Bac Métropole septembre 2026 Sujet 1
Exercice 2 – (4 points) – Durée 0h42 – Calculatrice autorisée
Sujet n°26-PYCJ1ME3
Sujet et corrigé
Exercice 2 – Loi de dilution d’Ostwald (4 points)
La loi de dilution d’Ostwald, du nom du chimiste allemand Wilhelm Ostwald (prix Nobel de chimie en 1909), énonce que plus une solution aqueuse d’acide faible est diluée, plus la réaction de l’acide faible avec l’eau est avancée, c’est-à-dire que le comportement d’un acide faible très dilué rejoint celui d’un acide fort.
L’acide méthanoïque est un acide utilisé couramment au laboratoire. Le but de cet exercice est de vérifier expérimentalement que cet acide suit la loi de dilution d’Ostwald.
La représentation développée de l’acide méthanoïque est :
Q1. Recopier la molécule puis entourer et nommer son groupe caractéristique.
Le groupe caractéristique entouré est le groupe carboxyle (COOH).
Non demandé : La molécule appartient à la famille des acides carboxyliques : acide méthanoïque.
On considère l’équilibre suivant : HCOOH(aq) + H₂O(ℓ) ⇄ HCOO⁻(aq) + H₃O⁺(aq)
Données :
- pKA(HCOOH(aq)/HCOO⁻(aq)) = 3,8 ;
- concentration standard : c° = 1,0 mol·L⁻¹ ;
- pour discuter de l’accord du résultat d’une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\frac{\left| x – x_{ref} \right|}{u(x)}$ avec x la valeur mesurée, xref la valeur de référence et u(x) l’incertitude-type associée à la valeur mesurée x.
On souhaite préparer une solution aqueuse d’acide méthanoïque, notée S₁, de concentration en soluté apporté C = 4,0×10⁻² mol·L⁻¹, à partir d’une solution S₀ de concentration C₀ = 2,0×10⁻¹ mol·L⁻¹.
On dispose :
- de fioles jaugées de volumes 50 mL ou 200 mL ;
- de pipettes jaugées de volumes 10 mL, 20 mL ou 25 mL.
Q2. Déterminer la verrerie à utiliser pour effectuer cette dilution avec un seul prélèvement de S₀.
Le facteur de dilution est :
$$F = \frac{C_{0}}{C}$$
$$F = \frac{2,0 \times 10^{- 1}}{4,0 \times 10^{- 2}}$$
$$F = 5,0$$
$$F = \frac{V_{1}}{V_{0}}$$
$$F \times V_{0} = V_{1}$$
$$V_{1} = F \times V_{0}$$
$$V_{1} = 5,0 \times V_{0}$$
Le volume V₁ de la solution fille (volume de la fiole jaugée), doit être 5 fois plus grand que le volume V₀ de la solution mère (volume de la pipette jaugée)
Essayons avec la verrerie disponible :
Avec une pipette jaugée de 10 mL :
$$V_{1} = 5,0 \times V_{0}$$
$$V_{1} = 5,0 \times 10$$
$$V_{1} = 50\ mL$$
Une fiole jaugée de 50 mL est disponible.
Avec une pipette jaugée de 20 mL :
$$V_{1} = 5,0 \times V_{0}$$
$$V_{1} = 5,0 \times 20$$
$$V_{1} = 100\ mL$$
Une fiole jaugée de 100 mL n’est pas disponible.
Avec une pipette jaugée de 25 mL :
$$V_{1} = 5,0 \times V_{0}$$
$$V_{1} = 5,0 \times 25$$
$$V_{1} = 125\ mL$$
Une fiole jaugée de 125 mL n’est pas disponible.
On choisit :
- une fiole jaugée V₁ = 50 mL
- une pipette jaugée V₀ = 10 mL
Dans un premier temps, on mesure expérimentalement le pH de la solution aqueuse S₁ d’acide méthanoïque préparée précédemment. La valeur obtenue est pH = 2,70 avec une incertitude-type associée u(pH) = 0,05.
Dans un second temps, on cherche à déterminer la valeur théorique de ce pH, dans le cas où le comportement de l’acide étudié est celui d’un acide faible.
Q3. À l’aide d’un diagramme de prédominance, justifier que l’acide méthanoïque ne se dissocie pas totalement dans l’eau dans les conditions de l’expérience.
