Le paracétamol

Bac Antilles-Guyane 2026 Sujet 2

Exercice 2 – (5 points) – Durée 0h53 – Calculatrice autorisée

Sujet n°26-PYCJ2AG1

Sujet et corrigé

EXERCICE 2 – LE PARACÉTAMOL (5 points)

Le paracétamol a été synthétisé pour la première fois par Harmon Northrop Morse en 1878.

D’après une étude de l’Assurance Maladie, entre juin 2023 et juin 2024, les deux médicaments les plus consommés en France ont pour principe actif le paracétamol. Utilisé pour diminuer les douleurs d’intensité légère à modérée (antalgique) ou faire chuter la fièvre (antipyrétique), le paracétamol peut être conditionné sous diverses formes : comprimés, poudre en sachets, etc.

Le but de cet exercice est de contrôler la teneur de ce principe actif dans un sachet, puis d’étudier la cinétique de sa disparition dans l’organisme.

Données

• masse molaire du paracétamol : M(C₈H₉NO₂) = 151 g·mol⁻¹ ;
• conductivités ioniques molaires λ de quelques ions à 25° C :

Ion	Na+	OH−	C8H8NO2−
λ (S·m²·mol−1)	5,01×10−3	19,8×10−3	1,7×10−3

• formule topologique du paracétamol :

1. Contrôle de la teneur en principe actif

Q1. Écrire la formule semi-développée du paracétamol, puis entourer et nommer les groupes caractéristiques présents dans cette molécule.

On souhaite contrôler la teneur en paracétamol dans un sachet dont la notice indique qu’il contient 500 mg de paracétamol. On réalise pour cela un titrage avec suivi conductimétrique :

• on dissout le contenu d’un sachet de paracétamol, de formule chimique brute C₈H₉NO₂, dans un grand volume d’eau distillée ;
• on titre la solution obtenue par une solution titrante d’hydroxyde de sodium (Na⁺(aq)+OH⁻(aq)) dont la concentration en quantité de matière apportée, notée C, a pour valeur C = 0,250 mol·L⁻¹.

La transformation chimique mise en jeu lors du titrage peut être modélisée par la réaction d’équation :

C₈H₉NO₂(aq) + OH⁻(aq) → C₈H₈NO₂⁻(aq) + H₂O(l)

L’évolution de la conductivité σ de la solution en fonction du volume V de solution d’hydroxyde de sodium versé est donnée dans l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE.

Q2. À l’aide des données sur les conductivités ioniques molaires et en négligeant l’effet de la dilution lors de l’ajout de la solution titrante, justifier qualitativement l’évolution de la pente de la courbe au cours du titrage, avant et après l’équivalence.

$$C_{8}H_{9}NO_{2}(aq) + HO^{-}(aq) \rightarrow C_{8}H_{9}NO_{2}^{-}(aq) + H_{2}O(l)$$

Ions	Avant l’équivalence
[C8H9NO2−]	↗
[HO−]	0
[Na+]	↗

Avant l’équivalence :

• [C₈H₉NO₂⁻] augmente car c’est un produit de la réaction.
• [HO⁻] est nulle car les ions HO⁻ sont en défaut avant l’équivalence
• [Na⁺] augmente car les ions Na⁺ sont spectateurs et ajoutés au cours du titrage.

Ions	Après l’équivalence
[C8H9NO2−]	=
[HO−]	↗
[Na+]	↗

Après l’équivalence :

• [C₈H₉NO₂⁻] reste constant. C₈H₉NO₂⁻ est un produit de la réaction or après l’équivalence, il n’y a plus de réaction entre C₈H₉NO₂(aq) et HO⁻(aq) car tous les C₈H₉NO₂ ont été consommés.
• [HO⁻] augmente car les ions HO⁻ sont en excès après l’équivalence et ils ne réagissent plus
• [Na⁺] augmente car les ions Na⁺ sont spectateurs et ajoutés au cours du titrage.

Avant l’équivalence, la concentration des ions augmente donc la conductivité augmente.

Après l’équivalence, la concentration des ions augmente donc la conductivité augmente.

Comparons les deux augmentations :

λ_HO− > λ_C8H9NO2− donc l’augmentation de la conductivité est plus importante après l’équivalence.

