}$$
Or
$$C_{glu}(0) = \frac{n_{glu}(0)}{V}$$
$$\frac{n_{glu}(0)}{V} = C_{glu}(0)$$
$$n_{glu}(0) = C_{glu}(0) \times V$$
D’où
$$m_{glu}(0) = C_{glu}(0) \times V \times M_{glu}$$
Or
$$ln\left( C_{glu}(0) \right) = – 2,22$$
$$e^{ln\left( C_{glu}(0) \right)} = e^{- 2,22}$$
$$C_{glu}(0) = e^{-2,22}$$
D’où
$$m_{glu}(0) = e^{-2,22} \times V \times M_{glu}$$
$$m_{glu}(0) = e^{-2,22} \times 1,00 \times 180,0$$
$$m_{glu}(0) = 19,5\ g$$
La masse de glucose initialement introduite pour réaliser cette expérience de fermentation est de 19,5g , elle correspond au 20 g de glucose indiqué dans la recette.
Le temps de demi-réaction peut se calculer à l’aide de l’expression suivante :
$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$$
Q14. Déterminer la valeur du temps de demi-réaction à l’aide des résultats expérimentaux. Conclure quant à la recette fournie en début d’énoncé, sachant que la boisson doit encore contenir du sucre pour être agréable au goût.
$$t_{1/2} = \frac{ln(2)}{k}$$
$$t_{1/2} = \frac{ln(2)}{5,34 \times 10^{-6}}$$
$$t_{1/2} = 1,30 \times 10^{5}s$$
$$t_{1/2} = 36\ h$$
3. Arôme de la boisson végétale de kéfir
La recette étudiée propose d’ajouter quelques tranches de citron pour donner un goût acidulé. Cet agrume contient dans son écorce des espèces chimiques telles que le limonène et le citral ; son jus est riche en acide citrique.
On se propose dans cette partie d’identifier les espèces présentes dans la boisson préparée et qui pourraient alors être responsables du goût acidulé de la boisson.
Données
données de spectroscopie infrarouge :
| Liaison | O–H | C–H | C=C | C=O |
| Nombre d’onde (en cm⁻¹) | 3200 – 3700 | 2850 – 3100 | 1620 – 1680 | 1650 – 1730 |
| Allure de la bande caractéristique | Forte et large | Forte | Faible et fine | Forte et fine |
données de solubilité de différents composés présents dans le citron :
| Espèce chimique | Solubilité dans l’eau | Solubilité dans l’acétate d’éthyle | Solubilité dans le cyclohexane |
| Limonène | Faible | Convenable | Grande |
| Citral | Très faible | Convenable | Grande |
| Acide citrique | Grande | Grande | Nulle |
miscibilité des différents solvants avec l’eau :
| acétate d’éthyle | cyclohexane |
| faible | nulle |
Q15. Attribuer chacun des deux spectres présentés au citral et à l’acide citrique. Justifier.
Le spectre A présente un pic autour de 1680 cm⁻¹ caractéristique d’une liaison C = O.
Le spectre A présente un pic autour de 1650 cm⁻¹ caractéristique d’une liaison C=C.
Le spectre A est donc celui du citral.
Le spectre B présente un pic autour de 1700 cm⁻¹ caractéristique d’une liaison C = O.
Le spectre B présente de pic autour de 3300 cm⁻¹ caractéristique d’une liaison O-H.
Le spectre B est donc celui de l’acide citrique.
On souhaite identifier les espèces présentes dans le kéfir préparé. Pour cela, on réalise leur extraction à l’aide d’un solvant.
Q16. Choisir, en justifiant, parmi l’eau, l’acétate d’éthyle et le cyclohexane, le solvant le plus approprié pour extraire simultanément le citral, l’acide citrique et le limonène présents dans le kéfir.
On cherche à extraire simultanément le citral, l’acide citrique et le limonène présents dans le kéfir.
- Ces espèces doivent être soluble dans le solvant extracteur.
- Le solvant extracteur doit être non miscible à l’eau.
On choisit donc l’acétate d’éthyle car toutes ces espèces y sont solubles et car l’acétate d’éthyle est faiblement miscible à l’eau.
Après l’extraction, on réalise une chromatographie sur couche mince pour analyser l’extrait, noté K. Après révélation avec une solution de permanganate de potassium, on obtient un chromatogramme dont une représentation est donnée en figure 6.
Q17. En analysant le chromatogramme obtenu, déterminer l’espèce issue du citron que l’on retrouve dans la boisson et qui pourrait être responsable du goût acidulé du kéfir.
Le chromatogramme montre, que concernant le dépôt K (Extrait du kéfir) :
Une tache à la même hauteur que l’acide citrique pur. Ainsi, le kéfir contient de l’acide citrique.
Il n’y a pas de tache au même niveau que le limonène ou le citral. Ainsi, le kéfir ne contient pas du limonène ou du citral.
L’espèce issue du citron que l’on retrouve dans la boisson et qui pourrait être responsable du goût acidulé du kéfir est donc l’acide citrique.