Diagramme de prédominance de l’acide méthanoïque :
Pour pH = 2,70 : pH est inférieur à pKA
HCOOH est l’espèce prédominante dans la solution : $\lbrack HCOOH\rbrack_{eq} > \left\lbrack HCOO^{-} \right\rbrack_{eq}$
Pour un acide fort pH=-log (c). Avec c la concentration de l’acide fort.
$$- \log c = – \log{4,0 \times 10^{- 2}}$$
$$- \log c = 1,4$$
Or $pH = 2,7$
$$- \log c \neq pH$$
L’acide méthanoïque ne se dissocie donc pas totalement dans l’eau.
Q4. Déterminer la relation entre la constante d’acidité KA et les concentrations en quantité de matière des différentes espèces à l’équilibre et la concentration standard c°.
$$HCOOH(aq) + H_{2}O(l) \rightleftarrows HCOO^{-}(aq) + H_{3}O^{+}(aq)$$
$$K_{A} = \frac{\left\lbrack HCOO^{-} \right\rbrack_{eq} \times \left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq}}{\lbrack HCOOH\rbrack_{eq} \times c^{0}}$$
Q5. Exprimer la constante d’acidité KA en fonction uniquement de la concentration en ion oxonium à l’équilibre [H₃O⁺]éq , de la concentration en soluté apporté C et de la concentration standard c°.
| $HCOOH_{(aq)}$ | $H_{2}O_{(l)} \rightleftarrows$ | $HCOO_{(aq)}^{-}$ | $+ \ H_{3}O_{(aq)}^{+}$ | |
| État initial | $n = CV$ | Solvant | 0 | 0 |
| État intermédiaire | $CV – x$ | Solvant | $x$ | $x$ |
| État final | $CV – x_{f}$ | Solvant | $x_{f}$ | $x_{f}$ |
$$K_{A} = \frac{\left\lbrack HCOO^{-} \right\rbrack_{eq} \times \left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq}}{\lbrack HCOOH\rbrack_{eq} \times c^{0}}$$
$$\left\lbrack HCOO^{-} \right\rbrack_{eq} = \frac{n_{HCOO^{-}}}{V} = \frac{x_{f}}{V}$$
$$\lbrack HCOOH\rbrack_{eq} = \frac{n_{HCOOH}}{V} = \frac{CV – x_{f}}{V}$$
$$\left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq} = \frac{n_{H_{3}O^{+}}}{V} = \frac{x_{f}}{V}$$
$$K_{A} = \frac{\frac{x_{f}}{V} \times \frac{x_{f}}{V}}{\frac{CV – x_{f}}{V} \times c^{0}}$$
$$K_{A} = \frac{\left( \frac{x_{f}}{V} \right)^{2}}{\left( \frac{CV}{V} – \frac{x_{f}}{V} \right) \times c^{0}}$$
$$K_{A} = \frac{\left( \frac{x_{f}}{V} \right)^{2}}{\left( C – \frac{x_{f}}{V} \right) \times c^{0}}$$
Or
$$\frac{x_{f}}{V} = \left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq}$$
D’où
$$K_{A} = \frac{\left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq}^{2}}{\left( C – \left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq} \right) \times c^{0}}$$
Cette relation permet d’établir l’équation du second degré suivante :
$$\left[ H_{3}O^{+} \right]_{\text{éq}}^{2} + K_{A} \cdot \left[ H_{3}O^{+} \right]_{\text{éq}} \cdot c^{\circ} – K_{A} \cdot C \cdot c^{\circ} = 0 \qquad (1)$$
La résolution de cette équation du second degré permet de déterminer la valeur théorique du pH de la solution S₁ préparée précédemment. Pour cela, on utilise un programme en langage Python (figure 1).
Q6. Recopier sur la copie et compléter les lignes 8, 9 et 10 du programme permettant de calculer les solutions x1 et x2 de l’équation du second degré (1).