Q3. En faisant figurer la construction graphique sur la courbe de l’ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE, vérifier que la quantité de matière n_p de paracétamol contenu dans le sachet vaut n_p = 3,43×10⁻³ mol.

$$C_{8}H_{9}NO_{2}(aq) + HO^{-}(aq) \rightarrow C_{8}H_{9}NO_{2}^{-}(aq) + H_{2}O(l)$$

A l’équivalence, les réactifs sont introduits dans les proportions stœchiométriques :

$$\frac{n_{C_{8}H_{9}NO_{2}}^{i}}{1} = \frac{n_{HO^{-}}^{eq}}{1}$$

$$n_{p} = C \times V_{eq}$$

On trouve graphiquement V_eq à l’intersection des deux segments : V_eq = 13,7 mL

$$n_{p} = 0,250 \times 13,7 \times 10^{-3}$$

$$n_{p} = 3,43 \times 10^{-3}\ mol$$

L’incertitude-type u(m) associée à la valeur de la masse m de paracétamol est donnée par la relation :

$$u(m) = m \cdot \sqrt{\left(\frac{u(C)}{C}\right)^2 + \left(\frac{u(V_E)}{V_E}\right)^2}$$

• u(C) est l’incertitude-type de la concentration C en quantité de matière d’hydroxyde de sodium apportée ; u(C) = 0,010 mol·L⁻¹ ;
• u(V_E) est l’incertitude-type du volume de solution titrante versée pour atteindre l’équivalence ; u(V_E) = 0,29 mL.

Q4. Déterminer la valeur de la masse de paracétamol, notée m_mes, contenue dans le sachet et son incertitude-type associée, notée u(m_mes). Écrire le résultat de la mesure avec un nombre adapté de chiffres significatifs. On exprimera le résultat en milligramme.

$$n_{p} = \frac{m_{p}}{M_{p}}$$

$$\frac{m_{p}}{M_{p}} = n_{p}$$

$$m_{p} = n_{p} \times M_{p}$$

$$m_{mes} = n_{p} \times M(C_{8}H_{9}NO_{2})$$

$$m_{mes} = 3,43 \times 10^{-3} \times 151$$

$$m_{mes} = 0,518\ g$$

$$u(m) = m \times \sqrt{\left(\frac{u(C)}{C}\right)^{2} + \left(\frac{u(V_{E})}{V_{E}}\right)^{2}}$$

$$u(m) = 0,518 \times \sqrt{\left(\frac{0,010}{0,250}\right)^{2} + \left(\frac{0,29}{13,7}\right)^{2}}$$

$$u(m) = 3 \times 10^{-2}\ g$$

$$m_{mes} = 0,518\ \pm\ 3 \times 10^{-2}\ g$$

$$m_{mes} = 518\ \pm\ 30\ mg$$

Le quotient $z = |m_{mes}-m_{ref}|/u(m_{mes})$ permet de comparer la valeur mesurée expérimentalement, notée m_mes, à la valeur de référence, notée m_ref. Si le quotient z est supérieur à 2, on considère que la valeur mesurée n’est pas compatible avec la valeur de référence.

Q5. Discuter de la compatibilité entre la valeur de la masse de paracétamol mesurée, notée m_mes, et la valeur de référence, notée m_ref, indiquée sur la notice du médicament.

$$z = \left|\frac{m_{mes} – m_{ref}}{u(m_{mes})}\right|$$

$$z = \left|\frac{518 – 500}{30}\right|$$

$$z = 0,6$$

z < 2 : Ainsi, la valeur de la masse de paracétamol mesurée, notée m_mes, et la valeur de référence, notée m_ref, indiquée sur la notice du médicament sont compatibles.

2. Étude cinétique

L’efficacité du paracétamol dépend de sa concentration dans le sang qui diminue progressivement au cours du temps car le paracétamol est transformé en différents produits. L’un d’eux est toxique et ne doit pas être présent de façon excessive dans l’organisme. Il est donc recommandé de ne pas dépasser un gramme de paracétamol par prise, en respectant un intervalle d’au moins six heures entre deux prises.

On se propose de vérifier si l’on peut expliquer ces recommandations à partir de l’évolution de la concentration de paracétamol dans le sang à la suite de la prise d’un comprimé en contenant 1 g. On considère que :

• la valeur maximale de la concentration du paracétamol dans le sang est égale à 132 µmol·L⁻¹ ;
• l’évolution de la concentration en paracétamol dans le sang suit ensuite une loi de vitesse d’ordre 1.

Q6. Écrire l’expression de la vitesse volumique de disparition v_P du paracétamol en fonction de sa concentration [C₈H₉NO₂].

$$v_{p} = -\frac{d[C_{8}H_{9}NO_{2}]}{dt}$$

Q7. En utilisant la réponse précédente et sachant que l’évolution de la concentration en paracétamol dans le sang suit une loi de vitesse d’ordre 1, montrer que : d[C₈H₉NO₂]/dt = −k·[C₈H₉NO₂] , 𝑘 représente la constante de vitesse.

Dans le cas d’une loi de vitesse d’ordre 1, la relation existante entre la vitesse volumique de disparition v_p, la concentration [C₈H₉NO₂] et une constante positive k est :

$$v_{p} = k \times [C_{8}H_{9}NO_{2}]$$

Ainsi

$$-\frac{d[C_{8}H_{9}NO_{2}]}{dt} = k \times [C_{8}H_{9}NO_{2}]$$

$$\frac{d[C_{8}H_{9}NO_{2}]}{dt} = -k \times [C_{8}H_{9}NO_{2}]$$

La solution de l’équation différentielle précédente est de la forme :

[C₈H₉NO₂](t) = [C₈H₉NO₂]₀·e^−k·t

avec [C₈H₉NO₂]₀ la concentration de paracétamol à t = 0 s et k = 0,28 h⁻¹.

L’évolution temporelle de la concentration en quantité de matière de paracétamol [C₈H₉NO₂](t) dans le sang, en µmol·L⁻¹, est représentée par la courbe de la figure 1.

Q8. En utilisant la courbe de la figure 1, montrer sans calcul que la vitesse de disparition du paracétamol diminue au cours du temps.

$$v_{p} = -\frac{d[C_{8}H_{9}NO_{2}]}{dt}$$

La dérivée se calcul en trouvant le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe.

En traçant la tangente à la courbe pour différents temps, on observe que la valeur absolue de la pente diminue au cours du temps. Ainsi, la vitesse volumique de disparition du paracétamol diminue au cours du temps.

La date t = 0 h correspond au pic de concentration en quantité de matière de paracétamol dans le sang. On considère que ce pic est atteint 30 minutes après la prise unique de 1 g de paracétamol et que l’effet antalgique du paracétamol sur un individu s’atténue fortement lorsque sa concentration en masse dans le sang devient inférieure à c_lim = 8 mg·L⁻¹.

Q9. Déterminer la valeur de la durée nécessaire pour que la valeur limite c_lim soit atteinte depuis la prise du médicament. Expliquer l’écart avec les recommandations indiquées sur la notice.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter correctement sa démarche, même non aboutie, car elle sera évaluée.

Méthode 1 :

$$[C_{8}H_{9}NO_{2}](t) = [C_{8}H_{9}NO_{2}]_{0} \times e^{-k \times t}$$

$$e^{-k \times t} = \frac{[C_{8}H_{9}NO_{2}](t)}{[C_{8}H_{9}NO_{2}]_{0}}$$

$$\ln(e^{-k \times t}) = \ln\left(\frac{[C_{8}H_{9}NO_{2}](t)}{[C_{8}H_{9}NO_{2}]_{0}}\right)$$

$$-k \times t = \ln\left(\frac{[C_{8}H_{9}NO_{2}](t)}{[C_{8}H_{9}NO_{2}]_{0}}\right)$$

$$t = \frac{\ln\left(\frac{[C_{8}H_{9}NO_{2}](t)}{[C_{8}H_{9}NO_{2}]_{0}}\right)}{-k}$$

$$t_{\lim} = \frac{\ln\left(\frac{[C_{8}H_{9}NO_{2}](t_{\lim})}{[C_{8}H_{9}NO_{2}]_{0}}\right)}{-k}$$

Or

$$c_{\lim} = [C_{8}H_{9}NO_{2}](t_{\lim}) \times M(C_{8}H_{9}NO_{2})$$

$$[C_{8}H_{9}NO_{2}](t_{\lim}) = \frac{c_{\lim}}{M(C_{8}H_{9}NO_{2})}$$

d’où

$$t_{\lim} = \frac{\ln\left(\frac{c_{\lim}}{[C_{8}H_{9}NO_{2}]_{0} \times M(C_{8}H_{9}NO_{2})}\right)}{-k}$$

$$t_{\lim} = \frac{\ln\left(\frac{8,0 \times 10^{-3}}{132 \times 10^{-6} \times 151}\right)}{-0,28}$$

$$t_{\lim} = 3,3\ h$$

Méthode 2 :

$$c_{\lim} = [C_{8}H_{9}NO_{2}](t_{\lim}) \times M(C_{8}H_{9}NO_{2})$$

$$[C_{8}H_{9}NO_{2}](t_{\lim}) = \frac{c_{\lim}}{M(C_{8}H_{9}NO_{2})}$$

$$[C_{8}H_{9}NO_{2}](t_{\lim}) = \frac{8,0 \times 10^{-3}}{151}$$

$$[C_{8}H_{9}NO_{2}](t_{\lim}) = 5,3 \times 10^{-5}\ mol.L^{-1}$$

$$[C_{8}H_{9}NO_{2}](t_{\lim}) = 53\ \mu mol.L^{-1}$$

Graphiquement, la concentration atteint 53 µmol.L⁻¹ pour t_lim = 3,3 h

D’après le sujet, le pic est atteint 30 min après la prise.

Donc la durée depuis la prise vaut 3,3 + 0,5 = 3,8 h

La notice recommande d’attendre au moins 6 h entre deux prises, car il faut éviter une accumulation de paracétamol et de produits toxiques dans l’organisme.