L’équation (1) est de la forme :
$$a \times \left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq}^{2} + b \times \left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq} + c = 0$$
$$\left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq}^{2} + K_{A} \times c^{0} \times \left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq} – K_{A} \times C \times c^{0} = 0$$
Par identification :
$$a = 1$$
$$b = K_{A} \times c^{0}$$
$$c = – K_{A} \times C \times c^{0}$$
Lignes à recopier et compléter :
Ligne 8 : a = 1
Ligne 9 : b = Ka*c0
Ligne 10 : c = -Ka*C*c0
Le programme Python renvoie alors deux valeurs pour x1 et x2 :
Q7. Déduire des résultats renvoyés par le programme la valeur théorique du pH de la solution S₁ dans ce modèle. Vérifier l’accord entre la valeur expérimentale obtenue précédemment et cette valeur théorique, considérée comme référence.
Les solutions x1 et x2 de l’équation (1) sont les valeurs possibles de $\left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq}$ en mol.L-1.
$$x_{2} = – 2,60 \times 10^{- 3}\ mol.L^{- 1}$$
$$x_{2} < 0$$
On ne garde pas la valeur négative, une concentration est positive.
$$\left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq} = x_{1}$$
$$\left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq} = 2,44 \times 10^{- 3}\ mol.L^{- 1}$$
$$pH = – log\left( \frac{\left\lbrack H_{3}O^{+} \right\rbrack_{eq}}{c^{0}} \right)$$
$$pH = – log\left( \frac{2,44 \times 10^{- 3}}{1,0} \right)$$
$$pH = 2,61$$
Comparons la valeur expérimentale pH = 2,70, avec une incertitude-type u(pH) = 0,05, à la valeur de référence pHref = 2,61 :
$$z = \left| \frac{x – x_{ref}}{u(x)} \right|$$
$$z = \left| \frac{pH – pH_{ref}}{u(pH)} \right|$$
$$z = \left| \frac{2,70 – 2,61}{0,05} \right|$$
$$z = 1,8$$
$z < 2$ : le résultat de la mesure est compatible avec la valeur de référence pHref = 2,61.
On prépare plusieurs solutions en réalisant différentes dilutions de la solution S₀ et on mesure, pour chacune d’elles, la valeur du pH. On reporte, sur le graphe de la figure 2, les valeurs expérimentales obtenues sous la forme pH = f(– log C).
Pour chacune de ces solutions, il a par ailleurs également été calculé les valeurs théoriques des pH :
- avec le modèle du comportement d’un acide faible, c’est-à-dire avec le programme Python précédent ;
- avec le modèle du comportement d’un acide fort où pH = – log(C).
Les valeurs de pH obtenues par ces deux modèles sont également reportées sur la figure 2.
Q8. Parmi les deux modèles étudiés (acide fort ou acide faible), indiquer en justifiant celui qui rend le mieux compte du comportement de l’acide méthanoïque dans l’eau, dans l’intervalle de pH étudié.
Pour la solution S₁ :
$$C = 4,0 \times 10^{- 2}\ mol.L^{- 1}$$
$$- log(C) = – log\left( 4,0 \times 10^{- 2} \right)$$
$$- log(C) = 1,4$$
Pour − log C = 1,4, le modèle de l’acide fort donne :
$$pH = – log(C)$$
$$pH = 1,4$$
La valeur mesurée pH = 2,70 est différente de cette valeur et proche de la valeur donnée par le modèle de l’acide faible (pH = 2,61).
Sur la figure 2, pour − log C compris entre 0,7 et 4 , les points expérimentaux (+) suivent la courbe du modèle de l’acide faible (triangles) et ne correspondent pas à la droite du modèle de l’acide fort (cercles).
Le modèle de l’acide faible rend donc le mieux compte du comportement de l’acide méthanoïque dans l’eau.
Q9. Vérifier que les deux modèles proposés confirment la loi de dilution d’Ostwald appliquée aux réactions acide-base : « en solution aqueuse très diluée, un acide faible se comporte comme un acide fort ».
Sur la figure 2, lorsque la solution est diluée, − log C augmente.
Pour − log C supérieur à 4,0 :
- les deux courbes (acide fort et acide faible) sont confondues ;
- les points expérimentaux sont sur ces deux courbes.
Pour − log C inférieur à 4,0 (solutions concentrées), les deux modèles donnent des valeurs de pH différentes.
En solution aqueuse très diluée, le comportement de l’acide faible (acide méthanoïque) est donc le même que celui d’un acide fort :
$$pH = – log(C)$$
La loi de dilution d’Ostwald est bien vérifiée.